ตรีโกณมิติคืออะไร?

ตรีโกณมิติ เป็นคำที่มาจากภาษากรีกซึ่งหมายถึงการวัดสามมุม การศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้เน้นที่ สามเหลี่ยมซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านและส่งผลให้มีมุมสามมุม ตอนแรก ตรีโกณมิติ มันเกี่ยวข้องกับการศึกษาคุณสมบัติและความสัมพันธ์บางอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อเชื่อมโยงการวัดด้านข้างของสามเหลี่ยมกับการวัดมุมในภายหลัง

คุณสมบัติและความสัมพันธ์เหล่านี้ขยายไปสู่รูปสามเหลี่ยมใดๆ ผ่านทฤษฎีบทที่เรียกว่า กฎหมายบาป และ กฎโคไซน์. ต่อมา ผลลัพธ์บางส่วนจะถูกสังเกตในรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นส่วนเด่นของวงกลม ซึ่งเรียกว่า "วงกลมตรีโกณมิติ"

THE ตรีโกณมิติ เสนอความแปลกใหม่ที่ยอดเยี่ยม ก่อนหน้านี้ เป็นเพียงการพิจารณาการคำนวณและคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับด้านเดียวหรือเฉพาะมุมของสามเหลี่ยมหรือความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างองค์ประกอบเหล่านี้เท่านั้น เมื่อมาถึง จะเชื่อมโยงการวัดด้านข้างของสามเหลี่ยมกับการวัดมุมด้านหนึ่งได้โดยตรง เป็นที่น่าสังเกตว่าความสัมพันธ์ระหว่างด้านที่โดดเด่นและส่วนต่างๆ ภายในรูปสามเหลี่ยมยังประกอบเป็น ตรีโกณมิติ.

ก่อนที่จะเจาะลึกแนวคิดของ ตรีโกณมิติ, สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าอะไรคือองค์ประกอบที่สำคัญที่สุดในสามเหลี่ยมมุมฉาก องค์ประกอบเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ด้านล่าง:

องค์ประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสองรูป ดังแสดงในรูปด้านล่าง โดยลากตามความสูง "h" ที่สัมพันธ์กับฐาน "a"

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากนี้สร้างมุม 90° สองมุมพร้อมฐาน

พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABD สี่เหลี่ยมใน B สังเกตองค์ประกอบต่อไปนี้:

1 – ด้าน AB และ BD เรียกว่าด้านและการวัดของพวกมันคือ c และ b ตามลำดับ

2 – ด้าน AD เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และการวัดของมันคือ a ด้านนี้จะตรงข้ามกับมุม 90° เสมอ

3 – BE คือความสูงของสามเหลี่ยม ABD ที่สัมพันธ์กับฐาน AD และการวัดของมันคือ h (โดยจำไว้ว่าความสูงจะสร้างมุม 90° โดยที่ฐานสัมพันธ์กับมันเสมอ)

4 – AE คือการฉายภาพมุมฉากของขา AB เหนือด้านตรงข้ามมุมฉาก ขนาดของมันคือ m;

5 – ED คือการฉายภาพมุมฉากของขา BD เหนือด้านตรงข้ามมุมฉาก การวัดของมันคือ n.

ต่อไป เราจะนำเสนอและอภิปรายคุณสมบัติบางอย่างที่เห็นในตรีโกณมิติ โดยพิจารณาจากองค์ประกอบของสามเหลี่ยมมุมฉากที่แสดงด้านบน

ความสัมพันธ์ของเมตริกในสามเหลี่ยมมุมฉาก

คือความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับด้าน ความสูง และการฉายภาพมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

1) ค² = เฉลี่ย

2) b·c = a·h

3) h² =m·n

4) ข² = ไม่

5)² = ข² + ค² (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

อัตราส่วนตรีโกณมิติหรืออัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สัมพันธ์อัตราส่วนระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกับมุมแหลมมุมหนึ่งของมัน ในการทำเช่นนั้น จำเป็นต้องแก้ไขมุมหนึ่งในสองมุมและสังเกตคำจำกัดความของด้านตรงข้ามและด้านประชิดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมผืนผ้า เน้นมุม α

BD คือ ขาตรงข้าม ถึงมุม α;

AB คือ ขาข้างเคียง ถึงมุม α

เหล่านี้เป็นข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการกำหนดd อัตราส่วนตรีโกณมิติ. ที่พวกเขา:

→ ไซน์ของ α

บาป α = Cathetus ตรงข้ามα
ด้านตรงข้ามมุมฉาก

→ โคไซน์ของ α

cos α = Catheto ที่อยู่ติดกับ α
ด้านตรงข้ามมุมฉาก

→ แทนเจนต์ของ α

tg α = Cathetus ตรงข้ามα
Catheto ที่อยู่ติดกับ α

เหตุผลเหล่านี้ใช้ได้กับทุกกรณี สามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมแหลมเท่ากับ α ผลลัพธ์ของการหารเหล่านี้จะเหมือนกันเสมอโดยไม่คำนึงถึงความยาวของด้านของสามเหลี่ยม เนื่องจากสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมเท่ากันสองมุม เนื่องจาก รูปสามเหลี่ยม มุม-มุม มีด้านที่เป็นสัดส่วน ดังนั้นอัตราส่วนระหว่างด้านจึงเท่ากัน

วงกลมตรีโกณมิติ

เรียกอีกอย่างว่าวงกลมตรีโกณมิติหรือวงกลมตรีโกณมิติ (ชื่อที่ถูกต้องมากกว่าแต่ใช้น้อยกว่า) เป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 บนเส้นรอบวงนี้ a สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมุม α เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด ดังนั้นความสูงของสามเหลี่ยมนี้จะเปลี่ยนจากแกน abscissa ไปยังขอบของวงกลม

ความสูงนี้ตรงกับค่าของ ไซน์เพราะมันเป็นด้านตรงข้ามกับมุม α การวัดที่ไปจากจุดที่ความสูงมาบรรจบกับแกนของ abscissa ถึงจุดกำเนิดนั้นตรงกับด้านที่อยู่ติดกับมุม α นั่นคือ ด้วยค่าของ โคไซน์.

ความบังเอิญเหล่านี้เกิดขึ้นเพราะด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น 1 เสมอ เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลม สังเกตคุณสมบัติเหล่านี้ในภาพด้านล่าง:

วงกลมรัศมี 1 ซึ่งวางสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อประเมินคุณสมบัติของมัน

ไม่ว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างขึ้นบนวงกลมนี้จะเป็นด้านที่ประจวบกับส่วนใดส่วนหนึ่ง ของแกน abscissa วัดค่าโคไซน์ของ α อย่างแม่นยำ และอีกด้านหนึ่ง วัดค่าไซน์ของ α.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การใช้วงกลมตรีโกณมิติ เป็นไปได้ที่จะกำหนด ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่เชื่อมโยงแต่ละองค์ประกอบของเซตของจำนวนจริงกับองค์ประกอบเดี่ยวของเซตของจำนวนจริงด้วย อย่างไรก็ตาม ตัวเลขเหล่านี้แสดงเป็นเรเดียน ซึ่งเป็นหน่วยวัดเป็นฟังก์ชันของ π ที่ใช้เพราะหลังจาก 360° ใน วงกลมตรีโกณมิติ, การนับองศาและด้วยเหตุนี้ ของโดเมนและองค์ประกอบที่ขัดแย้งกันของฟังก์ชันตามค่านี้สามารถเริ่มต้นใหม่จากศูนย์ได้

ความสัมพันธ์พื้นฐาน

ความสัมพันธ์พื้นฐานของตรีโกณมิติคือ:

1) ความสัมพันธ์ขั้นพื้นฐาน 1

เซน²α + cos²α = 1

2) แทนเจนต์ของ α

tg α = บาปα
cos α

3) โคแทนเจนต์ของ αซึ่งเป็นค่าผกผันของแทนเจนต์ของ α

cotg α = cos α
บาปα

4) ซีแคนต์ของ αซึ่งเป็นค่าผกผันของโคไซน์ของ α

วินาที α = 1
cos α

5) Cossecant ของ α ซึ่งเป็นค่าผกผันของไซน์ของ α

คอสเซก α = 1
บาปα

6) ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น 1

tg²α + 1 = วินาที²α

7) ความสัมพันธ์ 2

cotg²α + 1 = คอสเซก²α

8) ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ 3

cotg α = 1
tg α

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm