จำนวนตรรกยะ: มันคืออะไรคุณสมบัติตัวอย่าง

เป็นที่รู้จักกันในชื่อ จำนวนตรรกยะ ทุกเบอร์ที่ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้. ตลอดประวัติศาสตร์ของมนุษย์ แนวคิดเรื่องจำนวนได้ค่อยๆ พัฒนาไปตามความต้องการของมนุษย์ การแสดงตัวเลขเป็นเศษส่วน เช่น แก้ปัญหาที่แก้ได้ด้วย only เท่านั้น จำนวนทั้งหมด.

จำนวนตรรกยะสามารถแสดงจากเศษส่วนได้ ดังนั้นจึงมีวิธีการแปลงจำนวนเต็ม เลขทศนิยม ทศนิยมที่แน่นอนและเป็นระยะในเศษส่วน

อ่านด้วย: การดำเนินการกับเศษส่วน - วิธีแก้ปัญหา?

จำนวนตรรกยะคืออะไร?

จำนวนตรรกยะคือ การขยายเซตของจำนวนเต็มจากนั้นจึงบวกจำนวนเต็ม เศษส่วนทั้งหมด อู๋ ชุด ของจำนวนตรรกยะแสดงโดย:

ความหมายของการแทนค่านี้คือ ตัวเลขเป็นจำนวนตรรกยะถ้าสามารถแทนเป็นเศษส่วนได้ ดิ เกี่ยวกับ บี, ดังนั้น ดิ เป็นจำนวนเต็มและ บี เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ แต่ถ้าเราต้องนิยามจำนวนตรรกยะให้เข้มงวดน้อยลง เราสามารถพูดได้ดังนี้:

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้

พบกับคำจำกัดความนี้:

• คุณ จำนวนเต็มs ตัวอย่างเช่น: -10, 7, 0;

• คุณ เลขทศนิยมที่แน่นอนตัวอย่างเช่น: 1.25; 0,1; 3,1415;

• ที่ ส่วนสิบอย่างง่ายเป็นระยะตัวอย่างเช่น: 1.424242…;

• ที่ รวมส่วนสิบเป็นระยะ, ตัวอย่างเช่น: 1.0288888…

ไม่ เป็นจำนวนตรรกยะ:

• ที่ ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวดตัวอย่างเช่น: 4,1239489201…;

• ที่ รากไม่แน่นอน, ตัวอย่างเช่น: ;

• THE กบผมz ตารางของ ตัวเลขติดลบ, ตัวอย่างเช่น: .

การสังเกต: การมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะทำให้เกิดชุดอื่นๆ เช่น จำนวนอตรรกยะและ ตัวเลขเชิงซ้อน.

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

การแทนค่าจำนวนตรรกยะ

เข้าใจว่าเศษส่วนคือ a แผนก ของจำนวนเต็มสองตัว ให้เป็นจำนวนตรรกยะ มันเป็นไปได้ที่จะแสดงตัวเลขนี้เป็นเศษส่วน. ดังนั้น แต่ละกรณีที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นจำนวนตรรกยะ (จำนวนเต็ม ทศนิยมที่แน่นอน และทศนิยมเป็นระยะ) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้

• จำนวนเต็ม

มีความเป็นไปได้ที่ไม่สิ้นสุดสำหรับการแสดงจำนวนเต็มเป็นเศษส่วน เนื่องจากเศษส่วนสามารถแสดงในรูปแบบที่ลดทอนไม่ได้หรือไม่

ตัวอย่าง:

• ทศนิยมที่แน่นอน

วิธีเปลี่ยนเลขทศนิยมให้เป็น a เศษส่วนเรานับจำนวนตัวเลขในส่วนทศนิยม นั่นคือ หลังจุดทศนิยม หากมีตัวเลขหลังเครื่องหมายจุลภาค เราจะเขียนส่วนจำนวนเต็มบวกส่วนทศนิยมโดยไม่มีเครื่องหมายจุลภาคมากกว่า 10 หากมีตัวเลขสองตัวในส่วนทศนิยมมากกว่า 100 ในทางปฏิบัติ จำนวนตัวเลขในส่วนทศนิยมจะเป็นจำนวนศูนย์ที่เรามีในตัวส่วน ดูตัวอย่าง:

• ส่วนสิบเป็นระยะ

การหาการแทนเศษส่วนสิบไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป สิ่งที่เราเรียกว่า สร้างเศษส่วน. เพื่ออำนวยความสะดวกให้กับงานนี้ สังเกตว่าในสมการที่เราใช้ในการหาเศษส่วนทำให้เกิดมีความสม่ำเสมอซึ่งทำให้สามารถพัฒนาวิธีปฏิบัติได้

อันดับแรก เราต้องเข้าใจว่ามีส่วนสิบเป็นระยะสองประเภท แบบธรรมดาและแบบทบต้น หนึ่ง ส่วนสิบนั้นง่าย ถ้าในส่วนทศนิยมมีเพียงส่วนที่ซ้ำกันนั่นคือจุด หนึ่ง ส่วนสิบเป็นทบต้น ถ้าในส่วนทศนิยมมีส่วนที่ไม่เป็นระยะ

ตัวอย่าง:

9,323232… → ทศนิยมเป็นระยะอย่างง่าย
ส่วนจำนวนเต็มเท่ากับ 9
ระยะเวลาเท่ากับ 32

8,7151515… → ทบต้นส่วนสิบ
ส่วนจำนวนเต็มเท่ากับ 8
ส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นคาบเท่ากับ 7.
ระยะเวลาเท่ากับ 15

ดูด้วย: เศษส่วนเทียบเท่า - เศษส่วนที่แทนจำนวนเท่ากัน

→ กรณีที่ 1: การสร้างเศษส่วนของทศนิยมแบบคาบง่าย

ในกรณีแรก ถึง เปลี่ยนทศนิยมเป็นระยะอย่างง่ายให้เป็นเศษส่วน โดยวิธีปฏิบัติ แค่เขียนส่วนทั้งหมดบวกจุดโดยไม่มีเครื่องหมายจุลภาคในตัวเศษ ในตัวส่วน สำหรับแต่ละองค์ประกอบในส่วนธาตุ เราบวก 9

ตัวอย่าง:

เศษส่วนกำเนิดของ 9.323232… ดังที่เราได้เห็น มีคาบเท่ากับ 32 นั่นคือ ตัวเลขสองตัวในคาบของมัน ดังนั้นตัวส่วนคือ 99 ส่วนจำนวนเต็มบวกส่วนที่เป็นระยะที่ไม่มีเครื่องหมายจุลภาคคือ 932 ซึ่งเป็นตัวเศษ ดังนั้น เศษส่วนของส่วนสิบนี้คือ:

→ กรณีที่ 2: การสร้างเศษส่วนของทศนิยมแบบผสมเป็นระยะ

ส่วนสิบประกอบเป็นระยะนั้นลำบากกว่าเล็กน้อย ลองหาเศษส่วนของส่วนสิบที่เราคิดในตัวอย่างกัน

8,7151515… → ทศนิยมแบบทบต้น

ส่วนจำนวนเต็มเท่ากับ 8

ส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นคาบเท่ากับ 7.

ส่วนทศนิยมของงวดเท่ากับ 15

ตัวเศษจะเป็น การลบ 8715 – 87 นั่นคือความแตกต่างระหว่างจำนวนที่เปลี่ยนจากส่วนทั้งหมดไปยังส่วนที่เป็นระยะกับส่วนที่ไม่ซ้ำของส่วนสิบ

ตัวเศษจะเท่ากับ 8715 – 87 = 8628

ในการหาตัวส่วน มาวิเคราะห์ส่วนทศนิยมกัน อันดับแรก มาดูส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นคาบและแบบคาบ ในกรณีนี้ ส่วนทศนิยมของตัวเลขคือ 715. สำหรับตัวเลขแต่ละตัวที่อยู่ในภาคธาตุให้เติม a 9 ที่จุดเริ่มต้นของตัวส่วน เนื่องจากส่วนที่เป็นระยะในกรณีนี้มีตัวเลขสองตัว (15) จึงจะมีเลข 9 สองตัวในตัวส่วน สำหรับแต่ละตัวเลขในส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นระยะ เราจะเติม a 0 ที่ส่วนท้ายของตัวส่วน ซึ่งจะเป็น 990.

ในไม่ช้า สร้างเศษส่วน ของส่วนสิบจะเป็น:

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแทนด้วยเศษส่วนได้

คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ

• ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวน จะมีจำนวนตรรกยะอีกจำนวนหนึ่งเสมอ

เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะนึกถึงสถานที่ให้บริการนี้ซึ่งคนโบราณกล่าวถึงกันมากจนกลายเป็นความขัดแย้ง การเลือกจำนวนตรรกยะสองจำนวน จะมีตัวเลขระหว่างกันเสมอ

ตัวอย่าง:

ระหว่าง 1 ถึง 2 มี 1.5; ระหว่าง 1 ถึง 1.5 มี 1.25; ระหว่าง 1 กับ 1.25 จะมี 1.125 เป็นต้น เท่าที่ฉันเลือกจำนวนตรรกยะสองจำนวนโดยมีความแตกต่างเพียงเล็กน้อยระหว่างกัน ก็สามารถหาจำนวนตรรกยะระหว่างพวกมันได้เสมอ คุณสมบัตินี้ทำให้ เป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดผู้สืบทอดและรุ่นก่อนเป็นจำนวนตรรกยะ.

• การดำเนินการทั้งสี่ในชุดของจำนวนตรรกยะถูกปิด

เราว่าชุดปิดสำหรับ ผลรวมตัวอย่างเช่น หากผลรวมของจำนวนตรรกยะสองจำนวนจะสร้างจำนวนตรรกยะอีกอันเป็นคำตอบเสมอ นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับการดำเนินการทั้งสี่ของ Q

THE บวก ลบ หาร คูณ ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนจะทำให้เกิดจำนวนตรรกยะเสมอ แท้จริงแล้วแม้แต่ even ศักยภาพ ของจำนวนตรรกยะจะสร้างจำนวนตรรกยะในการตอบสนองเสมอ

เซตของจำนวนตรรกยะ ไม่ได้ปิดเพื่อ รังสี. ดังนั้น มเนื่องจาก 2 เป็นจำนวนตรรกยะ รากที่สองของ 2 คือ a จำนวนอตรรกยะ.

ดูด้วย: เศษส่วนเทียบเท่า - เศษส่วนที่แทนจำนวนเท่ากัน

เซตย่อยของจำนวนตรรกยะ

เรารู้วิธี เซตย่อย หรือความสัมพันธ์รวม เซตที่เกิดจากองค์ประกอบที่เป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ มีชุดย่อยที่เป็นไปได้หลายชุด, เป็นเซตของจำนวนเต็มหรือ ธรรมชาติเนื่องจากจำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ

ชุดของจำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติมีอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่าง:

ชุดจำนวนเต็ม: Z= {…-3, -2, -1, 0.1, 2, 3, …}

เมื่อสิ่งนั้นเกิดขึ้น เราว่า ซี ⸦ คิว (มันอ่านว่า: Z มีอยู่ใน Q หรือชุดของจำนวนเต็มมีอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะ)

มีสัญลักษณ์บางอย่างที่จำเป็นสำหรับการสร้างเซตย่อยของ Q ได้แก่ +,- และ * ซึ่งหมายถึง บวก ค่าลบ และไม่ใช่ค่าว่างตามลำดับ

ตัวอย่าง:

Q* → (อ่าน: ชุดจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์)

คิว₊ → (อ่าน: ชุดของจำนวนตรรกยะบวก)

คิว_- → (อ่าน: ชุดของจำนวนตรรกยะติดลบ)

คิว^*₊ → (อ่าน: ชุดของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกและไม่เป็นศูนย์)

คิว^*_- → (อ่าน: ชุดของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบและไม่เป็นศูนย์)

โปรดทราบว่าเซตเหล่านี้เป็นสับเซตของ Q เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ นอกจากเซตที่นำเสนอแล้ว เราสามารถทำงานกับเซตย่อยต่างๆ ใน ​​Q ได้ เช่น เซตที่เกิดจากเลขคี่ หรือ ลูกพี่ลูกน้องหรือคู่ ในที่สุดก็มีความเป็นไปได้หลายชุดย่อย

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์