เวกเตอร์: มันคืออะไร การดำเนินการ แอปพลิเคชัน และแบบฝึกหัด

เวกเตอร์คือการแทนค่าที่กำหนดขนาด ทิศทาง และทิศทางของปริมาณเวกเตอร์ เวกเตอร์เป็นส่วนตรงที่มีลูกศรชี้ที่ปลายด้านหนึ่ง

เราตั้งชื่อเวกเตอร์ด้วยตัวอักษรและลูกศรขนาดเล็ก

เวกเตอร์แสดงคุณลักษณะของปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งเป็นปริมาณที่ต้องการการปฐมนิเทศ นั่นคือ ทิศทางและทิศทาง ตัวอย่างบางส่วน ได้แก่ แรง ความเร็ว ความเร่ง และการกระจัด ค่าตัวเลขไม่เพียงพอ จำเป็นต้องอธิบายว่าปริมาณเหล่านี้กระทำการที่ใด

โมดูลัสของเวกเตอร์

โมดูลัสหรือความเข้มของเวกเตอร์คือค่าตัวเลข ตามด้วยหน่วยวัดขนาดที่แสดง ตัวอย่างเช่น

เวกเตอร์ที่แทนขนาดของความยาว โดยมีโมดูลสองเมตร

เราระบุโมดูลระหว่างแถบที่รักษาลูกศรหรือเฉพาะตัวอักษร ไม่มีแถบ และไม่มีลูกศร

ความยาวของเวกเตอร์เป็นสัดส่วนกับโมดูลัส เวกเตอร์ที่ใหญ่กว่าแสดงถึงโมดูลัสที่ใหญ่กว่า

โมดูลเวกเตอร์ คือ 4 หน่วย ในขณะที่เวกเตอร์ คือ 2 หน่วย

ทิศทางของเวกเตอร์

ทิศทางของเวกเตอร์คือความชันของเส้นแนวรับที่กำหนด มีทิศทางเดียวเท่านั้นสำหรับแต่ละเวกเตอร์

ทิศทางแนวตั้ง แนวนอน และเฉียง (เอียง) ของเวกเตอร์

ความรู้สึกของเวกเตอร์

ทิศทางของเวกเตอร์แสดงโดยลูกศร ทิศทางเดียวกันอาจมีสองทิศทาง เช่น ขึ้นหรือลง และซ้ายหรือขวา

เวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกัน แนวนอน และทิศตรงข้ามกัน

การนำทิศทางเป็นค่าบวก ทิศทางตรงกันข้าม ค่าลบ จะแสดงด้วยเครื่องหมายลบก่อนสัญลักษณ์เวกเตอร์

ผลลัพธ์เวกเตอร์

เวกเตอร์ที่ได้เป็นผลจากการดำเนินการเวกเตอร์และเทียบเท่ากับชุดของเวกเตอร์ เป็นการสะดวกที่จะทราบเวกเตอร์ที่แสดงถึงเอฟเฟกต์ที่เกิดจากเวกเตอร์มากกว่าหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น ร่างกายสามารถอยู่ภายใต้ชุดของกองกำลัง และเราต้องการที่จะทราบผลลัพธ์ที่พวกมันจะสร้างขึ้นมารวมกันบนร่างกายนี้ แรงแต่ละอันแสดงด้วยเวกเตอร์ แต่ผลลัพธ์สามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์เดียวเท่านั้น: เวกเตอร์ผลลัพธ์

ผลลัพธ์เวกเตอร์ ของทิศทางแนวนอนและทิศทางไปทางขวา เป็นผลมาจากการบวกและการลบของเวกเตอร์ , , และ . เวกเตอร์ที่ได้แสดงให้เห็นแนวโน้มที่ร่างกายจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางนี้

เวกเตอร์ที่มีทิศทางแนวตั้งมีขนาดเท่ากัน นั่นคือ โมดูลเดียวกัน เนื่องจากมีความหมายตรงกันข้ามจึงตัดกัน แสดงว่ากล่องลังจะไม่มีการเคลื่อนตัวในแนวตั้ง

