อัตราส่วนทองคำ: ตัวเลขทองคำ วิธีคำนวณ

สัดส่วน ทอง หรือสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์คือความเสมอภาคที่เกี่ยวข้องกับความคิดเรื่องความกลมกลืน ความงาม และความสมบูรณ์แบบ Euclid of Alexandria นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก มีอายุประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล C. เป็นหนึ่งในนักคิดกลุ่มแรกๆ ที่ทำให้แนวคิดนี้เป็นรูปเป็นร่างขึ้นมา ซึ่งจนถึงทุกวันนี้ก็สนใจนักวิจัยจากพื้นที่ต่างๆ

เหตุผลที่สนใจนี้คืออัตราส่วนทองคำสามารถสังเกตได้ในธรรมชาติโดยประมาณ รวมถึงในเมล็ดและใบของพืชและในร่างกายมนุษย์ ดังนั้น อัตราส่วนทองคำจึงเป็นหัวข้อของการศึกษาโดยผู้เชี่ยวชาญต่างๆ เช่น นักชีววิทยา สถาปนิก ศิลปิน และนักออกแบบ

อ่านด้วย: Number pi — หนึ่งในค่าคงที่ที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์

สรุปเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำ

  • อัตราส่วนทองคำคืออัตราส่วนสำหรับ \(a>b>0\) ดังนั้น

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

  • ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้เหตุผล เดอะ เรียกว่าอัตราส่วนทองคำ

  • อัตราส่วนทองคำเชื่อมโยงกับแนวคิดเรื่องความสมดุล ความบริสุทธิ์ และความสมบูรณ์แบบ

  • ตัวอักษรกรีก ϕ (อ่านว่า fi) แทนจำนวนทองคำ ซึ่งเป็นค่าคงที่ที่ได้จากอัตราส่วนทองคำ

  • ในลำดับฟีโบนัชชี ผลหารระหว่างแต่ละพจน์และผลก่อนหน้าจะเข้าใกล้เลขทอง

  • สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านอยู่ในอัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำคืออะไร?

พิจารณาส่วนของเส้นตรงที่แบ่งออกเป็นสองส่วน: ส่วนที่มีขนาดใหญ่กว่าของการวัด เดอะ และเล็กที่สุด . ตระหนักดีว่า เอ+บี เป็นตัวชี้วัดของส่วนทั้งหมด

 ส่วนของเส้นตรงในข้อความเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำ คือความเท่าเทียมกัน ท่ามกลางเหตุผล\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) มันคือ \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), เช่น

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

ในบริบทนี้เรากล่าวว่า เดอะ มันคือ  อยู่ในอัตราส่วนทองคำ

แต่สำหรับสิ่งที่ค่าของ เดอะ มันคือ  เรามีอัตราส่วนทองคำหรือไม่? นั่นคือสิ่งที่เราจะได้เห็นต่อไป

วิธีการคำนวณเบอร์ทอง?

เหตุผล \(\frac{a}b\)(หรือในทำนองเดียวกัน เหตุผล \(\frac{a+b}a\)) ส่งผลให้เกิดค่าคงที่ที่เรียกว่า เลขทอง และเขียนแทนด้วยอักษรกรีก ϕ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเขียน

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)

ในการคำนวณจำนวนทองคำ ให้พิจารณาอัตราส่วนทองคำสำหรับ b = 1 เราจึงสามารถหาค่าของ เดอะ และได้รับ ϕ จากความเท่าเทียมกัน \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).

โปรดทราบว่าเราสามารถเขียนอัตราส่วนทองคำได้ดังนี้ โดยใช้คุณสมบัติการคูณไขว้:

\(a^2=b⋅(a+b)\)

แทน b = 1 จะได้

\(a^2=1⋅(a+1)\)

\(a^2-a-1=0\)

ใช้สูตรของ Bhaskara สำหรับสมการกำลังสองนี้ เราสรุปได้ว่าคำตอบที่เป็นบวกของ เดอะ é

\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)

เช่น เดอะ เป็นการวัดส่วน เราจะไม่สนใจวิธีแก้ปัญหาเชิงลบ

ดังนั้นวิธีการที่ \(\frac{a}b=ϕ\), ค่าที่แน่นอนของตัวเลขทองคำคือ:

\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)

เราได้รับการคำนวณผลหาร ค่าโดยประมาณของตัวเลขทองคำ:

\(ϕ≈1,618033989\)

ดูเพิ่มเติม: จะแก้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

อัตราส่วนทองคำและลำดับฟีโบนัชชี

ลำดับฟีโบนัชชีคือรายการของตัวเลข โดยแต่ละเทอม เริ่มจากสาม เท่ากับผลบวกของสองก่อนหน้า ลองดูสิบพจน์แรกของลำดับนี้:

\(a_1=1\)

\(a_2=1\)

\(a_3=1+1=2\)

\(a_4=1+2=3\)

\(a_5=2+3=5\)

\(a_6=3+5=8\)

\(a_7=5+8=13\)

\(a_8=8+13=21\)

\(a_9=13+21=34\)

\(a_{10}=21+34=55\)

ขณะที่เราคำนวณผลหาร ระหว่างแต่ละคำกับคำก่อนหน้าในลำดับฟีโบนัชชี เรากำลังเข้าใกล้หมายเลขทอง ϕ:

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)

\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)

\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)

\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)

\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)

\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)

\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)

\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)

\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)

อัตราส่วนทองคำและสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ

หนึ่ง สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านที่ยาวที่สุด เดอะ และด้านที่เล็กกว่า  อยู่ในอัตราส่วนทองคำ เรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ตัวอย่างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาว 1 ซม. และ \(\frac{1+\sqrt5}2\) ซม.

รู้เพิ่มเติม: ปริมาณสัดส่วนโดยตรงคืออะไร?

การประยุกต์ใช้อัตราส่วนทองคำ

โปรดทราบว่าจนถึงตอนนี้ เราได้ศึกษาอัตราส่วนทองคำในบริบททางคณิตศาสตร์นามธรรมเท่านั้น ต่อไป เราจะเห็นตัวอย่างที่นำไปใช้ แต่จำเป็นต้องมีการดูแล: อัตราส่วนทองคำไม่ได้ถูกนำเสนอในทุกกรณีเหล่านี้ สิ่งที่มีอยู่คือการวิเคราะห์บริบทที่แตกต่างกันซึ่ง เลขทองจึงปรากฏขึ้นประมาณ.

  • อัตราส่วนทองคำในสถาปัตยกรรม

การศึกษาบางชิ้นอ้างว่าการประมาณจำนวนทองคำนั้นสังเกตได้จากอัตราส่วนบางอย่างของขนาดของพีระมิดแห่ง Cheops ในอียิปต์ และอาคารสำนักงานใหญ่ของสหประชาชาติในนิวยอร์ก

 อาคารสหประชาชาติในนิวยอร์ก มีความเชื่อกันว่ามีการใช้ตัวเลขสีทองกับขนาดของมัน
 อาคารสหประชาชาติในนิวยอร์ก มีความเชื่อกันว่ามีการใช้ตัวเลขสีทองกับขนาดของมัน
  • อัตราส่วนทองคำในร่างกายมนุษย์

ขนาดร่างกายของมนุษย์แตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล และไม่มีร่างกายที่สมบูรณ์แบบ อย่างไรก็ตาม อย่างน้อยก็ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ มีการถกเถียงกันเกี่ยวกับร่างกายในอุดมคติทางคณิตศาสตร์ (และไม่สามารถบรรลุได้ในความเป็นจริงโดยสิ้นเชิง) ด้วยมาตรการที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ ในบริบททางทฤษฎีนี้ ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนของความสูงของบุคคลต่อระยะห่างระหว่างสะดือถึงพื้นจะเป็นตัวเลขสีทอง.

  • อัตราส่วนทองคำในงานศิลปะ

มีงานวิจัยเกี่ยวกับผลงาน “The Vitruvian Man” และ “Mona Lisa” โดย Leonardo da Vinci ชาวอิตาลี ซึ่งเสนอว่า การใช้สี่เหลี่ยมทองคำ.

ภาพวาดสตรีชื่อ โมนาลิซา ตัวอย่างของอัตราส่วนทองคำในงานศิลปะ
Mona Lisaโดยเลโอนาร์โด ดา วินชี
  • อัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ

มีการศึกษาที่ชี้ให้เห็นถึงก ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนทองคำกับวิธีการกระจายใบของพืชบางชนิด บนลำต้น การเรียงตัวของใบไม้นี้เรียกว่าไฟโลแทกซี

ภาพวาดใบไม้ ตัวอย่างอัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ
ตัวอย่างการจัดชีทแบบต่างๆ
  • อัตราส่วนทองคำในการออกแบบ

อัตราส่วนทองคำยังได้รับการศึกษาและนำไปใช้ในด้านการออกแบบเป็น เครื่องมือจัดองค์ประกอบโครงการ.

