ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: มันคืออะไร, วิธีคำนวณ, ตัวอย่าง

อ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายเช่นเดียวกับความแปรปรวนและค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เมื่อกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราสามารถสร้างช่วงรอบค่าเฉลี่ยเลขคณิต (การหารระหว่างผลรวมของตัวเลขในรายการกับจำนวนที่เพิ่ม) ซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่กระจุกตัวอยู่ ยิ่งค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยิ่งมาก ความแปรปรวนของข้อมูลก็จะยิ่งมากขึ้น นั่นคือ ความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

อ่านด้วย: โหมด ค่าเฉลี่ย และค่ามัธยฐาน — มาตรการหลักของแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

หัวข้อของบทความนี้

• 1 - สรุปค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• 2 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร?
• 3 - จะคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้อย่างไร?
• 4 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีกี่ประเภท?
• 5 - อะไรคือความแตกต่างระหว่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน?
• 6 - แบบฝึกหัดแก้ไขค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สรุปส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัววัดความแปรปรวน
• สัญกรณ์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็ก sigma (σ) หรือตัวอักษร s
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้เพื่อตรวจสอบความแปรปรวนของข้อมูลรอบค่าเฉลี่ย
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำหนดช่วง \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\)ซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่ตั้งอยู่
• ในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราต้องหารากที่สองของความแปรปรวน:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร?

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ a การวัดการกระจายที่ใช้ในสถิติ. การใช้งานเชื่อมโยงกับ การตีความความแปรปรวนซึ่งเป็นการวัดการกระจายตัวด้วย

ในทางปฏิบัติ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน กำหนดช่วงเวลาโดยเน้นที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่มีความเข้มข้น. ดังนั้น ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่ามากเท่าใด ความผิดปกติของข้อมูลก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น (ข้อมูลเพิ่มเติม heterogeneous) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยิ่งน้อย ความผิดปกติของข้อมูลก็จะยิ่งน้อยลง (ข้อมูลเพิ่มเติม เป็นเนื้อเดียวกัน).

อย่าหยุดตอนนี้... มีเพิ่มเติมหลังจากการประชาสัมพันธ์ ;)

จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้อย่างไร?

ในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล เราต้องหารากที่สองของความแปรปรวน. ดังนั้นสูตรการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

• \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง
• μ → ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล
• N → จำนวนข้อมูล
• \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right )^2+\left (x_3-\mu\right)^2+...+\left (x_N-\mu\right)^2 \)

รายการสุดท้ายซึ่งอ้างอิงถึงตัวเศษของเครื่องหมายถูกแยกออกจากกัน ระบุผลรวมของกำลังสองของผลต่างระหว่างจุดข้อมูลแต่ละจุดกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต โปรดทราบว่า หน่วยวัดสำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหน่วยวัดเดียวกับข้อมูล x₁,x₂,x₃,…,x_{เลขที่}.

แม้ว่าการเขียนสูตรนี้จะค่อนข้างซับซ้อน แต่การใช้งานนั้นง่ายกว่าและตรงกว่า ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้นิพจน์นี้เพื่อคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

• ตัวอย่าง:

เป็นเวลาสองสัปดาห์ มีการบันทึกอุณหภูมิในเมืองต่อไปนี้:

สัปดาห์/วัน	วันอาทิตย์	ที่สอง	ที่สาม	ประการที่สี่	ประการที่ห้า	วันศุกร์	วันเสาร์
สัปดาห์ที่ 1	29°ซ	30°ซ	31°ซ	31.5°ซ	28°ซ	28.5°ซ	29°ซ
สัปดาห์ที่ 2	28.5°ซ	27°ซ	28°ซ	29°ซ	30°ซ	28°ซ	29°ซ

ในช่วงสองสัปดาห์ใดที่อุณหภูมิในเมืองนี้คงที่มากกว่าปกติ

ปณิธาน:

ในการวิเคราะห์ความสม่ำเสมอของอุณหภูมิ เราต้องเปรียบเทียบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิที่บันทึกไว้ในสัปดาห์ที่ 1 และ 2

• ก่อนอื่น มาดูค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับสัปดาห์ที่ 1:

โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ย μ₁ มันคือ เลขที่₁ พวกเขาคือ

\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\ประมาณ29.57\)

\(N_1=7 \) (7 วันต่อสัปดาห์)

นอกจากนี้เราต้องคำนวณกำลังสองของความแตกต่างระหว่างอุณหภูมิแต่ละอุณหภูมิกับอุณหภูมิเฉลี่ย

\(\ซ้าย (29-29.57\ขวา)^2=0.3249\)

\(\ซ้าย (30-29.57\ขวา)^2=0.1849\)

\(\ซ้าย (31-29.57\ขวา)^2=2.0449\)

\(\ซ้าย (31.5-29.57\ขวา)^2=3.7249\)

\(\ซ้าย (28-29.57\ขวา)^2=2.4649\)

\(\ซ้าย (28.5-29.57\ขวา)^2=1.1449\)

\(\ซ้าย (29-29.57\ขวา)^2=0.3249\)

เมื่อเพิ่มผลลัพธ์ เราพบว่าตัวเศษของเครื่องหมายกรณฑ์ในสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัปดาห์ที่ 1 คือ

\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \ประมาณ 1.208\ °C\)

หมายเหตุ: ผลลัพธ์นี้หมายความว่าอุณหภูมิส่วนใหญ่ของสัปดาห์ที่ 1 อยู่ในช่วง [28.36 °C, 30.77 °C] นั่นคือ ช่วงเวลา \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).

• ทีนี้มาดูค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัปดาห์ที่ 2:

ตามเหตุผลเดียวกัน เรามี

\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)

\(N_2=7\)

\(\ซ้าย (28.5-28.5\ขวา)^2=0\)

\(\ซ้าย (27-28.5\ขวา)^2=2.25\)

\(\ซ้าย (28-28.5\ขวา)^2=0.25\)

\(\ซ้าย (29-28.5\ขวา)^2=0.25\)

\(\ซ้าย (30-28.5\ขวา)^2=2.25\)

\(\ซ้าย (28-28.5\ขวา)^2=0.25\)

\(\ซ้าย (29-28.5\ขวา)^2=0.25\)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัปดาห์ที่ 2 คือ

\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \ประมาณ 0.89\ °C\)

ผลลัพธ์นี้หมายความว่าอุณหภูมิส่วนใหญ่ในสัปดาห์ที่ 2 อยู่ในช่วง \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\)นั่นคือช่วง \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).

ตระหนักดีว่า \(\sigma_2นั่นคือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในสัปดาห์ที่ 2 มีค่าน้อยกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในสัปดาห์ที่ 1 ดังนั้น สัปดาห์ที่ 2 จึงมีอุณหภูมิปกติมากกว่าสัปดาห์ที่ 1

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีกี่ประเภท?

ประเภทของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเกี่ยวข้องกับประเภทขององค์กรข้อมูล. ในตัวอย่างที่แล้ว เราทำงานกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลที่จัดกลุ่มเป็นอย่างอื่น (เช่น ข้อมูลที่จัดกลุ่ม) คุณจะต้องปรับสูตร

อะไรคือความแตกต่างระหว่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน?

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือรากที่สอง ของความแปรปรวน:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)

เมื่อใช้ความแปรปรวนเพื่อกำหนดความแปรปรวนของชุดข้อมูล ผลลัพธ์จะมีหน่วยข้อมูลยกกำลังสอง ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ทำได้ยาก ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งมีหน่วยเดียวกับข้อมูลจึงเป็นเครื่องมือที่เป็นไปได้ในการตีความผลความแปรปรวน

รู้เพิ่มเติม:ความถี่สัมบูรณ์ — จำนวนครั้งที่การตอบสนองเดียวกันปรากฏขึ้นระหว่างการรวบรวมข้อมูล

เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คำถามที่ 1

(FGV) ในชั้นเรียนที่มีนักเรียน 10 คน คะแนนของนักเรียนในการประเมินคือ:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายการนี้มีค่าประมาณ

ก) 0.8

ข) 0.9

ค) 1.1.

ง) 1.3.

จ) 1.5

ปณิธาน:

อัลเทอร์เนทีฟซี

ตามแถลงการณ์ระบุว่า ยังไม่มีข้อความ = 10. ค่าเฉลี่ยของรายการนี้คือ

\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)

นอกจากนี้,

\(\ซ้าย (6-8\ขวา)^2=4\)

\(\ซ้าย (7-8\ขวา)^2=1\)

\(\ซ้าย (8-8\ขวา)^2=0\)

\(\ซ้าย (9-8\ขวา)^2=1\)

\(\ซ้าย (10-8\ขวา)^2=4\)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของรายการนี้คือ

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\ประมาณ1.1\)

คำถามที่ 2

พิจารณาข้อความด้านล่างและให้คะแนนแต่ละรายการเป็น T (จริง) หรือ F (เท็จ)

ฉัน. รากที่สองของความแปรปรวนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ครั้งที่สอง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่มีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต

สาม. ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัวอย่างของการวัดการกระจาย

ลำดับที่ถูกต้องจากบนลงล่างคือ

A) V-V-F

ข) เอฟ-เอฟ-วี

C) F-V-F

D) F-F-F

จ) V-F-V

ปณิธาน:

อีทางเลือก

ฉัน. รากที่สองของความแปรปรวนคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (จริง)

ครั้งที่สอง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่มีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต (เท็จ)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานระบุช่วงเวลารอบค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งข้อมูลส่วนใหญ่ตกหล่น

สาม. ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัวอย่างของการวัดการกระจาย (จริง)

โดย Maria Luiza Alves Rizzo
ครูคณิต

ดูแนวคิดหลักและหลักการของสถิติได้ที่นี่ ดูเพิ่มเติมว่าการศึกษาสถิติถูกแบ่งและปฏิบัติตามการใช้งานบางส่วนอย่างไร

คลิกและเรียนรู้การวัดการกระจายที่เรียกว่าแอมพลิจูดและความเบี่ยงเบน และดูตัวอย่างการประยุกต์ใช้วิธีการวิเคราะห์ข้อมูลเหล่านี้

ตรวจสอบคำจำกัดความและวิธีการใช้ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน การวัดการกระจายที่สำคัญสองประการ

คลิกและเรียนรู้วิธีคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต การวัดค่าศูนย์กลางซึ่งผลลัพธ์จะแสดงรายการข้อมูล

สแควร์รูทเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในโรงเรียนทุกระดับ เรียนรู้ระบบการตั้งชื่อและคำจำกัดความ ตลอดจนการตีความทางเรขาคณิต

คุณรู้หรือไม่ว่าความแปรปรวนคืออะไร? เรียนรู้วิธีการคำนวณและวิธีใช้การวัดการกระจายตัวที่น่าสนใจนี้!