THE เส้นรอบวง เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบนที่เกิดจาก formed สหภาพของคะแนนเท่ากันนั่นคือมีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดศูนย์กลาง การศึกษาของเส้นรอบวงก็มีอยู่ใน เรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งสามารถอนุมานสมการที่แสดงแทนมันได้
แม้ว่า วงกลมและเส้นรอบวง เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบแบนที่มีองค์ประกอบบางอย่างเหมือนกัน ซึ่งมักจะนำไปสู่ข้อสงสัย ตัวเลขเหล่านี้มีความแตกต่างที่สำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแง่ของมิติ
อ่านด้วย: ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด - แนวคิดที่สำคัญของเรขาคณิตวิเคราะห์
องค์ประกอบของวงกลม
สังเกตเส้นรอบวง:
จุด ค ก็เรียกว่า ศูนย์กลางของวงกลมและโปรดทราบว่าจุด A และ B เป็นของจุดนั้น ส่วนที่เชื่อมปลายวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางเรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง บนเส้นรอบวงที่แล้วเราต้อง เส้นผ่านศูนย์กลางคือส่วน AB.
สู่ แบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางครึ่งหนึ่ง หารัศมีของวงกลม นั่นคือ รัศมี (r) ของวงกลม เป็นส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดสิ้นสุด ในกรณีนี้ รัศมีคือเซ็กเมนต์ CB เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างองค์ประกอบทั้งสองนี้ได้ เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมี
d = 2 · r
อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)
ตัวอย่าง
กำหนดรัศมีของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 ซม.
เรารู้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมีดังนี้:
ความยาวเส้นรอบวง
พิจารณาวงกลมที่มีรัศมีวัด r โอ ความยาวหรือปริมณฑล ของเส้นรอบวงกำหนดโดยผลคูณของ คpi .คงที่ (π) โดยรัศมีสองเท่า
เมื่อคำนวณความยาวหรือปริมณฑลของวงกลม เรากำลังกำหนดขนาดของเส้น สีเขียวในรูปก่อนหน้า และในการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่ค่ารัศมีในสูตรที่ดำเนินการไป รูป.
ตัวอย่าง
กำหนดความยาวของเส้นรอบวงรัศมี 5 ซม.
รัศมีของวงกลมเท่ากับ 5 ซม. ดังนั้นเพื่อกำหนดความยาวของวงกลม เราต้องแทนค่านี้ในสูตร
C = 2πr
ค = 2(3.14)(5)
C = 6.24 · 5
C = 31.2 ซม.
ดูด้วย: การสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้
เส้นรอบวง
พิจารณาวงกลมรัศมี r ในการคำนวณพื้นที่ของคุณ เราต้อง คูณค่ากำลังสองของรัศมีด้วย π.
เมื่อเราคำนวณพื้นที่ของวงกลม เรากำลังกำหนดการวัดพื้นผิว นั่นคือ พื้นที่ทั้งหมดภายในวงกลม
- ตัวอย่าง
กำหนดพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 4 ซม.
เรามีรัศมีของเส้นรอบวงเท่ากับ 4 ซม. ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่การวัดนี้ในสูตรสำหรับพื้นที่ ดู:
A = π · r2
A = 3.14 · (4)2
A = 3.14 · 16
สูง = 50.24 ซม.2
เส้นรอบวงลดสมการ
เรารู้ว่าสร้างวงกลมได้ be สะสมแต้มที่มีระยะทางเท่ากัน จากจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดกำเนิดหรือจุดศูนย์กลาง ดังนั้น พิจารณาจุดคงที่ใน เครื่องบินคาร์ทีเซียน อ้อ(a, b). เซตของจุด — แทนด้วย P(x, y) — ที่มีระยะทางเท่ากัน r จากจุดคงที่นี้จะเกิดเป็นวงกลมรัศมี r
โปรดทราบว่าจุดในรูปแบบ P(x, y) ทั้งหมดอยู่ห่างจากจุด O(a, b) เท่ากัน กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุด O และ P เท่ากับรัศมีของวงกลม ดังนั้น:
ที่ สมการลดลงสังเกตว่าตัวเลข ดิ และ บี คือพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม และนั่น r คือการวัดรัศมี
- ตัวอย่าง
กำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางและการวัดรัศมีของวงกลมที่มีสมการดังนี้
ก) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 36
เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการที่ลดลง เรามี:
(x – ดิ)2 + (ป – บี)2 = r2
(x – 2)2 + (ป –6)2 = 36
เห็นว่า a = 2, b = 6 และ r2 = 36. สมการเดียวที่จะแก้คือ:
r2 = 36
r = 6
ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางคือ: O(2, 6) และความยาวรัศมีเท่ากับ 6
ข) (x – 5)2 + (y + 3)2 = 121
ในทำนองเดียวกัน เรามี:
(x – ดิ)2 + (ป – บี)2 = r2
(x – 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
– b = 3
ข = –3
ในขณะที่ค่ารัศมีถูกกำหนดโดย:
r2 = 121
r = 11
ค) x2 + y2 = 1
(x – ดิ)2 + (ป – บี)2 = r2
x2 + y2 = 1
สังเกตว่า x2 = (x + 0)2 และ y2 = (y + 0)2 . ดังนั้นเราต้อง:
(x – ดิ)2 + (ป – บี)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางคือ O(0, 0) และรัศมีเท่ากับ 1
เข้าถึงด้วย: จะหาจุดศูนย์กลางของวงกลมได้อย่างไร?
สมการทั่วไปของวงกลม
ในการหาสมการทั่วไปของวงกลม เราต้อง พัฒนาสมการที่ลดลง เธอ. ดังนั้น ให้พิจารณาวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด O(a, b) และรัศมี r
เริ่มแรก เราจะพัฒนาคำศัพท์กำลังสองโดยใช้ตัว สินค้าเด่น; จากนั้นเราจะส่งหมายเลขทั้งหมดไปยังสมาชิกคนแรก และสุดท้าย เราจะรวมเทอมด้วยสัมประสิทธิ์ตามตัวอักษรเดียวกัน นั่นคือ เทอมที่มีตัวอักษรเดียวกัน ดู:
ตัวอย่าง
กำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางและรัศมีเฉลี่ยของวงกลมที่มีสมการดังนี้
ก) x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0
ในการหารัศมีและพิกัดของวงกลมที่มีสมการนี้ เราต้องเปรียบเทียบมันกับสมการทั่วไป ดู:
x2 + y2 – ครั้งที่ 2x - 2by + ดิ2 + บี2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
จากการเปรียบเทียบในสีเขียว เรามีว่า:
ที่ 2 = 4
a = 2
หรือ
ดิ2 = 4
a = 2
จากการเปรียบเทียบด้วยสีแดง เราพบว่า:
2b = 6
ข = 3
หรือ
บี2 = 9
ข =3
ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าจุดศูนย์กลางมีพิกัด O(2, 3) ทีนี้ เมื่อเปรียบเทียบค่าของ r เรามี:
r2 = 49
r = 7
ดังนั้นรัศมีของวงกลมจึงมีความยาวเท่ากับ 7
ข) x2 + y2 – 10x + 14y + 10 = 0
ในทำนองเดียวกัน ลองเปรียบเทียบสมการ:
x2 + y2 – ครั้งที่ 2x - 2by + ดิ2 + ข2 – ร2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
ที่ 2 = 10
a = 5
การกำหนดค่าของ b:
–2b = 14
ข = – 7
โปรดทราบว่า:
ดิ2 + ข2 – ร2 = 10
เนื่องจากเราทราบค่าของ a และ b เราจึงสามารถแทนค่าเหล่านี้ในสูตรได้ ดู:
ดิ2 + ข2 – ร2 = 10
52 + (–7)2 – ร2 = 10
25 + 49 - ร2 = 10
74 – ร2 = 10
– ร2 = 10 – 74
(–1) – ร2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางคือ O (5, –7) และรัศมีมีความยาวเท่ากับ 8
ความแตกต่างระหว่างเส้นรอบวงและวงกลม
ความแตกต่างระหว่างวงกลมกับวงกลมเกี่ยวข้องกับ จำนวนมิติ ของแต่ละธาตุ ในขณะที่วงกลมมีมิติเดียว วงกลมก็มีสองมิติ
วงกลมคือพื้นที่ในระนาบที่เกิดขึ้นจากจุดที่เท่ากันทั้งหมดจากจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดกำเนิด วงกลมประกอบด้วยทุกภูมิภาคภายในวงกลม ดูความแตกต่างในภาพ:
ดูด้วย:ความยาวเส้นรอบวงและพื้นที่วงกลม
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 – เส้นรอบวงมีเส้นรอบวงเท่ากับ 628 ซม. กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้ (ใช้ π = 3.14)
ความละเอียด
เนื่องจากเส้นรอบวงเท่ากับ 628 ซม. เราจึงสามารถแทนค่านี้ในนิพจน์ความยาวเส้นรอบวงได้
คำถาม2 – วงกลมสองวงจะมีศูนย์กลางร่วมกันหากมีจุดศูนย์กลางเดียวกัน เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว ให้กำหนดพื้นที่ของร่างเปล่า
ความละเอียด
โปรดทราบว่าในการกำหนดพื้นที่ของพื้นที่เป็นสีขาว เราต้องกำหนดพื้นที่ของวงกลมที่ใหญ่กว่า แล้วจึงกำหนดพื้นที่ของวงกลมที่เล็กกว่าด้วยสีน้ำเงิน โปรดทราบด้วยว่าถ้าเราเอาวงกลมสีน้ำเงินออก จะเหลือเฉพาะพื้นที่ที่เราต้องการเท่านั้น ดังนั้นเราต้องลบพื้นที่เหล่านั้น ดู:
THEใหญ่ขึ้น = ร2
THEใหญ่ขึ้น = (3,14) · (9)2
THEใหญ่ขึ้น = (3,14) · 81
THEใหญ่ขึ้น = 254.34 ซม.2
มาคำนวณพื้นที่วงกลมสีน้ำเงินกัน:
THEตัวเล็ก = ร2
THEตัวเล็ก = (3,14) · (5)2
THEตัวเล็ก = (3,14) · 25
THEตัวเล็ก = 78.5 ซม.2
ดังนั้น พื้นที่ว่างจึงถูกกำหนดโดยความแตกต่างระหว่างพื้นที่ที่ใหญ่กว่าและพื้นที่ที่เล็กกว่า
THEสีขาว = 254,34 – 78,5
THEสีขาว = 175,84 ซม2
โดย Robson Luiz
ครูคณิต
เกี่ยวกับคำจำกัดความพื้นฐานของวงกลมและคุณสมบัติของวงกลม ให้เลือกทางเลือกที่ถูกต้อง
ก) วงกลมคือพื้นที่ราบที่ล้อมรอบด้วยวงกลม
b) วงกลมคือเซตของจุดที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางน้อยกว่าค่าคงที่ r เสมอ
c) วงกลมมีรัศมีเพียงสองวง และผลรวมขององค์ประกอบทั้งสองนี้เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง
d) วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O และรัศมี r คือเซตของจุดทั้งหมดที่มีระยะห่างจาก O เท่ากับ r
จ) วงกลมคือพื้นที่ของระนาบที่ถูกจำกัดด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง
a) กำหนดจุด A นอกเส้นรอบวง ส่วน OA มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ r
b) เมื่อรู้ว่าเซ็กเมนต์ OA มีความยาวสั้นกว่า r ก็อาจกล่าวได้ว่า A อยู่ในวงกลมที่จำกัดด้วยเส้นรอบวงนี้
c) เมื่อรู้ว่าเซ็กเมนต์ OA มีความยาวมากกว่า r ก็สามารถระบุได้ว่า A เป็นของวงกลม
d) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยเส้นรอบวงนี้เท่ากับ 3r
จ) เพื่อให้จุด A อยู่ในวงกลม ระยะห่างจาก A ถึง O น้อยกว่า r ก็เพียงพอแล้ว