การวาดและสเก็ตช์นก ตัวอย่างอัตราส่วนทองคำในการออกแบบ
สัดส่วนทองคำที่ใช้กับการออกแบบในองค์ประกอบของตัวเลข

เฉลยแบบฝึกหัดเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำ

คำถามที่ 1

(ศัตรู) ส่วนของเส้นตรงแบ่งออกเป็นสองส่วนในอัตราส่วนทองคำเมื่อทั้งหมดเป็นของส่วนใดส่วนหนึ่งในอัตราส่วนเดียวกันกับส่วนนี้ต่อส่วนอื่น ค่าคงตัวตามสัดส่วนนี้โดยทั่วไปเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก ϕ และค่าของมันจะได้รับจากผลบวกของสมการ ϕ2 = ϕ+1

เช่นเดียวกับพลัง \(ϕ^2\), พลังที่สูงกว่าของ ϕ สามารถแสดงได้ในรูปแบบ \(aϕ+b\)โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ดังแสดงในตาราง

ตารางที่มีตัวเลขและพลังที่เป็นปัญหาจาก Enem ในอัตราส่วนทองคำ

ความแรง \(ϕ^7\), เขียนในรูป aϕ+b (a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก) คือ

ก) 5ϕ+3

ข) 7ϕ+2

ค) 9ϕ+6

ง) 11ϕ+7

จ) 13ϕ+8

ปณิธาน

เช่น \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), เราต้อง

\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)

การใช้การกระจาย

\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)

เช่น \(ϕ^2=ϕ+1\),

\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)

\(ϕ^7=13ϕ+8\)

อีทางเลือก

คำถามที่ 2

ให้คะแนนแต่ละข้อความด้านล่างเกี่ยวกับตัวเลขสีทองเป็น T (จริง) หรือ F (เท็จ)

ฉัน. จำนวนทองคำ ϕ เป็นจำนวนอตรรกยะ

ครั้งที่สอง ผลหารระหว่างแต่ละคำและคำก่อนหน้าในลำดับฟีโบนัชชีเข้าใกล้ค่าของ ϕ

สาม. 1.618 คือการปัดเศษเป็นทศนิยมสามตำแหน่งของจำนวนทองคำ ϕ

ลำดับที่ถูกต้องจากบนลงล่างคือ

ก) วี-วี-วี

ข) เอฟ-วี-เอฟ

ค) V-F-V

ง) F-F-F

จ) F-V-V

ปณิธาน

ฉัน. จริง.

ครั้งที่สอง จริง.

สาม. จริง.

ทางเลือก ก.

แหล่งที่มา

ฟรานซิสโก เอส. วี. จากแอล ระหว่างความน่าหลงใหลกับความเป็นจริงของอัตราส่วนทองคำ. วิทยานิพนธ์ (ปริญญาโทวิชาชีพสาขาคณิตศาสตร์ในเครือข่ายระดับชาติ) – สถาบันชีววิทยาศาสตร์, จดหมายและวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho เซาเปาโล พ.ศ. 2560 มีอยู่ใน: http://hdl.handle.net/11449/148903.

ฝ่ายขาย, เจ. จากเอส อัตราส่วนทองคำที่มีอยู่ในธรรมชาติ จบหลักสูตร (ปริญญาคณิตศาสตร์), Federal Institute of Education, Science and Technology of Piauí Piaui, 2022. มีจำหน่ายใน http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/ที่จับ/123456789/1551.

โดย Maria Luiza Alves Rizzo
ครูคณิต

แหล่งที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm

พบดาวเคราะห์นอกระบบที่มนุษย์อาศัยอยู่ได้

นักวิทยาศาสตร์ได้ประกาศการค้นพบ ดาวเคราะห์นอกระบบ ตั้งอยู่ในเขตเอื้ออาศัยได้รอบดาวฤกษ์ หมายความว่...

read more

เคล็ดลับเพื่อหลีกเลี่ยงคะแนนศูนย์ในเรียงความ Enem และข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด

ในปี 2021 National High School Examination (Enem) มีผู้สมัครมากกว่า 95,000 คนที่ได้คะแนนเป็นศูนย์...

read more

กำหนดการในเดือนพฤศจิกายน การทดสอบ Enem 2022 ได้เตรียมพร้อมไว้แล้ว

พึงระลึกไว้เสมอว่า และอย่างใดอย่างหนึ่ง เป็นการทดสอบที่จัดขึ้นทั่วประเทศบราซิล กระทรวงศึกษาธิการจ...

read more