เมื่อวิเคราะห์เวกเตอร์ และ ซึ่งมีทิศทางเดียวกันและทิศทางตรงกันข้าม เรารู้ว่าส่วนหนึ่งของแรง "คง" ไปทางขวา เป็นเวกเตอร์ ใหญ่กว่า นั่นคือโมดูลของ มันใหญ่กว่า

เพื่อหาเวกเตอร์ผลลัพธ์ เราทำการบวกและลบเวกเตอร์

การบวกและการลบเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน

กับ ความรู้สึกที่เท่าเทียมกันเราเพิ่มโมดูลและคงทิศทางและทิศทางไว้

ตัวอย่าง:

กราฟิกเราวางเวกเตอร์ตามลำดับโดยไม่ต้องเปลี่ยนโมดูล จุดเริ่มต้นของคนหนึ่งต้องตรงกับจุดสิ้นสุดของอีกคนหนึ่ง

คุณสมบัติสับเปลี่ยนของการบวกนั้นใช้ได้ เนื่องจากลำดับจะไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์

กับ ความรู้สึกตรงข้ามเราลบโมดูลและรักษาทิศทาง ทิศทางของเวกเตอร์ที่ได้คือทิศทางของเวกเตอร์ที่มีโมดูลัสที่ใหญ่ที่สุด

ตัวอย่าง:

เวกเตอร์ เป็นส่วนที่เหลือของ , หลังจากถอนตัว .

การลบเวกเตอร์หนึ่งเท่ากับการบวกกับสิ่งที่ตรงกันข้ามกับอีกตัวหนึ่ง

การบวกและการลบของเวกเตอร์ตั้งฉาก

ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวที่มีทิศทางตั้งฉาก เราย้ายเวกเตอร์โดยไม่เปลี่ยนโมดูลัส เพื่อให้จุดเริ่มต้นของอันหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอีกอันหนึ่ง

เวกเตอร์ที่ได้จะเชื่อมโยงจุดเริ่มต้นของอันแรกกับจุดสิ้นสุดของวินาที

ในการกำหนดขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากสองเวกเตอร์ เราจับคู่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสอง

โมดูลัสของเวกเตอร์ผลลัพธ์ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

การบวกและการลบเวกเตอร์เฉียง

เวกเตอร์สองตัวจะเฉียงเมื่อพวกมันสร้างมุมระหว่างทิศทางอื่นที่ไม่ใช่ 0°, 90° และ 180° ในการบวกหรือลบเวกเตอร์เฉียง ใช้วิธีสี่เหลี่ยมด้านขนานและเส้นหลายเหลี่ยม

วิธีสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในการดำเนินการตามวิธีการหรือกฎของสี่เหลี่ยมด้านขนานระหว่างเวกเตอร์สองตัวและวาดเวกเตอร์ที่ได้ เราทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ขั้นตอนแรกคือการวางตำแหน่งต้นกำเนิดที่จุดเดียวกันและลากเส้นขนานกับเวกเตอร์เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน

อย่างที่สองคือการวาดเวกเตอร์แนวทแยงบนสี่เหลี่ยมด้านขนาน ระหว่างยูเนียนของเวกเตอร์กับยูเนียนของเส้นคู่ขนาน

เส้นประขนานกับเวกเตอร์และรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เวกเตอร์ที่ได้คือเส้นที่เชื่อมจุดกำเนิดของเวกเตอร์กับเส้นขนาน

อู๋ โมดูลัสของเวกเตอร์ผลลัพธ์ ได้มาจากกฎโคไซน์

ที่ไหน:

R คือขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์
a คือโมดูลเวกเตอร์ ;
b คือโมดูลัสของเวกเตอร์ ;
คือมุมที่เกิดขึ้นระหว่างทิศทางของเวกเตอร์

วิธีสี่เหลี่ยมด้านขนานใช้เพื่อเพิ่มคู่ของเวกเตอร์ ถ้าคุณต้องการเพิ่มเวกเตอร์มากกว่าสองเวกเตอร์ คุณต้องบวกมันสองต่อสอง สำหรับเวกเตอร์ที่เกิดจากผลรวมของสองตัวแรก เราบวกตัวที่สามและต่อไปเรื่อยๆ

อีกวิธีในการเพิ่มเวกเตอร์มากกว่าสองเวกเตอร์คือการใช้วิธีเส้นรูปหลายเหลี่ยม

วิธีเส้นเหลี่ยม

วิธีเส้นรูปหลายเหลี่ยมใช้เพื่อค้นหาเวกเตอร์ที่เกิดจากการเพิ่มเวกเตอร์ วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อเพิ่มเวกเตอร์มากกว่าสองตัว เช่น เวกเตอร์ต่อไปนี้ , , และ .

ในการใช้วิธีนี้ เราต้องสั่งเวกเตอร์เพื่อให้จุดสิ้นสุดของหนึ่ง (ลูกศร) เกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของอีกอันหนึ่ง การอนุรักษ์โมดูล ทิศทาง และทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ

หลังจากจัดเรียงเวกเตอร์ทั้งหมดในรูปแบบของเส้นรูปหลายเหลี่ยมแล้ว เราต้องติดตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ไปจากจุดเริ่มต้นอันแรกจนถึงจุดสิ้นสุดของเส้นสุดท้าย

เป็นสิ่งสำคัญที่เวกเตอร์ที่ได้จะปิดรูปหลายเหลี่ยมด้วยลูกศรที่ประจวบกับลูกศรในเวกเตอร์สุดท้าย

คุณสมบัติการสับเปลี่ยนนั้นใช้ได้ เนื่องจากลำดับที่เราวางพล็อต-เวกเตอร์ไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ผลลัพธ์

การสลายตัวของเวกเตอร์

การสลายเวกเตอร์คือการเขียนส่วนประกอบที่ประกอบเป็นเวกเตอร์นี้ ส่วนประกอบเหล่านี้เป็นเวกเตอร์อื่น

เวกเตอร์ทุกตัวสามารถเขียนเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์อื่นๆ ผ่านผลรวมเวกเตอร์ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถเขียนเวกเตอร์เป็นผลรวมของเวกเตอร์สองตัว ซึ่งเราเรียกว่าส่วนประกอบ

โดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่มีแกน x และ y ตั้งฉาก เรากำหนดองค์ประกอบของเวกเตอร์

เวกเตอร์ คือผลลัพธ์ของผลรวมเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์ส่วนประกอบ และ .

เวกเตอร์ เอียง สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีแกน x ดังนั้นเราจึงกำหนดโมดูลของเวกเตอร์ส่วนประกอบโดยใช้ตรีโกณมิติ

ขวานโมดูลส่วนประกอบ

โมดูลส่วนประกอบ a.

โมดูลเวกเตอร์ ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่าง
แรงกระทำโดยการดึงบล็อกจากพื้น แรงโมดูลัส 50 N เอียง 30° จากแนวนอน กำหนดองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้งของแรงนี้

ข้อมูล:

การคูณจำนวนจริงด้วยเวกเตอร์

การคูณจำนวนจริงด้วยเวกเตอร์ ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ใหม่ ซึ่งมีลักษณะดังต่อไปนี้:

• ทิศทางเดียวกันถ้าจำนวนจริงไม่ใช่ศูนย์
• ทิศทางเดียวกัน หากจำนวนจริงเป็นบวก และในทิศทางตรงกันข้ามหากเป็นลบ
• โมดูลัสจะเป็นผลคูณของโมดูลัสของจำนวนจริงและโมดูลัสของเวกเตอร์ที่คูณ

ผลคูณระหว่างจำนวนจริงกับเวกเตอร์

ที่ไหน:
คือเวกเตอร์ที่เกิดจากการคูณ
คือจำนวนจริง
คือเวกเตอร์กำลังคูณ

ตัวอย่าง
ให้จำนวนจริง n = 3 และเวกเตอร์ ของโมดูโล 2 ผลคูณระหว่างพวกเขาเท่ากับ:

การคำนวณโมดูล

ทิศทางและทิศทางจะเหมือนกัน

แบบฝึกหัด 1

(ศัตรู 2011) แรงเสียดทานเป็นแรงที่ขึ้นอยู่กับการสัมผัสระหว่างวัตถุ มันสามารถกำหนดได้ว่าเป็นแรงที่ตรงกันข้ามกับแนวโน้มการกระจัดของร่างกายและเกิดขึ้นเนื่องจากความผิดปกติระหว่างพื้นผิวทั้งสองที่สัมผัสกัน ในรูป ลูกศรแสดงถึงแรงที่กระทำต่อร่างกาย และจุดที่ขยายใหญ่ขึ้นแสดงถึงความผิดปกติที่มีอยู่ระหว่างพื้นผิวทั้งสอง

ในรูป เวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของแรงที่ก่อให้เกิดการกระจัดและการเสียดสี คือ ตามลำดับ:

NS)

NS)

NS)

NS)

และ)

ดูคำตอบ

คำตอบที่ถูกต้อง: ตัวอักษร a)

ลูกศรแสดงถึงเวกเตอร์ของแรงที่กระทำในการเคลื่อนที่ในแนวนอน โดยเป็นคู่การกระทำ-ปฏิกิริยา ซึ่งมีทิศทางตรงกันข้าม

ลูกศรแนวตั้งแสดงถึงการกระทำของแรงน้ำหนักและแรงตั้งฉาก และเมื่อเท่ากัน ลูกศรทั้งสองจะหักล้างกันโดยไม่มีการเคลื่อนไหวในแนวตั้ง

แบบฝึกหัดที่ 2

(UEFS 2011) แผนภาพเวกเตอร์ในรูปภาพแสดงแรงที่เกิดจากแถบยางสองเส้นบนฟันของผู้เข้ารับการจัดฟัน

สมมติว่า F = 10.0N, sen45° = 0.7 และ cos45° = 0.7 ความเข้มของแรงที่ยางยืดบนฟันมีหน่วยเป็น N เท่ากับ

ก) 3√10
ข) 2√30
ค) 2√85
ง) 3√35
จ) 2√45

ดูคำตอบ

คำตอบที่ถูกต้อง: c) 2√85

ความเข้มของแรงที่ใช้กับฟันนั้นได้มาจากกฎโคไซน์

a และ b เท่ากับ 10 N

การแยกตัวประกอบรากที่สองทำให้เรา:

ดังนั้น ความเข้มของแรงที่เกิดจากแถบยางบนฟันจึงเท่ากับ .

แบบฝึกหัดที่ 3

(PUC RJ 2016) บังคับ F1, F2, F3 และ F4 ในรูปสร้างมุมฉากให้กันและกันและโมดูลตามลำดับคือ 1 N, 2 N, 3 N และ 4 N

คำนวณโมดูลัสของแรงสุทธิเป็น N

ก) 0
ข) √2
ค) 2
ง) 2√ 2
จ) 10

ดูคำตอบ

คำตอบที่ถูกต้อง: ง) 2√ 2

เราใช้วิธีเส้นรูปหลายเหลี่ยมเพื่อกำหนดเวกเตอร์ผลลัพธ์ ในการทำเช่นนี้ เราจัดเรียงเวกเตอร์ใหม่เพื่อให้จุดสิ้นสุดของอันหนึ่งตรงกับจุดเริ่มต้นของอีกอันหนึ่ง ดังนี้:

การใช้ระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ผลลัพธ์ เราสามารถกำหนดโมดูลของส่วนประกอบได้ดังนี้:

ดังนั้น เราต้อง:

ไร = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N

ขนาดของเวกเตอร์ที่ได้ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ดังนั้น โมดูลัสของแรงสุทธิจึงเท่ากับ .

เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับ

• เวกเตอร์: การบวก การลบ และการสลายตัว
• ปริมาณเวกเตอร์

✖