ทวินามของนิวตัน เป็นทวินามใด ๆ ที่ยกขึ้นเป็นจำนวน ไม่ เกี่ยวกับอะไร ไม่ มันเป็นจำนวนธรรมชาติ ขอบคุณการศึกษาของนักฟิสิกส์ ไอแซกนิวตัน เกี่ยวกับพลังของทวินามก็เป็นไปได้ ตรวจสอบระเบียบที่อำนวยความสะดวกในการเป็นตัวแทนของพหุนาม ที่เกิดจากพลังของทวินาม
การสังเกตความสม่ำเสมอเหล่านี้ก็เป็นไปได้เช่นกัน ค้นหาเงื่อนไขของ .เพียงข้อเดียวเท่านั้น พหุนามโดยไม่ต้องคำนวณทั้งหมดโดยใช้สูตรของเทอมทั่วไปของทวินาม นอกจากนี้ นิวตันยังสังเกตเห็นความสัมพันธ์ระหว่าง การวิเคราะห์เชิงผสมa และทวินามของนิวตัน อะไรทำให้ สามเหลี่ยมปาสกาล เป็นเครื่องมือที่ยอดเยี่ยมสำหรับการพัฒนาทวินามของนิวตันในทางปฏิบัติ
อ่านด้วย: อุปกรณ์ Briot-Ruffini - วิธีการหารพหุนาม
คำจำกัดความของทวินามของนิวตัน
เรานิยามเป็นทวินาม theพหุนามซึ่งมีสองพจน์ ในบางแอปพลิเคชันในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ จำเป็นต้องคำนวณกำลังของทวินาม เพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการ Isaac Newton สังเกตเห็นความสม่ำเสมอที่สำคัญ ที่ทำให้เราสามารถหาพหุนามที่เกิดจากพลังของทวินามได้
ในบางกรณี การคำนวณค่อนข้างง่าย: เพียงดำเนินการ perform
การคูณทวินามด้วยตัวมันเองโดยใช้คุณสมบัติการกระจาย ถึงศักยภาพของคำสั่ง 3 เราพัฒนาโดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากนักเนื่องจากเป็นที่รู้จักกันดี สินค้าเด่นแต่สำหรับกำลังที่สูงกว่า ให้คำนวณจากการคูณเทอมด้วยตัวมันเอง ไม่ บางครั้งก็มีงานเยอะตัวอย่าง
จำไว้ว่าทุกจำนวนที่เพิ่มเป็นศูนย์จะเท่ากับ 1 และทุกจำนวนที่เพิ่มเป็น 1 ก็คือตัวมันเอง ซึ่งก็เป็นจริงสำหรับทวินามเช่นกัน
นิวตันสังเกตเห็น a ความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละเทอมกับการรวมกันซึ่งอนุญาตให้คำนวณกำลังของทวินามได้โดยตรงจากสูตรต่อไปนี้:
ทำความเข้าใจกับสูตร:
อันดับแรก มาดูส่วนตามตัวอักษรของแต่ละเทอมกัน ซึ่งก็คือตัวอักษรที่มีเลขชี้กำลัง สังเกตว่า สำหรับแต่ละเทอม เลขชี้กำลังของ “a” กำลังลดลงโดยเริ่มที่ n จากนั้นไปที่ n – 1 และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งเป็น 1 ในเทอมสุดท้ายและเป็น 0 ในเทอมที่แล้ว (ซึ่งทำให้ตัวอักษร “a” ไม่ปรากฏในเทอมสุดท้ายด้วยซ้ำ)
การระบุ และเลขชี้กำลัง:
ตอนนี้ มาวิเคราะห์เลขชี้กำลังของ "b" ซึ่งจะเพิ่มขึ้นเสมอ โดยเริ่มจาก 0 ในระยะแรก ( ซึ่งทำให้ตัวอักษร b ไม่ปรากฏในเทอมแรก) 1 ในเทอมที่สอง เป็นต้น จนกว่าจะเท่ากัน ไม่ในระยะสุดท้าย
การระบุ บี และเลขชี้กำลัง:
ทำความเข้าใจส่วนตัวอักษรกันเถอะ let วิเคราะห์สัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นการรวมกันของ ไม่ องค์ประกอบที่นำมาจาก 0 ถึง 0, 1 ถึง 1, 2 ถึง 2 และอื่น ๆ จนถึงเทอมสุดท้ายซึ่งเป็นการรวมกันของ ไม่ องค์ประกอบที่นำมาจาก ไม่ ใน ไม่.
เป็นที่น่าสังเกตว่าสิ่งสำคัญคือต้องเชี่ยวชาญการคำนวณของ ชุดค่าผสม เพื่อให้สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ได้ จำไว้ว่า ในการคำนวณชุดค่าผสม เราต้อง:
การตอบสนองแบบผสมผสานจะเป็น a. เสมอ ตัวเลขธรรมชาติ.
ดูด้วย: การหารพหุนาม: จะแก้อย่างไร?
ตัวอย่าง: คำนวณทวินามของนิวตัน (a+b) ยกกำลังสี่
ขั้นตอนที่ 1: เขียนพหุนามโดยใช้สูตร
ขั้นตอนที่ 2: คำนวณชุดค่าผสม
โดยการแทนที่ชุดค่าผสม พหุนามที่พบจะเป็น:
คุณจะเห็นว่าการแก้ไขกรณีเช่นนี้ยังคงลำบาก ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง แต่ถึงแม้จะเร็วกว่าการคำนวณโดยใช้คุณสมบัติการกระจาย เครื่องมือที่สามารถช่วยในการคำนวณนี้คือสามเหลี่ยมของ Pascal
สามเหลี่ยมปาสกาล
สามเหลี่ยม Pascal ได้รับการพัฒนาโดย Blaise Pascal ในระหว่างการศึกษาชุดค่าผสม เขาคือ วิธีที่ทำให้การคำนวณชุดค่าผสมง่ายขึ้น. การใช้สามเหลี่ยมปาสกาลช่วยให้ค้นหาสัมประสิทธิ์ส่วนตามตัวอักษรของทวินามของนิวตันได้เร็วและง่ายขึ้นโดยไม่ต้องคำนวณชุดค่าผสมทั้งหมด
ในการสร้างสามเหลี่ยมปาสกาลโดยตรง ให้จำสองสถานการณ์ที่การคำนวณรวมกันมีค่าเท่ากับ 1
ดังนั้นเทอมแรกและเทอมสุดท้ายของทุกบรรทัดจะเท่ากับ 1 เสมอ คำศัพท์ส่วนกลางสร้างขึ้นจากผลรวมของคำที่อยู่ด้านบน บวกกับเพื่อนบ้านจากคอลัมน์ก่อนหน้า ดังที่แสดงด้านล่าง:
ในการสร้างบรรทัดถัดไป จำไว้ว่าเทอมแรกคือ 1 และเทอมสุดท้ายด้วย จากนั้นให้ทำการรวมเพื่อค้นหาเงื่อนไขส่วนกลางก็เพียงพอแล้ว
เข้าถึงด้วย: ทฤษฎีบทการสลายตัวของพหุนาม
ตัวอย่าง: คำนวณ (a+b) ยกกำลังหก
ขั้นตอนที่ 1: ใช้สูตรของทวินาม
ขั้นตอนที่ 2: สร้างสามเหลี่ยมของ Pascal ถึงบรรทัดที่ 6
ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ชุดค่าผสมด้วยค่าในบรรทัดที่ 6 ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละเงื่อนไขของทวินาม
สิ่งที่กำหนดจำนวนบรรทัดที่เราจะสร้างจากทวินามคือค่าของ n สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าบรรทัดแรกเป็นศูนย์
ศัพท์ทั่วไปทวินามของนิวตัน
พจน์ทั่วไปของนิวตันเป็นสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณเทอมของทวินามโดยไม่ต้องพัฒนาพหุนามทั้งหมด นั่นคือ เราสามารถ ระบุเงื่อนไขใด ๆ ตั้งแต่ต้นจนจบ ด้วยสูตรนี้ เราจะคำนวณคำที่เราต้องการได้โดยตรง
: ระยะแรก
ข: เทอมที่สอง
น: เลขชี้กำลัง
พี+1: คำที่ต้องการค้นหา
ตัวอย่าง: หาเทอมที่ 11 ของทวินาม (a + b)12.
ความละเอียด:
ดูด้วย: สาธิต ผ่าน ของแคลคูลัสพีชคณิต
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 - (Cesgranrio) สัมประสิทธิ์ของ x4 ในพหุนาม P(x) = (x + 2)6:
ก) 64
ข) 60
ค) 12
ง) 4
จ) 24
ความละเอียด
เราต้องการหาคำศัพท์เฉพาะในการแก้ทวินาม เราต้องหาค่า p
เรารู้ว่าเทอมแรกในกรณีนี้เท่ากับ x ดังนั้น n – p = 4 เนื่องจาก n = 6 เรามี:
ดังนั้นสัมประสิทธิ์คือ 60 (ทางเลือก B)
คำถามที่ 2 - (Unifor) ถ้าระยะกลางของการพัฒนาทวินาม (4x + ky)10 สำหรับ 8064x5y5ดังนั้นทางเลือกที่สอดคล้องกับค่าของ k จะเป็นดังนี้:
ก) 1/4
ข) 1/2
ค) 1
ง) 2
จ) 4
ความละเอียด: เรารู้ว่าเทอมกลางมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน (p= 5) มาหาเทอมที่ 6 ตั้งแต่ p+1=6 นอกจากนี้เรายังมี a = 4x; b = ky และ n = 10 ดังนั้น:
ทางเลือก ง.
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต
ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm