อัตราส่วนทองคำ: ตัวเลขทองคำ วิธีคำนวณ

ก สัดส่วน ทอง หรือสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์คือความเสมอภาคที่เกี่ยวข้องกับความคิดเรื่องความกลมกลืน ความงาม และความสมบูรณ์แบบ Euclid of Alexandria นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก มีอายุประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล C. เป็นหนึ่งในนักคิดกลุ่มแรกๆ ที่ทำให้แนวคิดนี้เป็นรูปเป็นร่างขึ้นมา ซึ่งจนถึงทุกวันนี้ก็สนใจนักวิจัยจากพื้นที่ต่างๆ

เหตุผลที่สนใจนี้คืออัตราส่วนทองคำสามารถสังเกตได้ในธรรมชาติโดยประมาณ รวมถึงในเมล็ดและใบของพืชและในร่างกายมนุษย์ ดังนั้น อัตราส่วนทองคำจึงเป็นหัวข้อของการศึกษาโดยผู้เชี่ยวชาญต่างๆ เช่น นักชีววิทยา สถาปนิก ศิลปิน และนักออกแบบ

อ่านด้วย: Number pi — หนึ่งในค่าคงที่ที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์

หัวข้อของบทความนี้

• 1 - สรุปอัตราส่วนทองคำ
• 2 - วิธีการคำนวณจำนวนทอง?
• 3 - อัตราส่วนทองคำและลำดับฟีโบนัชชี
• 4 - อัตราส่วนทองคำและสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ
• 5 - การประยุกต์ใช้อัตราส่วนทองคำ
  • อัตราส่วนทองคำในสถาปัตยกรรม
  • อัตราส่วนทองคำในร่างกายมนุษย์
  • อัตราส่วนทองคำในงานศิลปะ
  • อัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ
  • อัตราส่วนทองคำในการออกแบบ
• 6 - แบบฝึกหัดแก้ไขอัตราส่วนทองคำ

สรุปเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำ

• อัตราส่วนทองคำคืออัตราส่วนสำหรับ \(a>b>0\) ดังนั้น

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

• ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้เหตุผล เดอะข เรียกว่าอัตราส่วนทองคำ

• อัตราส่วนทองคำเชื่อมโยงกับแนวคิดเรื่องความสมดุล ความบริสุทธิ์ และความสมบูรณ์แบบ

• ตัวอักษรกรีก ϕ (อ่านว่า fi) แทนจำนวนทองคำ ซึ่งเป็นค่าคงที่ที่ได้จากอัตราส่วนทองคำ

• ในลำดับฟีโบนัชชี ผลหารระหว่างแต่ละพจน์และผลก่อนหน้าจะเข้าใกล้เลขทอง

• สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านอยู่ในอัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำคืออะไร?

พิจารณาส่วนของเส้นตรงที่แบ่งออกเป็นสองส่วน: ส่วนที่มีขนาดใหญ่กว่าของการวัด เดอะ และเล็กที่สุด ข. ตระหนักดีว่า เอ+บี เป็นตัวชี้วัดของส่วนทั้งหมด

อัตราส่วนทองคำ คือความเท่าเทียมกัน ท่ามกลางเหตุผล\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) มันคือ \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), เช่น

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

ในบริบทนี้เรากล่าวว่า เดอะ มันคือ ข อยู่ในอัตราส่วนทองคำ

แต่สำหรับสิ่งที่ค่าของ เดอะ มันคือ ข เรามีอัตราส่วนทองคำหรือไม่? นั่นคือสิ่งที่เราจะได้เห็นต่อไป

อย่าหยุดตอนนี้... มีเพิ่มเติมหลังจากการประชาสัมพันธ์ ;)

วิธีการคำนวณเบอร์ทอง?

เหตุผล \(\frac{a}b\)(หรือในทำนองเดียวกัน เหตุผล \(\frac{a+b}a\)) ส่งผลให้เกิดค่าคงที่ที่เรียกว่า เลขทอง และเขียนแทนด้วยอักษรกรีก ϕ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเขียน

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)

ในการคำนวณจำนวนทองคำ ให้พิจารณาอัตราส่วนทองคำสำหรับ b = 1 เราจึงสามารถหาค่าของ เดอะ และได้รับ ϕ จากความเท่าเทียมกัน \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).

โปรดทราบว่าเราสามารถเขียนอัตราส่วนทองคำได้ดังนี้ โดยใช้คุณสมบัติการคูณไขว้:

\(a^2=b⋅(a+b)\)

แทน b = 1 จะได้

\(a^2=1⋅(a+1)\)

\(a^2-a-1=0\)

ใช้สูตรของ Bhaskara สำหรับสมการกำลังสองนี้ เราสรุปได้ว่าคำตอบที่เป็นบวกของ เดอะ é

\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)

เช่น เดอะ เป็นการวัดส่วน เราจะไม่สนใจวิธีแก้ปัญหาเชิงลบ

ดังนั้นวิธีการที่ \(\frac{a}b=ϕ\), ค่าที่แน่นอนของตัวเลขทองคำคือ:

\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)

เราได้รับการคำนวณผลหาร ค่าโดยประมาณของตัวเลขทองคำ:

\(ϕ≈1,618033989\)

ดูเพิ่มเติม: จะแก้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

อัตราส่วนทองคำและลำดับฟีโบนัชชี

ก ลำดับฟีโบนัชชีคือรายการของตัวเลข โดยแต่ละเทอม เริ่มจากสาม เท่ากับผลบวกของสองก่อนหน้า ลองดูสิบพจน์แรกของลำดับนี้:

\(a_1=1\)

\(a_2=1\)

\(a_3=1+1=2\)

\(a_4=1+2=3\)

\(a_5=2+3=5\)

\(a_6=3+5=8\)

\(a_7=5+8=13\)

\(a_8=8+13=21\)

\(a_9=13+21=34\)

\(a_{10}=21+34=55\)

ขณะที่เราคำนวณผลหาร ระหว่างแต่ละคำกับคำก่อนหน้าในลำดับฟีโบนัชชี เรากำลังเข้าใกล้หมายเลขทอง ϕ:

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)

\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)

\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)

\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)

\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)

\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)

\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)

\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)

\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)

อัตราส่วนทองคำและสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ

หนึ่ง สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านที่ยาวที่สุด เดอะ และด้านที่เล็กกว่า ข อยู่ในอัตราส่วนทองคำ เรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ตัวอย่างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาว 1 ซม. และ \(\frac{1+\sqrt5}2\) ซม.

รู้เพิ่มเติม: ปริมาณสัดส่วนโดยตรงคืออะไร?

การประยุกต์ใช้อัตราส่วนทองคำ

โปรดทราบว่าจนถึงตอนนี้ เราได้ศึกษาอัตราส่วนทองคำในบริบททางคณิตศาสตร์นามธรรมเท่านั้น ต่อไป เราจะเห็นตัวอย่างที่นำไปใช้ แต่จำเป็นต้องมีการดูแล: อัตราส่วนทองคำไม่ได้ถูกนำเสนอในทุกกรณีเหล่านี้ สิ่งที่มีอยู่คือการวิเคราะห์บริบทที่แตกต่างกันซึ่ง เลขทองจึงปรากฏขึ้นประมาณ.

• อัตราส่วนทองคำในสถาปัตยกรรม

การศึกษาบางชิ้นอ้างว่าการประมาณจำนวนทองคำนั้นสังเกตได้จากอัตราส่วนบางอย่างของขนาดของพีระมิดแห่ง Cheops ในอียิปต์ และอาคารสำนักงานใหญ่ของสหประชาชาติในนิวยอร์ก

 อาคารสหประชาชาติในนิวยอร์ก มีความเชื่อกันว่ามีการใช้ตัวเลขสีทองกับขนาดของมัน

• อัตราส่วนทองคำในร่างกายมนุษย์

ขนาดร่างกายของมนุษย์แตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล และไม่มีร่างกายที่สมบูรณ์แบบ อย่างไรก็ตาม อย่างน้อยก็ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ มีการถกเถียงกันเกี่ยวกับร่างกายในอุดมคติทางคณิตศาสตร์ (และไม่สามารถบรรลุได้ในความเป็นจริงโดยสิ้นเชิง) ด้วยมาตรการที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ ในบริบททางทฤษฎีนี้ ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนของความสูงของบุคคลต่อระยะห่างระหว่างสะดือถึงพื้นจะเป็นตัวเลขสีทอง.

• อัตราส่วนทองคำในงานศิลปะ

มีงานวิจัยเกี่ยวกับผลงาน “The Vitruvian Man” และ “Mona Lisa” โดย Leonardo da Vinci ชาวอิตาลี ซึ่งเสนอว่า การใช้สี่เหลี่ยมทองคำ.

Mona Lisaโดยเลโอนาร์โด ดา วินชี

• อัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ

มีการศึกษาที่ชี้ให้เห็นถึงก ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนทองคำกับวิธีการกระจายใบของพืชบางชนิด บนลำต้น การเรียงตัวของใบไม้นี้เรียกว่าไฟโลแทกซี

ตัวอย่างการจัดชีทแบบต่างๆ

• อัตราส่วนทองคำในการออกแบบ

อัตราส่วนทองคำยังได้รับการศึกษาและนำไปใช้ในด้านการออกแบบเป็น เครื่องมือจัดองค์ประกอบโครงการ.

สัดส่วนทองคำที่ใช้กับการออกแบบในองค์ประกอบของตัวเลข

เฉลยแบบฝึกหัดเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำ

คำถามที่ 1

(ศัตรู) ส่วนของเส้นตรงแบ่งออกเป็นสองส่วนในอัตราส่วนทองคำเมื่อทั้งหมดเป็นของส่วนใดส่วนหนึ่งในอัตราส่วนเดียวกันกับส่วนนี้ต่อส่วนอื่น ค่าคงตัวตามสัดส่วนนี้โดยทั่วไปเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก ϕ และค่าของมันจะได้รับจากผลบวกของสมการ ϕ2 = ϕ+1

เช่นเดียวกับพลัง \(ϕ^2\), พลังที่สูงกว่าของ ϕ สามารถแสดงได้ในรูปแบบ \(aϕ+b\)โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ดังแสดงในตาราง

ความแรง \(ϕ^7\), เขียนในรูป aϕ+b (a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก) คือ

ก) 5ϕ+3

ข) 7ϕ+2

ค) 9ϕ+6

ง) 11ϕ+7

จ) 13ϕ+8

ปณิธาน

เช่น \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), เราต้อง

\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)

การใช้การกระจาย

\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)

เช่น \(ϕ^2=ϕ+1\),

\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)

\(ϕ^7=13ϕ+8\)

อีทางเลือก

คำถามที่ 2

ให้คะแนนแต่ละข้อความด้านล่างเกี่ยวกับตัวเลขสีทองเป็น T (จริง) หรือ F (เท็จ)

ฉัน. จำนวนทองคำ ϕ เป็นจำนวนอตรรกยะ

ครั้งที่สอง ผลหารระหว่างแต่ละคำและคำก่อนหน้าในลำดับฟีโบนัชชีเข้าใกล้ค่าของ ϕ

สาม. 1.618 คือการปัดเศษเป็นทศนิยมสามตำแหน่งของจำนวนทองคำ ϕ

ลำดับที่ถูกต้องจากบนลงล่างคือ

ก) วี-วี-วี

ข) เอฟ-วี-เอฟ

ค) V-F-V

ง) F-F-F

จ) F-V-V

ปณิธาน

ฉัน. จริง.

ครั้งที่สอง จริง.

สาม. จริง.

ทางเลือก ก.

แหล่งที่มา

ฟรานซิสโก เอส. วี. จากแอล ระหว่างความน่าหลงใหลกับความเป็นจริงของอัตราส่วนทองคำ. วิทยานิพนธ์ (ปริญญาโทวิชาชีพสาขาคณิตศาสตร์ในเครือข่ายระดับชาติ) – สถาบันชีววิทยาศาสตร์, จดหมายและวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho เซาเปาโล พ.ศ. 2560 มีอยู่ใน: http://hdl.handle.net/11449/148903.

ฝ่ายขาย, เจ. จากเอส อัตราส่วนทองคำที่มีอยู่ในธรรมชาติ จบหลักสูตร (ปริญญาคณิตศาสตร์), Federal Institute of Education, Science and Technology of Piauí Piaui, 2022. มีจำหน่ายใน http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/ที่จับ/123456789/1551.

โดย Maria Luiza Alves Rizzo
ครูคณิต

ทำความเข้าใจว่ามันคืออะไรและจะคำนวณความเร็วเฉลี่ยและความหนาแน่นของประชากรได้อย่างไร

เรียนรู้ว่ามันคืออะไรและวิธีใช้สูตรของ Bhaskara เพื่อแก้สมการกำลังสอง!

ทำความเข้าใจว่าปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรงคืออะไร และเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ประเภทนี้

เรียนรู้วิธีการตรวจสอบว่าปริมาณหรือจำนวนสองจำนวนเป็นสัดส่วนผกผันได้ที่นี่ ดูตัวอย่างและแบบฝึกหัดในหัวข้อ!

เรียนรู้ที่นี่ว่าสัดส่วนคืออะไรและจะคำนวณอย่างไร ดูคุณสมบัติหลักของมันและทำความเข้าใจว่าปริมาณตามสัดส่วนคืออะไร

ดูวิธีต่างๆ ในการแสดงอัตราส่วนได้ที่นี่ ดูคำจำกัดความและการประยุกต์ใช้สัดส่วนบางส่วน เรียนรู้วิธีใช้แนวคิดเหล่านี้

เรียนรู้การใช้กฎการผสมของสามเพื่อหาค่าที่ไม่รู้จักและปัญหาเกี่ยวกับสามหรือสี่ปริมาณ

รู้กฎสามส่วน ทำความเข้าใจว่าปริมาณสัดส่วนโดยตรงและผกผันคืออะไร รู้ความแตกต่างระหว่างกฎสามข้ออย่างง่ายและกฎผสม

ลำดับตัวเลข: ลำดับฟีโบนัชชี