ทวินามของนิวตัน: มันคืออะไร, สูตร, ตัวอย่าง

ทวินามของนิวตัน เป็นทวินามใด ๆ ที่ยกขึ้นเป็นจำนวน ไม่ เกี่ยวกับอะไร ไม่ มันเป็นจำนวนธรรมชาติ ขอบคุณการศึกษาของนักฟิสิกส์ ไอแซกนิวตัน เกี่ยวกับพลังของทวินามก็เป็นไปได้ ตรวจสอบระเบียบที่อำนวยความสะดวกในการเป็นตัวแทนของพหุนาม ที่เกิดจากพลังของทวินาม

การสังเกตความสม่ำเสมอเหล่านี้ก็เป็นไปได้เช่นกัน ค้นหาเงื่อนไขของ .เพียงข้อเดียวเท่านั้น พหุนามโดยไม่ต้องคำนวณทั้งหมดโดยใช้สูตรของเทอมทั่วไปของทวินาม นอกจากนี้ นิวตันยังสังเกตเห็นความสัมพันธ์ระหว่าง การวิเคราะห์เชิงผสมa และทวินามของนิวตัน อะไรทำให้ สามเหลี่ยมปาสกาล เป็นเครื่องมือที่ยอดเยี่ยมสำหรับการพัฒนาทวินามของนิวตันในทางปฏิบัติ

อ่านด้วย: อุปกรณ์ Briot-Ruffini - วิธีการหารพหุนาม

คำจำกัดความของทวินามของนิวตัน

เรานิยามเป็นทวินาม theพหุนามซึ่งมีสองพจน์ ในบางแอปพลิเคชันในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ จำเป็นต้องคำนวณกำลังของทวินาม เพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการ Isaac Newton สังเกตเห็นความสม่ำเสมอที่สำคัญ ที่ทำให้เราสามารถหาพหุนามที่เกิดจากพลังของทวินามได้

Isaac Newton เป็นนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์และมีส่วนร่วมอย่างมากกับทั้งสองสาขา

ในบางกรณี การคำนวณค่อนข้างง่าย: เพียงดำเนินการ perform

instagram story viewer

การคูณทวินามด้วยตัวมันเองโดยใช้คุณสมบัติการกระจาย ถึงศักยภาพของคำสั่ง 3 เราพัฒนาโดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากนักเนื่องจากเป็นที่รู้จักกันดี สินค้าเด่นแต่สำหรับกำลังที่สูงกว่า ให้คำนวณจากการคูณเทอมด้วยตัวมันเอง ไม่ บางครั้งก็มีงานเยอะ

ตัวอย่าง

จำไว้ว่าทุกจำนวนที่เพิ่มเป็นศูนย์จะเท่ากับ 1 และทุกจำนวนที่เพิ่มเป็น 1 ก็คือตัวมันเอง ซึ่งก็เป็นจริงสำหรับทวินามเช่นกัน

นิวตันสังเกตเห็น a ความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละเทอมกับการรวมกันซึ่งอนุญาตให้คำนวณกำลังของทวินามได้โดยตรงจากสูตรต่อไปนี้:

ทำความเข้าใจกับสูตร:

อันดับแรก มาดูส่วนตามตัวอักษรของแต่ละเทอมกัน ซึ่งก็คือตัวอักษรที่มีเลขชี้กำลัง สังเกตว่า สำหรับแต่ละเทอม เลขชี้กำลังของ “a” กำลังลดลงโดยเริ่มที่ n จากนั้นไปที่ n – 1 และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งเป็น 1 ในเทอมสุดท้ายและเป็น 0 ในเทอมที่แล้ว (ซึ่งทำให้ตัวอักษร “a” ไม่ปรากฏในเทอมสุดท้ายด้วยซ้ำ)

การระบุ และเลขชี้กำลัง:

ตอนนี้ มาวิเคราะห์เลขชี้กำลังของ "b" ซึ่งจะเพิ่มขึ้นเสมอ โดยเริ่มจาก 0 ในระยะแรก ( ซึ่งทำให้ตัวอักษร b ไม่ปรากฏในเทอมแรก) 1 ในเทอมที่สอง เป็นต้น จนกว่าจะเท่ากัน ไม่ในระยะสุดท้าย

การระบุ บี และเลขชี้กำลัง:

ทำความเข้าใจส่วนตัวอักษรกันเถอะ let วิเคราะห์สัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นการรวมกันของ ไม่ องค์ประกอบที่นำมาจาก 0 ถึง 0, 1 ถึง 1, 2 ถึง 2 และอื่น ๆ จนถึงเทอมสุดท้ายซึ่งเป็นการรวมกันของ ไม่ องค์ประกอบที่นำมาจาก ไม่ ใน ไม่.

