สามเหลี่ยมปาสกาล: มันคืออะไร, ฟังก์ชัน, คุณสมบัติ

อู๋ สามเหลี่ยมปาสกาล เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างเก่า ตลอดประวัติศาสตร์มีชื่อเรียกหลายชื่อ แต่ที่นิยมใช้กันมากที่สุดในปัจจุบันคือ สามเหลี่ยมเลขคณิต และสามเหลี่ยมปาสกาล ชื่อที่สองเป็นเครื่องบรรณาการให้กับนักคณิตศาสตร์ผู้มีส่วนสำคัญในการศึกษาสามเหลี่ยมนี้ หมายความว่าเขาเป็นผู้คิดค้นสามเหลี่ยม แต่เขาเป็นคนที่ศึกษาเรื่องนี้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น เครื่องมือ.

จากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล เป็นไปได้ที่จะสร้างมันอย่างมีเหตุผล ยังโดดเด่นของคุณ ความสัมพันธ์กับ ชุดค่าผสม เรียนในการวิเคราะห์เชิงผสม. พจน์ของสามเหลี่ยมปาสกาลยังสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ทวินามด้วย ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณทวินามของนิวตัน

อ่านด้วย: อุปกรณ์ Briot-Ruffini - วิธีการหารพหุนาม

การสร้างสามเหลี่ยมปาสกาล

สามเหลี่ยมปาสกาล เกิดจากผลของการผสมผสานอย่างไรก็ตาม มีวิธีการที่ใช้งานได้จริงที่เอื้อต่อการสร้างมันขึ้นมา แถวแรกและคอลัมน์แรกจะถูกนับเป็นแถวศูนย์และคอลัมน์ศูนย์ ใช้กี่เส้นก็ได้ตามต้องการ ในโครงสร้างนี้ สามเหลี่ยมจึงสามารถมีเส้นอนันต์ได้ เหตุผลในการปรับปรุงบรรทัดให้ละเอียดนั้นก็เหมือนกันเสมอ ดู:

เรารู้ว่า พจน์สามเหลี่ยมเป็นการรวมกัน

, เรียนที่ การวิเคราะห์เชิงผสม. สำหรับการแทนที่สามเหลี่ยมของ Pascal ด้วยค่าตัวเลข เรารู้ว่าการรวมกันของตัวเลขที่มีศูนย์และตัวเลขด้วยตัวมันเองจะเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นค่าแรกและค่าสุดท้ายจะเป็น 1 เสมอ

ในการค้นหารายการอื่นๆ เราเริ่มต้นด้วยบรรทัดที่ 2 เนื่องจากบรรทัดที่ 0 และบรรทัดที่ 1 เสร็จสมบูรณ์แล้ว ในบรรทัดที่ 2 เพื่อหาการรวมกันของ 2 ต่อ 1 ในบรรทัดด้านบนนั่นคือในบรรทัดที่ 1 ให้เพิ่มคำที่อยู่เหนือมันในคอลัมน์เดียวกันและคำที่อยู่เหนือในคอลัมน์ก่อนหน้าดังแสดงในภาพ :

หลังจากสร้างบรรทัดที่ 2 แล้ว ก็สามารถสร้างบรรทัดที่ 3 โดยทำตามขั้นตอนเดียวกันได้

ในการดำเนินการตามขั้นตอนนี้ เราจะพบข้อกำหนดทั้งหมด ในกรณีนี้ จนถึงบรรทัดที่ 5 แต่คุณสามารถสร้างบรรทัดได้มากเท่าที่จำเป็น

สมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาล

มีบ้าง คุณสมบัติของสามเหลี่ยมปาสกาลเนื่องจากความสม่ำเสมอในการก่อสร้าง คุณสมบัติเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับการทำงานกับชุดค่าผสม การสร้างเส้นสามเหลี่ยม และผลรวมของเส้น คอลัมน์ และแนวทแยง

• ทรัพย์สินที่ 1

คุณสมบัติแรกคือคุณสมบัติที่เราเคยสร้างรูปสามเหลี่ยม เพื่อ หาพจน์ในรูปสามเหลี่ยมปาสกาลเพียงเพิ่มคำที่อยู่ในแถวด้านบนและคอลัมน์เดียวกันกับคำที่อยู่ในคอลัมน์และแถวก่อนหน้านั้น คุณสมบัตินี้สามารถแสดงได้ดังนี้:

คุณสมบัตินี้เรียกว่า ความสัมพันธ์ของสติเฟล และสิ่งสำคัญคือต้องอำนวยความสะดวกในการสร้างสามเหลี่ยมและค้นหาค่าของแต่ละเส้น

• ทรัพย์สินที่ 2

ผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดในแถวคำนวณโดย:

NS_ไม่=2^ไม่, เกี่ยวกับอะไร ไม่ คือหมายเลขบรรทัด

ตัวอย่าง:

ด้วยคุณสมบัตินี้ เป็นไปได้ที่จะรู้ ผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดในบรรทัด โดยไม่ต้องสร้างสามเหลี่ยมปาสกาล ผลรวมของบรรทัดที่ 10 เช่น สามารถคำนวณได้โดย 2¹⁰ = 1024. แม้ว่าจะไม่รู้จักคำศัพท์ทั้งหมด แต่ก็เป็นไปได้ที่จะทราบมูลค่ารวมของทั้งบรรทัด

• ทรัพย์สินที่ 3

ผลรวมของเทอมที่เรียงลำดับจากจุดเริ่มต้นของคอลัมน์ที่กำหนด สำหรับ ถึงเส้นบางๆ ไม่ เหมือนกับคำในบรรทัด n+1 หลังและเสา p+1 ภายหลังดังแสดงด้านล่าง:

• ทรัพย์สินที่ 4

ผลรวมของเส้นทแยงมุมที่เริ่มต้นในคอลัมน์ 0 และไปที่เทอมในคอลัมน์ p และแถว n เท่ากับเทอมในคอลัมน์เดียวกัน (p) แต่ในแถวด้านล่าง (n+1) ดังแสดงในรูปภาพ :

• ทรัพย์สินที่ 5

มีความสมมาตรในเส้นของสามเหลี่ยมปาสกาล เทอมแรกและเทอมที่สองเท่ากัน เทอมที่สองและเทอมสุดท้ายเท่ากัน เป็นต้น

ตัวอย่าง:

บรรทัดที่ 6: 1615 20 156 1.

โปรดทราบว่าเงื่อนไขมีค่าเท่ากับสองถึงสอง ยกเว้นระยะกลาง

ดูด้วย: การหารพหุนาม: จะแก้อย่างไร?

ทวินามของนิวตัน

เรานิยาม a. ทวินามของนิวตัน พลังของหนึ่ง พหุนาม ซึ่งมี 2 เทอม. การคำนวณทวินามเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมปาสกาล ซึ่งกลายเป็นกลไกในการคำนวณสิ่งที่เราเรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม ในการคำนวณทวินาม เราใช้สูตรต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าค่าเลขชี้กำลังของ NS ลดลงจนระยะสุดท้ายเท่ากับ NS⁰. เรารู้ว่าทุกจำนวนที่เพิ่มเป็น 0 เท่ากับ 1 ดังนั้นเทอม NS ไม่ปรากฏในระยะสุดท้าย ให้สังเกตด้วยว่าเลขชี้กำลังของ NS เริ่มต้นด้วย NS⁰, เร็ว ๆ นี้ NS ไม่ปรากฏในระยะแรกและเพิ่มขึ้นจนกว่าจะถึง NS^ไม่ในระยะสุดท้าย

นอกจากนี้ จำนวนที่มาพร้อมกับแต่ละเงื่อนไขคือสิ่งที่เราเรียกว่าสัมประสิทธิ์ ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม เพื่อให้เข้าใจวิธีแก้ปัญหาทวินามประเภทนี้ดีขึ้น ให้เข้าไปที่ข้อความของเรา: ทวินามของนิวตัน.

สัมประสิทธิ์ทวินาม

สัมประสิทธิ์ทวินามไม่มีอะไรมากไปกว่าการรวมกัน ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

อย่างไรก็ตาม เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณทวินามของนิวตัน จำเป็นต้องใช้สามเหลี่ยมปาสกาลเพราะมันทำให้เราได้ผลลัพธ์ของการรวมกันเร็วขึ้น

ตัวอย่าง:

ในการหาผลลัพธ์ของสัมประสิทธิ์ทวินาม ให้หาค่าแถวที่ 5 ของสามเหลี่ยมปาสกาลซึ่งก็คือ {1,5,10,10,5,1}

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³ + 5xy⁴+1ปี⁵

พูดง่ายๆ ว่า:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³ + 5xy⁴+ย⁵

สามเหลี่ยมของ Pascal เกิดจากสัมประสิทธิ์ทวินาม

แก้แบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - ค่าของนิพจน์ด้านล่างคือ?

ก) 8

ข) 16

ค) 2

ง) 32

จ) 24

ปณิธาน

ทางเลือก ก.

การจัดกลุ่มค่าบวกและค่าลบใหม่ เราต้อง:

โปรดทราบว่าเรากำลังคำนวณการลบระหว่างบรรทัดที่ 4 และบรรทัดที่ 3 ของสามเหลี่ยมปาสกาล โดยทรัพย์สิน เรารู้ว่า:

NS₄ = 2⁴ = 16

NS₃= 2³ = 8

16 – 8 = 8.

คำถามที่ 2 - ค่าของนิพจน์ด้านล่างคืออะไร?

ก) 32

ข) 28

ค) 256

ง) 24

จ) 54

ปณิธาน

ทางเลือก ข.

โปรดทราบว่าเรากำลังเพิ่มเทอมจากคอลัมน์ 1 ของสามเหลี่ยม Pascal ไปที่แถว 7 จากนั้นไปที่ 3rd คุณสมบัติ มูลค่าของผลรวมนี้เท่ากับเทอมที่อยู่แถว 7+1 และคอลัมน์ 1+1 นั่นคือแถวที่ 8 คอลัมน์ 2 เนื่องจากเราต้องการเพียงค่าเดียว การสร้างสามเหลี่ยมปาสกาลทั้งหมดจึงไม่สะดวก

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

แหล่งที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm