ทฤษฎีบท Bisector ภายใน: มันคืออะไร, การพิสูจน์

เธ ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายในได้รับการพัฒนาโดยเฉพาะสำหรับ สามเหลี่ยม และแสดงให้เห็นว่าเมื่อเราลากเส้นแบ่งครึ่งภายในของมุมของสามเหลี่ยมนั้น จุดบรรจบของเส้นแบ่งครึ่งที่มีด้านตรงข้ามกันจะแบ่งด้านนั้นออกเป็น ส่วนของเส้น เป็นสัดส่วนกับด้านประชิดของมุมนั้น ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน เป็นไปได้ที่จะกำหนดค่าของด้านหรือส่วนของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้สัดส่วนระหว่างกัน.

ดูด้วย: ค่ามัธยฐาน แบ่งครึ่งมุม และความสูงของสามเหลี่ยม — อะไรคือความแตกต่าง?

สรุปทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน:

  • bisector คือ a เรย์ ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นสองมุมที่เท่ากัน

  • ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายในนั้นจำเพาะกับรูปสามเหลี่ยม

  • ทฤษฎีบทนี้พิสูจน์ว่า bisector แบ่งด้านตรงข้ามเป็น ส่วนสัดส่วน ไปยังด้านที่อยู่ติดกับ มุม.

บทเรียนวิดีโอเกี่ยวกับทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน

ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งคืออะไร?

ก่อนที่เราจะเข้าใจสิ่งที่ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งวงในกล่าวว่าสิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าคืออะไร แบ่งครึ่งของมุม เป็นรังสีที่แบ่งมุมออกเป็นสองส่วนที่เท่ากันนั่นคือสองส่วนที่มีขนาดเท่ากัน

แบ่งครึ่งของมุม A แสดงเป็นสีส้ม
การแบ่งเขตของ bisector AD ของมุม

เมื่อเข้าใจว่าเส้นแบ่งครึ่งคืออะไร เราสังเกตว่ามันอยู่ที่มุมภายในของสามเหลี่ยม เมื่อเราวาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยม มันจะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วน เกี่ยวกับการแบ่งครึ่งภายใน

ทฤษฎีบทของมันบอกว่าสองส่วนหารด้วยมันเป็นสัดส่วนกับด้านประชิดของมุม.

 สามเหลี่ยม ABC ในสีเบจ ขอบสีส้มและมุมระบุเป็นสีเขียว โดยลากเส้นแบ่งครึ่ง BD

โปรดทราบว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้าน AC ออกเป็นสองส่วนคือ AD และ DC ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งแสดงว่า:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

เรียนรู้เพิ่มเติม: ทฤษฎีบทพีทาโกรัส — อีกทฤษฎีบทหนึ่งที่พัฒนาขึ้นสำหรับรูปสามเหลี่ยม

การพิสูจน์ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ด้านล่าง เราจะแบ่งเขตส่วน BD ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมนี้ นอกจากนี้ เราจะติดตามการยืดออกของด้านข้าง CB และส่วน AE ขนานกับ BD:

สามเหลี่ยม ABC สีเบจ แบ่งครึ่ง BD และส่วนต่อ AEB

มุม AEB เท่ากันทุกประการกับมุม DBCเพราะ CE คือ a ตรง ตัดขวางไปยังส่วนคู่ขนาน AE และ BD

ใช้ ทฤษฎีบทของทาเลสเราสรุปได้ว่า:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

ตอนนี้เรา ยังคงแสดงว่า BE = AB.

เนื่องจาก x คือหน่วยวัดของมุม ABD และ DBC เมื่อวิเคราะห์มุม ABE เราจึงได้:

ABE = 180 - 2x

ถ้า y คือการวัดมุม EAB เรามีสถานการณ์ต่อไปนี้:

สามเหลี่ยม ABC สีเบจ มี BD แบ่งครึ่ง ส่วนต่อ AEB และมุมที่ไม่ทราบในส่วนต่อขยาย

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยม ABE คือ 180° ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณ:

180 - 2x + x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

ถ้ามุม x และมุม y มีหน่วยวัดเท่ากัน สามเหลี่ยม ABE คือ หน้าจั่ว. ดังนั้น ด้าน AB = AE

เนื่องจากผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับ 180° เสมอ ในรูปสามเหลี่ยม ACE เราจึงมี:

x + 180 - 2x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

เนื่องจาก y = x สามเหลี่ยม ACE จึงเป็นหน้าจั่ว. ดังนั้นเซ็กเมนต์ AE และ AC จึงสอดคล้องกัน การสลับ AE เป็น AC ใน เหตุผลได้รับการพิสูจน์แล้วว่า:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

ตัวอย่าง:

ค้นหาค่าของ x ในรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้:

สามเหลี่ยมสีขาว ABC มีด้าน 6, 8 และ 3 + x โดยวาดเส้นแบ่งครึ่ง BD

การวิเคราะห์สามเหลี่ยม เราได้อัตราส่วนต่อไปนี้:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

การคูณข้าม:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

x = 4

อ่านด้วย: จุดสังเกตของสามเหลี่ยม — มันคืออะไร?

แก้ไขแบบฝึกหัดทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน

คำถามที่ 1

เมื่อพิจารณาจากสามเหลี่ยมด้านล่าง เราสามารถพูดได้ว่าค่าของ x คือ:

 สามเหลี่ยมสีขาว ABC มีด้าน 27, 30 และ 18 โดยวาดเส้นแบ่งครึ่ง BD

ก) 9

ข) 10

ค) 11

ง) 12

จ) 13

ปณิธาน:
ทางเลือก D

การใช้ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งภายใน เราได้รับการคำนวณดังต่อไปนี้:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

การคูณข้าม:

\(27x=18\ \left (30-x\right)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

คำถาม2

วิเคราะห์สามเหลี่ยมต่อไปนี้ โดยรู้ว่าหน่วยวัดของคุณมีหน่วยเซนติเมตร

 สามเหลี่ยมสีขาว ABC มีด้าน 2x, 4x – 9 และ 12 ซม. โดยมีรอยแบ่งครึ่ง BD

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ:

ก) 75 ซม.

ข) 56 ซม.

ค) 48 ซม.

ง) 24 ซม.

จ) 7.5 ซม.

ปณิธาน:

ทางเลือก C

เมื่อใช้ทฤษฎีบทแบ่งครึ่ง เราจะหาค่าของ x ก่อน:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7.5\)

ดังนั้นด้านที่ไม่รู้จักวัด:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

ระลึกไว้ว่า ความยาววัด ที่ใช้คือ cm, the ปริมณฑล ของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 ซม.

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

แหล่งที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm

ภาพลวงตาสามารถบ่งบอกได้ว่าคุณสายตาดีหรือไม่

ภาพลวงตาสามารถบ่งบอกได้ว่าคุณสายตาดีหรือไม่

บาง ภาพลวงตา ดูเหมือนง่ายในการแก้ปัญหา แต่จริงๆ แล้วยากอย่างเหลือเชื่อ ทั้งๆที่ไม่มี ภาพ สีและภาพ...

read more
พิสูจน์ว่าคุณมีสายตาที่เฉียบคมและค้นหาซานตาคลอสในภาพประกอบนี้

พิสูจน์ว่าคุณมีสายตาที่เฉียบคมและค้นหาซานตาคลอสในภาพประกอบนี้

คุณคิดว่าตัวเองเป็นคนที่มีสายตาเฉียบคมและมีการรับรู้ที่ดีเกี่ยวกับสิ่งที่คุณเห็นหรือไม่? โดยปกติเ...

read more

เหตุใดการเลิกราจึงทำให้เกิดความเจ็บปวดทางร่างกายได้

เบื่ออาหาร คลื่นไส้ ปวดเมื่อยตามร่างกาย และแม้กระทั่งอาการของโรคบางอย่าง เช่น โรคหวัดและไข้หวัดให...

read more
instagram viewer