เป็นที่น่าสังเกตว่าสิ่งสำคัญคือต้องเชี่ยวชาญการคำนวณของ ชุดค่าผสม เพื่อให้สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ได้ จำไว้ว่า ในการคำนวณชุดค่าผสม เราต้อง:

การตอบสนองแบบผสมผสานจะเป็น a. เสมอ ตัวเลขธรรมชาติ.

ดูด้วย: การหารพหุนาม: จะแก้อย่างไร?

ตัวอย่าง: คำนวณทวินามของนิวตัน (a+b) ยกกำลังสี่

ขั้นตอนที่ 1: เขียนพหุนามโดยใช้สูตร

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณชุดค่าผสม

โดยการแทนที่ชุดค่าผสม พหุนามที่พบจะเป็น:

คุณจะเห็นว่าการแก้ไขกรณีเช่นนี้ยังคงลำบาก ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง แต่ถึงแม้จะเร็วกว่าการคำนวณโดยใช้คุณสมบัติการกระจาย เครื่องมือที่สามารถช่วยในการคำนวณนี้คือสามเหลี่ยมของ Pascal

สามเหลี่ยมปาสกาล

สามเหลี่ยม Pascal ได้รับการพัฒนาโดย Blaise Pascal ในระหว่างการศึกษาชุดค่าผสม เขาคือ วิธีที่ทำให้การคำนวณชุดค่าผสมง่ายขึ้น. การใช้สามเหลี่ยมปาสกาลช่วยให้ค้นหาสัมประสิทธิ์ส่วนตามตัวอักษรของทวินามของนิวตันได้เร็วและง่ายขึ้นโดยไม่ต้องคำนวณชุดค่าผสมทั้งหมด

ในการสร้างสามเหลี่ยมปาสกาลโดยตรง ให้จำสองสถานการณ์ที่การคำนวณรวมกันมีค่าเท่ากับ 1

ดังนั้นเทอมแรกและเทอมสุดท้ายของทุกบรรทัดจะเท่ากับ 1 เสมอ คำศัพท์ส่วนกลางสร้างขึ้นจากผลรวมของคำที่อยู่ด้านบน บวกกับเพื่อนบ้านจากคอลัมน์ก่อนหน้า ดังที่แสดงด้านล่าง:

ในการสร้างบรรทัดถัดไป จำไว้ว่าเทอมแรกคือ 1 และเทอมสุดท้ายด้วย จากนั้นให้ทำการรวมเพื่อค้นหาเงื่อนไขส่วนกลางก็เพียงพอแล้ว

เข้าถึงด้วย: ทฤษฎีบทการสลายตัวของพหุนาม

ตัวอย่าง: คำนวณ (a+b) ยกกำลังหก

ขั้นตอนที่ 1: ใช้สูตรของทวินาม

ขั้นตอนที่ 2: สร้างสามเหลี่ยมของ Pascal ถึงบรรทัดที่ 6

ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ชุดค่าผสมด้วยค่าในบรรทัดที่ 6 ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละเงื่อนไขของทวินาม

สิ่งที่กำหนดจำนวนบรรทัดที่เราจะสร้างจากทวินามคือค่าของ n สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าบรรทัดแรกเป็นศูนย์

ศัพท์ทั่วไปทวินามของนิวตัน

พจน์ทั่วไปของนิวตันเป็นสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณเทอมของทวินามโดยไม่ต้องพัฒนาพหุนามทั้งหมด นั่นคือ เราสามารถ ระบุเงื่อนไขใด ๆ ตั้งแต่ต้นจนจบ ด้วยสูตรนี้ เราจะคำนวณคำที่เราต้องการได้โดยตรง