เส้นรอบวง: องค์ประกอบ สูตร แบบฝึกหัด

THE เส้นรอบวง เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบนที่เกิดจาก formed สหภาพของคะแนนเท่ากันนั่นคือมีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดศูนย์กลาง การศึกษาของเส้นรอบวงก็มีอยู่ใน เรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งสามารถอนุมานสมการที่แสดงแทนมันได้

แม้ว่า วงกลมและเส้นรอบวง เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบแบนที่มีองค์ประกอบบางอย่างเหมือนกัน ซึ่งมักจะนำไปสู่ข้อสงสัย ตัวเลขเหล่านี้มีความแตกต่างที่สำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแง่ของมิติ

อ่านด้วย: ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด - แนวคิดที่สำคัญของเรขาคณิตวิเคราะห์

องค์ประกอบของวงกลม

สังเกตเส้นรอบวง:

จุด ค ก็เรียกว่า ศูนย์กลางของวงกลมและโปรดทราบว่าจุด A และ B เป็นของจุดนั้น ส่วนที่เชื่อมปลายวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางเรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง บนเส้นรอบวงที่แล้วเราต้อง เส้นผ่านศูนย์กลางคือส่วน AB.

สู่ แบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางครึ่งหนึ่ง หารัศมีของวงกลม นั่นคือ รัศมี (r) ของวงกลม เป็นส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดสิ้นสุด ในกรณีนี้ รัศมีคือเซ็กเมนต์ CB เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างองค์ประกอบทั้งสองนี้ได้ เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมี

d = 2 · r

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

• ตัวอย่าง

กำหนดรัศมีของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 ซม.

เรารู้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมีดังนี้:

ความยาวเส้นรอบวง

พิจารณาวงกลมที่มีรัศมีวัด r โอ ความยาวหรือปริมณฑล ของเส้นรอบวงกำหนดโดยผลคูณของ คpi .คงที่ (π) โดยรัศมีสองเท่า

เมื่อคำนวณความยาวหรือปริมณฑลของวงกลม เรากำลังกำหนดขนาดของเส้น สีเขียวในรูปก่อนหน้า และในการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่ค่ารัศมีในสูตรที่ดำเนินการไป รูป.

• ตัวอย่าง

กำหนดความยาวของเส้นรอบวงรัศมี 5 ซม.

รัศมีของวงกลมเท่ากับ 5 ซม. ดังนั้นเพื่อกำหนดความยาวของวงกลม เราต้องแทนค่านี้ในสูตร

C = 2πr

ค = 2(3.14)(5)

C = 6.24 · 5

C = 31.2 ซม.

ดูด้วย: การสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้

เส้นรอบวง

พิจารณาวงกลมรัศมี r ในการคำนวณพื้นที่ของคุณ เราต้อง คูณค่ากำลังสองของรัศมีด้วย π.

เมื่อเราคำนวณพื้นที่ของวงกลม เรากำลังกำหนดการวัดพื้นผิว นั่นคือ พื้นที่ทั้งหมดภายในวงกลม

• ตัวอย่าง

กำหนดพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 4 ซม.

เรามีรัศมีของเส้นรอบวงเท่ากับ 4 ซม. ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่การวัดนี้ในสูตรสำหรับพื้นที่ ดู:

A = π · r²

A = 3.14 · (4)²

A = 3.14 · 16

สูง = 50.24 ซม.²

เส้นรอบวงลดสมการ

เรารู้ว่าสร้างวงกลมได้ be สะสมแต้มที่มีระยะทางเท่ากัน จากจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดกำเนิดหรือจุดศูนย์กลาง ดังนั้น พิจารณาจุดคงที่ใน เครื่องบินคาร์ทีเซียน อ้อ(a, b). เซตของจุด — แทนด้วย P(x, y) — ที่มีระยะทางเท่ากัน r จากจุดคงที่นี้จะเกิดเป็นวงกลมรัศมี r

โปรดทราบว่าจุดในรูปแบบ P(x, y) ทั้งหมดอยู่ห่างจากจุด O(a, b) เท่ากัน กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุด O และ P เท่ากับรัศมีของวงกลม ดังนั้น:

ที่ สมการลดลงสังเกตว่าตัวเลข ดิ และ บี คือพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม และนั่น r คือการวัดรัศมี

• ตัวอย่าง

กำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางและการวัดรัศมีของวงกลมที่มีสมการดังนี้

ก) (x – 2)² + (y – 6)² = 36

เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการที่ลดลง เรามี:

(x – ดิ)² + (ป – บี)² = r²

(x – 2)² + (ป –6)² = 36

เห็นว่า a = 2, b = 6 และ r² = 36. สมการเดียวที่จะแก้คือ:

r² = 36

r = 6

ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางคือ: O(2, 6) และความยาวรัศมีเท่ากับ 6

ข) (x – 5)² + (y + 3)² = 121

ในทำนองเดียวกัน เรามี:

(x – ดิ)² + (ป – บี)² = r²

(x – 5)² + (y + 3)² = 121

a = 5

– b = 3

ข = –3

ในขณะที่ค่ารัศมีถูกกำหนดโดย:

r² = 121

r = 11

ค) x² + y² = 1

(x – ดิ)² + (ป – บี)² = r²

x² + y² = 1

สังเกตว่า x² = (x + 0)² และ y² = (y + 0)² . ดังนั้นเราต้อง:

(x – ดิ)² + (ป – บี)² = r²

(x + 0)² + (y + 0)² = 1

ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางคือ O(0, 0) และรัศมีเท่ากับ 1

เข้าถึงด้วย: จะหาจุดศูนย์กลางของวงกลมได้อย่างไร?

สมการทั่วไปของวงกลม

ในการหาสมการทั่วไปของวงกลม เราต้อง พัฒนาสมการที่ลดลง เธอ. ดังนั้น ให้พิจารณาวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด O(a, b) และรัศมี r

เริ่มแรก เราจะพัฒนาคำศัพท์กำลังสองโดยใช้ตัว สินค้าเด่น; จากนั้นเราจะส่งหมายเลขทั้งหมดไปยังสมาชิกคนแรก และสุดท้าย เราจะรวมเทอมด้วยสัมประสิทธิ์ตามตัวอักษรเดียวกัน นั่นคือ เทอมที่มีตัวอักษรเดียวกัน ดู:

• ตัวอย่าง

กำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางและรัศมีเฉลี่ยของวงกลมที่มีสมการดังนี้

ก) x² + y² – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0

ในการหารัศมีและพิกัดของวงกลมที่มีสมการนี้ เราต้องเปรียบเทียบมันกับสมการทั่วไป ดู:

x² + y² – ครั้งที่ 2x - 2by + ดิ² + บี² –r² = 0

x² + y² – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0

จากการเปรียบเทียบในสีเขียว เรามีว่า:

ที่ 2 = 4

a = 2

หรือ

ดิ² = 4

a = 2

จากการเปรียบเทียบด้วยสีแดง เราพบว่า:

2b = 6

ข = 3

หรือ

บี² = 9

ข =3

ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าจุดศูนย์กลางมีพิกัด O(2, 3) ทีนี้ เมื่อเปรียบเทียบค่าของ r เรามี:

r² = 49

r = 7

ดังนั้นรัศมีของวงกลมจึงมีความยาวเท่ากับ 7

ข) x² + y² – 10x + 14y + 10 = 0

ในทำนองเดียวกัน ลองเปรียบเทียบสมการ:

x² + y² – ครั้งที่ 2x - 2by + ดิ² + ข² – ร² = 0

x² + y² –10x + 14y + 10 = 0

ที่ 2 = 10

a = 5

การกำหนดค่าของ b:

–2b = 14

ข = – 7

โปรดทราบว่า:

ดิ² + ข² – ร² = 10

เนื่องจากเราทราบค่าของ a และ b เราจึงสามารถแทนค่าเหล่านี้ในสูตรได้ ดู:

ดิ² + ข² – ร² = 10

5² + (–7)² – ร² = 10

25 + 49 - ร² = 10

74 – ร² = 10

– ร² = 10 – 74

(–1) – ร² = –64 (–1)

r² = 64

r = 8

ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางคือ O (5, –7) และรัศมีมีความยาวเท่ากับ 8

วงกลมเป็นรูปแบนที่เกิดจากการรวมกันของจุดที่เท่ากัน

ความแตกต่างระหว่างเส้นรอบวงและวงกลม

ความแตกต่างระหว่างวงกลมกับวงกลมเกี่ยวข้องกับ จำนวนมิติ ของแต่ละธาตุ ในขณะที่วงกลมมีมิติเดียว วงกลมก็มีสองมิติ

วงกลมคือพื้นที่ในระนาบที่เกิดขึ้นจากจุดที่เท่ากันทั้งหมดจากจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดกำเนิด วงกลมประกอบด้วยทุกภูมิภาคภายในวงกลม ดูความแตกต่างในภาพ:

ดูด้วย:ความยาวเส้นรอบวงและพื้นที่วงกลม

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 – เส้นรอบวงมีเส้นรอบวงเท่ากับ 628 ซม. กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้ (ใช้ π = 3.14)

ความละเอียด

เนื่องจากเส้นรอบวงเท่ากับ 628 ซม. เราจึงสามารถแทนค่านี้ในนิพจน์ความยาวเส้นรอบวงได้

คำถาม2 – วงกลมสองวงจะมีศูนย์กลางร่วมกันหากมีจุดศูนย์กลางเดียวกัน เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว ให้กำหนดพื้นที่ของร่างเปล่า

ความละเอียด

โปรดทราบว่าในการกำหนดพื้นที่ของพื้นที่เป็นสีขาว เราต้องกำหนดพื้นที่ของวงกลมที่ใหญ่กว่า แล้วจึงกำหนดพื้นที่ของวงกลมที่เล็กกว่าด้วยสีน้ำเงิน โปรดทราบด้วยว่าถ้าเราเอาวงกลมสีน้ำเงินออก จะเหลือเฉพาะพื้นที่ที่เราต้องการเท่านั้น ดังนั้นเราต้องลบพื้นที่เหล่านั้น ดู:

THE_{ใหญ่ขึ้น} = ร²

THE_{ใหญ่ขึ้น} = (3,14) · (9)²

THE_{ใหญ่ขึ้น} = (3,14) · 81

THE_{ใหญ่ขึ้น} = 254.34 ซม.²

มาคำนวณพื้นที่วงกลมสีน้ำเงินกัน:

THE_{ตัวเล็ก} = ร²

THE_{ตัวเล็ก} = (3,14) · (5)²

THE_{ตัวเล็ก} = (3,14) · 25

THE_{ตัวเล็ก} = 78.5 ซม.²

ดังนั้น พื้นที่ว่างจึงถูกกำหนดโดยความแตกต่างระหว่างพื้นที่ที่ใหญ่กว่าและพื้นที่ที่เล็กกว่า

THE_{สีขาว} = 254,34 – 78,5

THE_{สีขาว} = 175,84 ซม²

โดย Robson Luiz
ครูคณิต

เกี่ยวกับคำจำกัดความพื้นฐานของวงกลมและคุณสมบัติของวงกลม ให้เลือกทางเลือกที่ถูกต้อง

ก) วงกลมคือพื้นที่ราบที่ล้อมรอบด้วยวงกลม

b) วงกลมคือเซตของจุดที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางน้อยกว่าค่าคงที่ r เสมอ

c) วงกลมมีรัศมีเพียงสองวง และผลรวมขององค์ประกอบทั้งสองนี้เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง

d) วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O และรัศมี r คือเซตของจุดทั้งหมดที่มีระยะห่างจาก O เท่ากับ r

จ) วงกลมคือพื้นที่ของระนาบที่ถูกจำกัดด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง

a) กำหนดจุด A นอกเส้นรอบวง ส่วน OA มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ r

b) เมื่อรู้ว่าเซ็กเมนต์ OA มีความยาวสั้นกว่า r ก็อาจกล่าวได้ว่า A อยู่ในวงกลมที่จำกัดด้วยเส้นรอบวงนี้

c) เมื่อรู้ว่าเซ็กเมนต์ OA มีความยาวมากกว่า r ก็สามารถระบุได้ว่า A เป็นของวงกลม

d) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยเส้นรอบวงนี้เท่ากับ 3r

จ) เพื่อให้จุด A อยู่ในวงกลม ระยะห่างจาก A ถึง O น้อยกว่า r ก็เพียงพอแล้ว