แฟคตอริ่งพหุนาม: กรณีและตัวอย่าง

การแยกตัวประกอบของ พหุนาม ประกอบด้วยวิธีการที่พัฒนาขึ้นเพื่อเขียนพหุนามใหม่ เป็นผลคูณระหว่างพหุนาม เขียนพหุนามเป็น การคูณ ระหว่างสองปัจจัยขึ้นไปช่วยในการลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตและการทำความเข้าใจพหุนาม

แฟคตอริ่งมีหลายกรณี และแต่ละกรณีก็มีเทคนิคเฉพาะ. กรณีที่มีอยู่ ได้แก่: การแยกตัวประกอบตามปัจจัยร่วมในหลักฐาน การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม ความแตกต่างระหว่างสองกำลังสอง ไตรโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์ ผลรวมของสองลูกบาศก์ และผลต่างของสองลูกบาศก์

อ่านเพิ่มเติม:พหุนามคืออะไร?

สรุปพหุนามแฟคตอริ่ง

• การแยกตัวประกอบของพหุนามเป็นเทคนิคที่ใช้แทนพหุนามเป็นผลคูณระหว่างพหุนาม

• เราใช้การแยกตัวประกอบนี้เพื่อทำให้ง่ายขึ้น นิพจน์พีชคณิต.

• กรณีแฟคตอริ่งคือ:

  • การแยกตัวประกอบตามปัจจัยร่วมในหลักฐาน;

  • แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม;

  • trinomial จตุรัสที่สมบูรณ์แบบ;

  • ความแตกต่างของสองสี่เหลี่ยม;

  • ผลรวมของสองก้อน;

  • ความแตกต่างของลูกบาศก์สองก้อน.

กรณีพหุนามแฟคตอริ่ง

เพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม มีความจำเป็นต้องวิเคราะห์ว่าสถานการณ์ใดเหมาะกับกรณีแฟคตอริ่ง, เป็น: การแยกตัวประกอบตามปัจจัยร่วมในหลักฐาน, การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม, ความแตกต่างระหว่างสองกำลังสอง, ไตรโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์, ผลรวมของสองลูกบาศก์และผลต่างของสองลูกบาศก์ เรามาดูวิธีการแยกตัวประกอบในแต่ละรายการ

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

• ปัจจัยร่วมในหลักฐาน

เราใช้วิธีการแฟคตอริ่งนี้เมื่อมีตัวประกอบร่วมในพจน์ทั้งหมดของพหุนาม. ปัจจัยร่วมนี้จะถูกเน้นเป็นปัจจัยหนึ่ง และปัจจัยอื่น ๆ ผลลัพธ์ของ แผนก ของเงื่อนไขโดยปัจจัยร่วมนั้นจะอยู่ในวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 1:

20xy + 12x² + 8xy²

จากการวิเคราะห์แต่ละเทอมของพหุนามนี้ จะเห็นว่า x ซ้ำกันในทุกพจน์ นอกจากนี้ สัมประสิทธิ์ทั้งหมด (20, 12 และ 8) ยังเป็นผลคูณของ 4 ดังนั้นตัวประกอบร่วมของทุกพจน์คือ 4x

หารแต่ละเทอมด้วยตัวประกอบร่วม เรามี:

20xy: 4x = 5y

12x²: 4x = 3x

8xy²: 4x = 2y²

ตอนนี้ เราจะเขียนการแยกตัวประกอบโดยใส่ปัจจัยร่วมในหลักฐานและ ผลรวม ของผลลัพธ์ที่พบในวงเล็บ:

4x (5y + 3x + 2y²)

ตัวอย่างที่ 2:

2a²b² + 3a³b – 4a⁵b³

จากการวิเคราะห์ส่วนตามตัวอักษรของแต่ละเทอม จะเห็นว่ามีการทำซ้ำ a²b ในทุกคำ โปรดทราบว่าไม่มีตัวเลขที่หาร 2, 3 และ – 4 พร้อมกัน ตัวประกอบร่วมจะเป็นเพียง a²b

2a²b²: a²b = 2b

3a³b: a²b = 3a

ครั้งที่ 4⁵b³: a²b = 4a³

ดังนั้นการแยกตัวประกอบของพหุนามนี้จะเป็น:

a²b (2b + 3a + 4a³)

ดูด้วย: การบวก การลบ และการคูณพหุนาม — เข้าใจวิธีการทำ

• การจัดกลุ่ม

วิธีนี้คือ ใช้เมื่อไม่มีตัวประกอบร่วมสำหรับพจน์ทั้งหมดของพหุนาม. ในกรณีนี้ เราระบุคำศัพท์ที่สามารถจัดกลุ่มได้โดยมีปัจจัยร่วมและเน้นคำเหล่านั้น

ตัวอย่าง:

แยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้:

ขวาน + 4b + bx + 4a

เราจะจัดกลุ่มคำที่มี a และ b เป็นปัจจัยร่วม:

ขวาน + 4a + bx + 4b

นำ a และ b มาเป็นหลักฐานแบบสองต่อสอง เรามี:

ก(x+4)+ข(x+4)

โปรดทราบว่าภายในวงเล็บ ตัวประกอบจะเหมือนกัน เราจึงสามารถเขียนพหุนามนี้เป็น:

(a + b) (x + 4)

• trinomial จตุรัสที่สมบูรณ์แบบ

Trinomials เป็นพหุนามที่มี 3 เทอม พหุนามเรียกว่าพหุนามกำลังสองสมบูรณ์เมื่อเป็น ผลรวมกำลังสองหรือผลต่างกำลังสอง, นั่นคือ:

a² + 2ab + b² = (a + b) ²

a² – 2ab + b² = (a – b) ²

สำคัญ: ไม่ใช่ทุกครั้งที่มีสามเทอม พหุนามนี้จะเป็นพหุนามกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้น ก่อนดำเนินการแยกตัวประกอบ จะต้องตรวจสอบก่อนว่า trinomial เหมาะกับในกรณีนี้หรือไม่

ตัวอย่าง:

ตัวประกอบ ถ้าเป็นไปได้ พหุนาม

x² + 10x + 25

หลังจากวิเคราะห์ไตรนามนี้แล้ว เราจะแยก รากที่สอง เทอมแรกและเทอมสุดท้าย:

\(\sqrt{x^2}=x\)

\(\sqrt{25}=5\)

สิ่งสำคัญคือต้องตรวจสอบว่าระยะกลาง กล่าวคือ 10x เท่ากับ \(2\cdot\ x\cdot5\). สังเกตว่ามันเหมือนกันจริงๆ นี่จึงเป็นไตรโนเมียลกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้โดย:

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

• ความแตกต่างของสองสี่เหลี่ยม

เมื่อเรามีความแตกต่างของสองกำลังสอง เราแยกตัวประกอบพหุนามนี้ได้โดยเขียนใหม่เป็นผลคูณของผลรวมและผลต่าง.

ตัวอย่าง:

แยกตัวประกอบพหุนาม:

4x² – 36y²

อันดับแรก เราจะคำนวณรากที่สองของแต่ละเทอมของมัน:

\(\sqrt{4x^2}=2x\)

\(\sqrt{36y^2}=6y\)

ตอนนี้ เราจะเขียนพหุนามนี้ใหม่เป็นผลคูณของผลรวมและผลต่างของรากที่พบ:

4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)

อ่านด้วย: การคำนวณเกี่ยวกับพีชคณิตเกี่ยวกับโมโนเมียม — เรียนรู้ว่าการดำเนินการทั้งสี่เกิดขึ้นได้อย่างไร

• ผลรวมของสองก้อน

ผลรวมของลูกบาศก์สองก้อน นั่นคือ a³ + b³ สามารถแยกตัวประกอบเป็น:

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

ตัวอย่าง:

แยกตัวประกอบพหุนาม:

x³ + 8

เรารู้ว่า 8 = 2³ ดังนั้น:

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)

• ความแตกต่างของลูกบาศก์สองก้อน

ความแตกต่างของลูกบาศก์สองก้อน นั่นคือ a³ – b³, ไม่ต่างจากผลรวมของลูกบาศก์สองก้อน สามารถแยกตัวประกอบเป็น:

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

ตัวอย่าง:

แยกตัวประกอบพหุนาม

8x³ - 27

เรารู้ว่า:

8x³ = (2x) ³

27 = 3³

ดังนั้นเราต้อง:

\(8x^3-27=\left (2x-3\right)\)

\(8x^3-27=\left (2x-3\right)\left (4x^2+6x+9\right)\)

แบบฝึกหัดแก้พหุนามแฟคตอริ่ง

คำถามที่ 1

การใช้ตัวประกอบพหุนามเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิต \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), เราจะพบ:

ก) x + 2

ข) x - 2

ค) \(\frac{x-2}{x+2}\)

ง) \(\frac{x+2};{x-2}\)

จ) (x - 2) (x + 2)

ปณิธาน:

ทางเลือก D

เมื่อดูที่ตัวเศษ เราจะเห็นว่า x² + 4x + 4 เป็นกรณีของไตรนามกำลังสองสมบูรณ์และสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

ตัวเศษ x² – 4 คือผลต่างของสี่เหลี่ยมสองช่องและสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

x² - 4 = (x + 2) (x - 2)

ดังนั้น:

\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)

โปรดทราบว่าเทอม x + 2 ปรากฏทั้งในตัวเศษและในตัวส่วน ดังนั้นการทำให้เข้าใจง่ายโดย:

\(\frac{x+2};{x-2}\)

คำถาม2

(สถาบันยูนิฟิล) เมื่อพิจารณาว่าตัวเลขสองตัวคือ x และ y ซึ่ง x + y = 9 และ x² – y² = 27 ค่าของ x จะเท่ากับ:

ก) 4

ข) 5

ค) 6

ง) 7

ปณิธาน:

ทางเลือก C

โปรดทราบว่า x² – y² คือผลต่างระหว่างสองกำลังสอง และสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของผลรวมและผลต่าง:

x² – y² = (x + y) (x – y)

เรารู้ว่า x + y = 9:

(x + y) (x - y) = 27

9 (x - y) = 27

x - y = 27: 9

x - y = 3

จากนั้นเราสามารถตั้งค่า a ระบบสมการ:

เพิ่มสองบรรทัด:

2x + 0 y = 12

2x = 12

x = \(\frac{12}{2}\)

x = 6

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต