กราฟฟังก์ชันดีกรีที่ 2 คืออะไร?

หนึ่ง อาชีพ เป็นกฎที่เกี่ยวข้องกับแต่ละองค์ประกอบของ a ชุด A ถึงองค์ประกอบเดียวของเซต B กฎนี้มักจะทำได้โดยผ่าน a นิพจน์พีชคณิต เหมือนกับ a สมการ และขึ้นอยู่กับระดับของนิพจน์พีชคณิตและจำนวนตัวแปรที่มีอยู่ มันเป็นไปได้ที่จะสร้างกราฟของมัน

คำจำกัดความของแผนภูมิ

โอ กราฟิก ของ อาชีพ คือเซตของจุด (x, y) ของ เครื่องบินคาร์ทีเซียน ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: y = f(x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแต่ละค่าของ x มีค่าเดียวของ y สัมพันธ์กับค่านั้น ซึ่งได้มาจากกฎแห่งการก่อรูปของ อาชีพ.

คุณ กราฟิก วิชาที่สำคัญที่สุดที่เรียนในชั้นประถมศึกษาเป็นของ ฟังก์ชันดีกรีแรก มาจาก ที่สอง ระดับ. ในโรงเรียนมัธยมปลาย กราฟิกให้อาชีพ ลอการิทึม เลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ เป็นต้น ในบทความนี้ เราจะพูดถึงเทคนิคที่สามารถใช้ในการสร้าง กราฟิก ของ อาชีพ ของ ที่สองระดับ.

กราฟฟังก์ชันองศาที่สอง

หนึ่ง อาชีพ ของ ที่สองระดับ ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

f(x) = ขวาน² + bx + c

โดยที่ a, b และ c คือ ตัวเลขจริงเรียกว่าสัมประสิทธิ์ โดยมีค่าไม่เท่ากับศูนย์เสมอ และ x เป็นตัวแปรอิสระ

โอ กราฟิก ของเหล่านี้ ฟังก์ชั่น อยู่เสมอ คำอุปมา ซึ่งสามารถสร้างได้จากสามจุดที่เป็นของมัน: จุดยอดและรากทั้งสอง หรือจุดยอดและจุด "สุ่ม" สองจุด

1 – การหาจุดยอดของพาราโบลา

ที่ คำอุปมา ที่สามารถใช้เป็น กราฟิก ของ อาชีพ ของ ที่สองระดับ พวกเขาจะต้องมีความเว้าของพวกเขาหงายขึ้นหรือลง ในกรณีแรก พาราโบลามีจุดต่ำกว่า โดยที่ฟังก์ชันจะไม่ลดลงอีกต่อไปและเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ในกรณีที่สอง พาราโบลามีจุดที่สูงกว่า โดยที่ฟังก์ชันหยุดเพิ่มขึ้นและลดลง จุดนี้เรียกว่า จุดยอด.

การหาพิกัดของจุดยอด V = (x_วีy_วี) เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

x_วี = - บี
ครั้งที่ 2

และ

y_วี = – Δ
ครั้งที่ 4

2 – หารากที่สองของคำอุปมา

รากของฟังก์ชันคือจุดที่ กราฟิก ของสิ่งนั้น อาชีพ หาแกน x ของระนาบคาร์ทีเซียน ในกรณีของหน้าที่ของ ที่สองระดับ, จำนวนรากสามารถเป็น 0, 1 หรือ 2 หากฟังก์ชันมีสองราก วิธีที่ดีที่สุดคือใช้พวกมันในการสร้างกราฟ

เพื่อค้นหารากของ a อาชีพของที่สองระดับ, ใช้ สูตรของภัสการะ. ขั้นแรกให้กำหนด การเลือกปฏิบัติ ของฟังก์ชัน:

Δ = ข² – 4ac

จากนั้นแทนที่ด้วยสูตรของ Bhaskara เช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์:

x = – b ± √?
ครั้งที่ 2

พิกัดของรากของฟังก์ชันจะเป็น: A = (x’, 0) และ B = (x’’, 0) จากจุดสามจุดนี้ รากทั้งสองและจุดยอด ให้วางบนระนาบคาร์ทีเซียนแล้วเชื่อมเข้าด้วยกันโดยใช้ คำอุปมา. ในขั้นตอนนี้ สังเกตว่าพาราโบลาจะมีความเว้าคว่ำลงหากจุดยอดอยู่เหนือแกน x หรือจะมีความเว้าหงายขึ้นหากจุดยอดอยู่ต่ำกว่าแกน x

ในภาพด้านบน สังเกตว่า อันแรก คำอุปมา มีจุดยอดใต้แกน x และเว้าหงายขึ้น สิ่งที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้นกับพาราโบลาที่สองซึ่งมีจุดยอดเหนือแกน x และส่วนเว้าคว่ำลง

อย่าเพิ่งหยุด... มีมากขึ้นหลังจากโฆษณา ;)

ตัวอย่าง:

สร้าง กราฟิก ให้ อาชีพ: f(x) = x² + 2x – 8

ขั้นแรกให้หาจุดยอดนี้ อาชีพ. โดยใช้สูตรที่ศึกษาเราจะได้:

x_วี = - บี
ครั้งที่ 2

x_วี = – 2
2

x_วี = – 1

y_วี = – Δ
ครั้งที่ 4

y_วี = - (B² – 4ac)
ครั้งที่ 4

y_วี = – (2² – 4·1·[– 8])
4

y_วี = – (4 + 32)
4

y_วี = – (4 + 32)
4

y_วี = – (36)
4

y_วี = – 9

ดังนั้นพิกัดของ จุดยอด ของสิ่งนั้น คำอุปมา คือ: V = (– 1, –9).

โปรดทราบว่าเรารู้คุณค่าของการเลือกปฏิบัติของสิ่งนี้แล้ว อาชีพซึ่งทำขึ้นเพื่อค้นหา y_วี. Δ = 36. โดยใช้สูตรของ Bhaskara เพื่อค้นหาราก เราจะมี:

x = – b ± √?
ครั้งที่ 2

x = – 2 ± √36
2

x = – 2 ± 6
2

x' = – 2 – 6 = – 8 = – 4
 2 2

x'' = – 2 + 6 = 4 = 2
2 2

ดังนั้น รากสามารถพบได้ที่จุด: A = (–4, 0) และ B = (2, 0) ทำเครื่องหมายสามจุดเหล่านี้บนระนาบคาร์ทีเซียนแล้วสร้าง คำอุปมา ที่ผ่านเข้ามา เราจะมี:

จุดสุดยอด + จุดสุ่ม

การก่อสร้างนี้ใช้ได้เมื่อ อาชีพ มันมีรากที่แท้จริงและชัดเจนสองประการนั่นคือเมื่อใด > 0. เมื่อ อาชีพ มีรากจริงเพียงรากเดียวหรือไม่มีเลย มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพยายามค้นหารากของคุณเพื่อสร้าง กราฟิก.

ในกรณีนี้ เราจะพบ weก่อน พิกัดของจุดยอดจากนั้นให้ x_วี พิกัด x ของจุดยอด เราจะเลือกค่า x_วี +1 และ x_วี – 1 as คะแนน “สุ่ม” และเราจะหาค่าของ y ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละจุดเหล่านี้ ผลลัพธ์จะเป็นจุด V, A และ B เช่นเดียวกับราก โดยมีความแตกต่างที่จุด A และ B ไม่อยู่บนแกน x อีกต่อไป

ตัวอย่างเช่น กราฟฟังก์ชัน: f (x) = x² + 4.

ที่ อาชีพ ไม่มีรากเพราะค่าของ? มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ในกรณีนี้ เราจะหาพิกัดของจุดยอดและคำนวณค่า คะแนน “สุ่ม” เสนอก่อนหน้านี้:

x_วี = - บี
ครั้งที่ 2

x_วี = – 0
2

x_วี = 0

y_วี = – Δ
ครั้งที่ 4

y_วี = - (B² – 4ac)
ครั้งที่ 4

y_วี = – (0² – 4·1·4)
4

y_วี = – (– 16)
4

y_วี = 16
4

y_วี = 4

ดังนั้น V = (0, 4)

รับ x_วี = 0 เราจะทำ: x_วี + 1 = 0 + 1 = 1. การแทนที่ค่านี้ใน อาชีพเพื่อค้นหา y ที่สัมพันธ์กับมัน เราจะมี:

ฉ(x) = x² + 4

ฉ(1) = 1² + 4

ฉ(1) = 5

ดังนั้นจุด A จะเป็น: A = (1, 5)

รับ x_วี = 0 เราจะทำเช่นกัน: x_วี – 1 = 0 – 1 = – 1. ดังนั้น:

ฉ(x) = x² + 4

ฉ(– 1) = (– 1)² + 4

ฉ(– 1) = 1 + 4

ฉ(- 1) = 5

ดังนั้น จุด B จะเป็น: B = (–1, 5)

ดังนั้น กราฟิก ของสิ่งนั้น อาชีพ มันจะเป็น:

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต