การวัดการกระจาย: ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในการศึกษาของ สถิติเรามีกลยุทธ์บางอย่างที่จะตรวจสอบว่าค่าที่แสดงในชุดข้อมูลกระจัดกระจายหรือไม่และห่างกันแค่ไหน เครื่องมือที่ใช้ในการทำให้สิ่งนี้เป็นไปได้ถูกจัดประเภทเป็น มาตรการกระจายตัว และเรียก ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน. มาดูกันว่าแต่ละอันแสดงถึงอะไร:

ความแปรปรวน:

• จากชุดข้อมูล ความแปรปรวนคือการวัดการกระจายที่แสดงว่าแต่ละค่าในชุดนั้นอยู่ห่างจากค่ากลาง (เฉลี่ย) มากเพียงใด

• ยิ่งความแปรปรวนน้อยเท่าใด ค่าก็จะยิ่งใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น แต่ยิ่งมีค่ามากเท่าใด ค่าก็จะยิ่งห่างจากค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

• ถือซะว่า x₁, x₂, …, x_ไม่พวกเขาคือ ไม่ องค์ประกอบของ a ตัวอย่าง คือว่า X และ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตขององค์ประกอบเหล่านี้ การคำนวณของ ความแปรปรวนตัวอย่าง มอบให้โดย:

  วาร์ ตัวอย่าง = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_ไม่ – x)²
  ​น - 1

• ในทางกลับกัน หากเราต้องการคำนวณค่า ความแปรปรวนของประชากรเราจะพิจารณาองค์ประกอบทั้งหมดของประชากร ไม่ใช่แค่ตัวอย่าง ในกรณีนี้ การคำนวณมีความแตกต่างเล็กน้อย ดู:

  วาร์ ประชากร = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_ไม่ – x)²
  ไม่

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถระบุ "ข้อผิดพลาด" ในชุดข้อมูลได้ หากเราต้องการแทนที่ค่าใดค่าหนึ่งที่รวบรวมไว้ด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต

• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปรากฏถัดจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งบ่งบอกว่าค่านี้ “เชื่อถือได้” เพียงใด นำเสนอดังนี้

  ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (x) ± ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (sd)

• การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทำจากรากที่สองที่เป็นบวกของความแปรปรวน ดังนั้น:

  dp = √var

ลองใช้การคำนวณความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในตัวอย่าง:

ในโรงเรียนแห่งหนึ่ง คณะกรรมการตัดสินใจพิจารณาจำนวนนักเรียนที่มีคะแนนสูงกว่าค่าเฉลี่ยในทุกวิชา เพื่อให้วิเคราะห์ได้ดียิ่งขึ้น ผู้อำนวยการ Ana ตัดสินใจรวบรวมตารางที่มีคะแนน "สีน้ำเงิน" ในตัวอย่างสี่ชั้นเรียนในหนึ่งปี ดูตารางด้านล่างที่จัดโดยอาจารย์ใหญ่:

ก่อนคำนวณความแปรปรวน จำเป็นต้องตรวจสอบค่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต(x) จำนวนนักเรียนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยในแต่ละชั้น:

ปีที่ 6 → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

ปีที่ 7 → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

ปีที่ 8 → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

ปีที่ 9 → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

ในการคำนวณความแปรปรวนของจำนวนนักเรียนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยในแต่ละชั้นเรียน เราใช้ a ตัวอย่างเราจึงใช้สูตรของ ความแปรปรวนตัวอย่าง:

วาร์ ตัวอย่าง = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_ไม่ – x)²
น - 1

ปีที่ 6 → วาร์ = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

วาร์ = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

วาร์ = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

วาร์ = 13,00
3
Var = 4.33

ปีที่ 7 → วาร์ = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

วาร์ = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

วาร์ = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

วาร์ = 24,00
3
วาร์ = 8.00

ปีที่ 8 → วาร์ = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

วาร์ = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

วาร์ = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

วาร์ = 20,74
3
วาร์ = 6.91

ปีที่ 9 → วาร์ = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

วาร์ = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

วาร์ = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

วาร์ = 41,00
3
Var = 13.66

เมื่อทราบความแปรปรวนของแต่ละคลาสแล้ว มาคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกัน:

ปีที่ 6 dp = √var dp = √4.33 ​dp ≈ 2,08

ปีที่ 7 dp = √var dp = √8.00 ​dp ≈ 2,83

ปีที่ 8 dp = √var dp = √6.91 ​dp ≈ 2,63

ปีที่ 9 dp = √var dp = √13.66 ​dp ≈ 3,70

เพื่อสรุปการวิเคราะห์ของเธอ อาจารย์ใหญ่สามารถนำเสนอค่าต่อไปนี้ซึ่งระบุจำนวนนักเรียนโดยเฉลี่ยที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยต่อชั้นเรียนที่ทำการสำรวจ:

ปีที่ 6: 7.50 ± 2.08 นักเรียนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยต่อเทอม;
ปีที่ 7: 8.00 ± 2.83 นักเรียนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยต่อสองเดือน;
ปีที่ 8: 8.75 ± 2.63 นักเรียนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยทุกสองเดือน;
ปีที่ 9: 8.50 ± 3.70 นักเรียนที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยทุกสองเดือน;

การวัดการกระจายตัวอีกอย่างคือ ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน ดู ที่นี่ วิธีการคำนวณมัน!

โดย Amanda Gonçalves
จบคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm