ผลรวมของเงื่อนไขของ PA

ผลรวมของเงื่อนไขของ a ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (PA) สามารถรับได้ดังนี้ สูตร:

ในสูตรนี้ S_ไม่ เป็นตัวแทนของ ผลรวมของเทอม, แ₁ มันเป็น ก่อนเทอม และ_ไม่ มันเป็น ล่าสุดเทอม ของ BP ที่เป็นปัญหา n คือจำนวนพจน์ที่ จะรวมเข้าด้วยกัน. หากต้องการเพิ่มเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้แทนที่ค่าในสูตรนี้

ตัวอย่างการรวมพจน์ใน PA

ด้านล่างนี้คือสองตัวอย่างวิธีการ สูตร ที่นำเสนอข้างต้นสามารถใช้เพื่อรับ ผลรวมจากเงื่อนไข ของ ปาน.

→ ตัวอย่าง 1

กำหนด ผลรวมจากเงื่อนไข ของ PA ต่อไปนี้: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40)

หากต้องการใช้สูตรที่กำหนด โปรดทราบว่า:

₁ = 2

_ไม่ = 40

n = 20

ข้อมูลสุดท้ายนี้ (จำนวนเทอม) ได้มาจากการนับ เงื่อนไข ของ อปท. การใช้ข้อมูลนี้ในสูตรเราจะได้:

ดังนั้น ผลรวมจากเงื่อนไข ของ PA นี้คือ 420

โปรดทราบว่าสูตรนี้ใช้ได้เฉพาะสำหรับ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ที่มี จำนวนจำกัด ของเงื่อนไข หาก PA เป็นอนันต์ จำเป็นต้องจำกัดจำนวนเงื่อนไขที่จะเพิ่มเข้าไป เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น อาจจำเป็นต้องใช้ความรู้อื่นเกี่ยวกับ AP เพื่อให้ได้เทอมสุดท้ายที่จะเพิ่ม

ดูตัวอย่างด้านล่างของการสรุปเงื่อนไขของ PA ที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

→ ตัวอย่าง 2

กำหนดผลรวมของ 50 เงื่อนไขแรกของ BP ต่อไปนี้: (5, 10, 15, …).

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ ปานเป็นอนันต์ นี่คือหลักฐานโดยวงรี เทอมแรกคือ 5 เช่นเดียวกับอัตราส่วน BP เนื่องจาก 10 – 5 = 5 เนื่องจากเราต้องการหาผลรวมของ 50 เทอมแรก เทอมที่ 50 จะถูกแทนด้วย a₅₀. เพื่อหาค่าของมัน เราสามารถใช้สูตรของ เงื่อนไขทั่วไปของ PA:

ในสูตรนี้ r คืออัตราส่วน BP แทนที่ค่าที่ระบุในคำสั่งนี้ สูตร, เราจะมี:

เมื่อรู้ว่าเทอมที่ 50 คือ 250 เราสามารถใช้สูตรของ ผลรวมจากเงื่อนไข เพื่อให้ได้ผลรวมของ 50 เทอมแรก (S₅₀) ของ PA นี้:

เกาส์และผลรวมเงื่อนไขของ PA

ว่ากันว่า Gauss นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเป็นคนแรกที่ใช้วิธีอื่นเพื่อ เพิ่มเงื่อนไข ของ แพน โดยไม่ต้องเติมคำทีละคำ ต่อมาความคิดของเขาในการลดขั้นตอนกลายเป็นสูตรที่ใช้หาผลรวม

เรื่องนี้เล่าว่าเมื่อตอนเป็นเด็ก Gauss มีครูคนหนึ่งที่ลงโทษทั้งชั้นเรียน โดยรวมตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100

เกาส์ตระหนักว่าการบวกเลขตัวแรกเข้ากับตัวสุดท้าย ตัวที่สองเป็นตัวที่สองและตัวสุดท้าย เป็นต้น ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101
…

งานที่ใหญ่ที่สุดของเขาคือการสังเกตว่า ขณะที่เขาบวกตัวเลขสองตัว เขาจะพบ 50 ผลลัพธ์เท่ากับ 101 นั่นคือ ผลรวม ของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100 สามารถหาได้โดยทำ 50 .101 = 5050

ผลลัพธ์ที่ได้จากเกาส์สามารถตรวจสอบได้ผ่าน through สูตร ของผลรวมของเงื่อนไขของ AP ดู: