THE กฎโคไซน์ คือ ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติ ใช้เชื่อมโยงด้านและ มุม หนึ่ง สามเหลี่ยม ใดๆ นั่นคือสามเหลี่ยมนั้นซึ่งไม่จำเป็นต้องมีมุมฉาก สังเกตสามเหลี่ยม ABC ต่อไปนี้โดยเน้นการวัดค่า:
THE กฎหมายจากโคไซน์ ให้โดยข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ สำนวน:
ดิ2 = ข2 + ค2 – 2·b·c·cosα
บี2 = the2 + ค2 – 2·a·c·cosβ
ค2 = ข2 + ที่2 – 2·b·a·cosθ
การสังเกต: ไม่จำเป็นต้องจำสามสูตรนี้ เพิ่งรู้ว่า กฎหมายจากโคไซน์ สามารถสร้างได้เสมอ หมายเหตุ ในนิพจน์แรก ว่า α คือมุมตรงข้ามกับด้านที่วัดได้จาก ดิ. เราเริ่มสูตรด้วยสี่เหลี่ยมที่อยู่ด้านตรงข้ามของมุมที่จะใช้ในการคำนวณ มันจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ลบสองเท่าของผลคูณของสองด้านที่ไม่ตรงข้ามมุมนี้ด้วย โคไซน์ ของ α
ด้วยวิธีนี้ สามสูตรข้างต้นสามารถลดลงเป็น:
ดิ2 = ข2 + ค2 – 2·b·c·cosα
ตราบใดที่เรารู้ว่า “ที่" คือการวัดที่ด้านตรงข้ามของ "α" และ "b" และ "c" คือการวัดของอีกสองด้านของ สามเหลี่ยม.
สาธิต
ให้ สามเหลี่ยม ABC ใด ๆ โดยมีมาตรการเน้นในรูปต่อไปนี้:
พิจารณาสามเหลี่ยม ABD และ BCD ที่เกิดจากความสูง BD ของสามเหลี่ยม ABC ใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ใน ABD เราจะมี:
ค2 = x2 + ห่า2
โฮ2 = ค2 – x2
ใช้ทฤษฎีบทเดียวกันสำหรับ สามเหลี่ยม BCD เราจะมี:
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
ดิ2 = y2 + ห่า2
โฮ2 = the2 - y2
รู้ว่ามี2 = ค2 – x2, เราจะมี:
ค2 – x2 = the2 - y2
ค2 – x2 + y2 = the2
ดิ2 = ค2 – x2 + y2
หมายเหตุในภาพของ สามเหลี่ยม โดยที่ b = x + y โดยที่ y = b – x การแทนที่ค่านี้ในผลลัพธ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ เราจะมี:
ดิ2 = ค2 – x2 + y2
ดิ2 = ค2 – x2 + (b - x)2
ดิ2 = ค2 – x2 + ข2 – 2bx + x2
ดิ2 = ค2 + ข2 – 2bx
ยังคงมองไปที่รูป สังเกตว่า:
cosα = x
ค
c·cosα = x
x = c·cosα
แทนที่ผลลัพธ์นี้ในนิพจน์ก่อนหน้า เราจะมี:
ดิ2 = ค2 + ข2 – 2bx
ดิ2 = ค2 + ข2 – 2b·c·cosα
นี่เป็นนิพจน์แรกจากสามนิพจน์ที่นำเสนอข้างต้น อีกสองคนสามารถรับได้คล้ายคลึงกับอันนี้
ตัวอย่าง - ที่ สามเหลี่ยม แล้วคำนวณหาค่า x
สารละลาย:
ใช้ กฎหมายจากโคไซน์โปรดทราบว่า x คือการวัดด้านตรงข้ามมุม 60° ดังนั้น "ตัวเลข" แรกที่ปรากฏในโซลูชันควรเป็น:
x2 = 102 + 102 – 2·10·10·cos60°
x2 = 100 + 100 – 2·100·cos60°
x2 = 200 - 200·cos60°
x2 = 200 – 200·1
2
x2 = 200 – 100
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
เนื่องจากไม่มีความยาวติดลบ ผลลัพธ์จึงควรเป็นค่าบวกเท่านั้น นั่นคือ x = 10 ซม.
โดย Luiz Moreira
จบคณิต
คุณต้องการอ้างอิงข้อความนี้ในโรงเรียนหรืองานวิชาการหรือไม่ ดู:
ซิลวา, ลุยซ์ เปาโล โมเรร่า. "กฎโคไซน์คืออะไร"; โรงเรียนบราซิล. มีจำหน่ายใน: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. เข้าถึงเมื่อ 27 มิถุนายน 2021.
