อติพจน์ นิยามของอติพจน์

อติพจน์คืออะไร?
นิยาม: ให้ F1 และ F2 เป็นสองจุดบนระนาบ และให้ 2c เป็นระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง ไฮเปอร์โบลาคือเซต ของจุดบนระนาบที่มีความแตกต่าง (ในโมดูล) ของระยะทางถึง F1 และ F2 คือค่าคงที่ 2a (0 < 2a < 2c)
องค์ประกอบของอติพจน์:

F1 และ F2 → คือจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลา
→ เป็นจุดศูนย์กลางของอติพจน์
2c → ทางยาวโฟกัส
2nd → การวัดแกนจริงหรือตามขวาง
2b → การวัดแกนจินตภาพ
c/a → ความเบี้ยว
มีความสัมพันธ์ระหว่าง a, b และ c → c² = the² + ข²

ลดสมการไฮเพอร์โบลา Reduce
กรณีที่ 1: ไฮเปอร์โบลาที่มีการโฟกัสที่แกน x

เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้จุดโฟกัสจะมีพิกัด F1 (-c, 0) และ F2(c, 0)
ดังนั้นสมการที่ลดลงของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบคาร์ทีเซียนและโฟกัสที่แกน x จะเป็นดังนี้

กรณีที่ 2: ไฮเพอร์โบลาที่มีการโฟกัสที่แกน y

ในกรณีนี้ จุดโฟกัสจะมีพิกัด F1 (0, -c) และ F2(0, c)
ดังนั้น สมการรีดิวซ์ของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดระนาบคาร์ทีเซียนและโฟกัสที่แกน y จะเป็นดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 หาสมการที่ลดลงของไฮเพอร์โบลาที่มีแกนจริง 6, foci F1(-5, 0) และ F2(5, 0)
วิธีแก้ปัญหา: เราต้อง
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) และ F2(5, 0) → c = 5

จากความสัมพันธ์ที่น่าทึ่ง เราได้รับ:
ค² = the² + ข^2 → 5² = 3² + ข² → ข² =25 - 9 → b² = 16 → b = 4
ดังนั้นสมการที่ลดลงจะได้รับโดย:

ตัวอย่างที่ 2 หาสมการไฮเพอร์โบลาที่ลดรูปซึ่งมีจุดโฟกัสสองจุดที่มีพิกัด F2 (0, 10) และแกนจินตภาพที่วัดได้ 12
วิธีแก้ปัญหา: เราต้อง
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
โดยใช้ความสัมพันธ์ที่น่าทึ่ง เราได้รับ:
10² = the² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → เป็ = 8
ดังนั้นสมการไฮเพอร์โบลาที่ลดรูปจะได้มาจาก:

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดความยาวโฟกัสของไฮเพอร์โบลาด้วยสมการ
วิธีแก้ไข: เนื่องจากสมการไฮเปอร์โบลาเป็นประเภท  เราต้อง
² = 16 และ b² =9
จากความสัมพันธ์อันน่าทึ่งที่เราได้รับ
ค² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
ความยาวโฟกัสถูกกำหนดโดย 2c ดังนั้น
2c = 2*5 =10
ดังนั้นความยาวโฟกัสคือ 10

โดย มาร์เซโล ริโกนาตโต
ผู้เชี่ยวชาญด้านสถิติและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ทีมโรงเรียนบราซิล

เรขาคณิตวิเคราะห์ - คณิตศาสตร์ - โรงเรียนบราซิล