DE omkrets är en platt geometrisk figur bildad av förening av lika långa punkter, det vill säga de har samma avstånd från en fast punkt som kallas centrum. Studien av omkretsen finns också i analytisk geometri, där det är möjligt att härleda en ekvation som representerar den.
Även om cirkel och omkrets är platta geometriska figurer med vissa element gemensamt, vilket vanligtvis leder till tvivel, dessa figurer presenterar viktiga skillnader, särskilt med avseende på dimensionalitet.
Läs också: Avstånd mellan två punkter - ett viktigt begrepp för analytisk geometri
element i cirkeln
Observera omkretsen:
Punkten Ç det heter centrum av cirkelnoch notera att punkterna A och B tillhör den. Segmentet som förenar ändarna av cirkeln som passerar genom centrum kallas diameter. På den tidigare omkretsen måste vi diametern är AB-segmentet.
Till dela diametern i hälften, låt oss få omkretsens radie, det vill säga radie (r) av en cirkel det är segmentet som går med i mitten och slutet. I detta fall är radien CB-segmentet. Vi kan skapa ett matematiskt förhållande mellan dessa två element, eftersom diametern är dubbelt så stor som radien.
d = 2 · r
Exempel
Bestäm radien för en cirkel som har en diameter på 40 cm.
Vi vet att diametern är två gånger radien, så här:
omkretslängd
Tänk på en cirkel som har en radie som mäter r. O längd eller omkrets av omkretsen ges av produkten från çkonstant pi (π) med två gånger radien.
När vi beräknar längden eller omkretsen på en cirkel bestämmer vi linjens storlek grönt i föregående ritning, och för att göra detta, ersätt bara radievärdet i formeln som fortsätter till figur.
Exempel
Bestäm längden på omkretsen med radie 5 cm.
Cirkelns radie är lika med 5 cm, så för att bestämma längden på cirkeln måste vi ersätta detta värde i formeln.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24 5
C = 31,2 cm
Se också: Konstruktion av inskrivna polygoner
omkretsområde
Tänk på en cirkel med radie r. För att beräkna ditt område måste vi multiplicera kvadraten av radievärdet med π.
När vi beräknar cirkelns yta bestämmer vi ytmåttet, det vill säga hela regionen inuti cirkeln.
- Exempel
Bestäm området för en cirkel som har en radie lika med 4 cm.
Vi har att omkretsens radie är lika med 4 cm, så vi kan ersätta detta mått i formeln för området. Se:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Omkrets reducerad ekvation
Vi vet att en cirkel kan byggas av samling av poäng som har samma avstånd från en fast punkt som kallas ursprung eller centrum. Så överväga en fast punkt i Kartesiskt plan O (a, b). Uppsättningen av punkter - representerade av P (x, y) - som har samma avstånd r från denna fasta punkt kommer att bilda en cirkel med radien r.
Observera att punkterna i formen P (x, y) alla ligger på samma avstånd från punkt O (a, b), dvs. avståndet mellan punkterna O och P är lika med cirkelns radie, Således:
På reducerad ekvation, notera att siffrorna De och B är koordinaterna för mitten av cirkeln och det r är måttet på radien.
- Exempel
Bestäm koordinaterna för mitten och måttet på cirkeln som har en ekvation:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Jämförelse av denna ekvation med den reducerade ekvationen har vi:
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
Se till att a = 2, b = 6 och r2 = 36. Den enda ekvationen att lösa är:
r2 = 36
r = 6
Därför är koordinaten för mitten: O (2, 6) och radie-längden är 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
På samma sätt har vi:
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Medan radievärdet ges av:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
x2 + y2 = 1
Observera att x2 = (x + 0)2 och y2 = (y + 0)2 . Så vi måste:
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Därför är centrumets koordinat O (0, 0) och radien är lika med 1.
Också tillgång: Hur hittar man en cirkels centrum?
allmänna ekvationen för cirkeln
För att bestämma cirkelns allmänna ekvation måste vi utveckla den reducerade ekvationen henne. Tänk således på en cirkel som har ett centrum vid koordinaterna O (a, b) och radie r.
Inledningsvis kommer vi att utveckla termerna i kvadrat med hjälp av anmärkningsvärda produkter; sedan skickar vi alla siffror till den första medlemmen; och slutligen kommer vi att gå med termerna med samma bokstavskoefficient, det vill säga de med samma bokstäver. Se:
Exempel
Bestäm koordinaterna för centrum och medelradien för cirkeln som har en ekvation:
yxa2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9-49 = 0
För att bestämma radien och koordinaterna för den cirkel som har denna ekvation, måste vi jämföra den med den allmänna ekvationen. Se:
x2 + y2 – 2: ax - 2by + De2 + B2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Från jämförelserna i grönt måste vi:
2: a = 4
a = 2
eller
De2 = 4
a = 2
Från jämförelserna i rött har vi det:
2b = 6
b = 3
eller
B2 = 9
b = 3
Således kan vi säga att centrum har koordinat O (2, 3). Nu, när vi jämför värdet på r, har vi:
r2 = 49
r = 7
Därför har cirkelns radie en längd som är lika med 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
På ett liknande sätt, låt oss jämföra ekvationerna:
x2 + y2 – 2: ax - 2by + De2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
2: a = 10
a = 5
Bestämning av värdet på b:
–2b = 14
b = - 7
Observera nu att:
De2 + b2 - r2 = 10
Eftersom vi känner till värdena a och b kan vi ersätta dem i formeln. Se:
De2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Därför är centrumets koordinater O (5, –7) och radien har en längd som är lika med 8.
Skillnader mellan omkrets och cirkel
Skillnaden mellan en cirkel och en cirkel gäller antal mått av varje element. Medan cirkeln har en dimension har cirkeln två.
En cirkel är en region i planet som bildas av punkter som är lika långt från en fast punkt som kallas ursprunget. Cirkeln består av varje region i cirkeln. Se skillnaden i bilder:
Se också:omkretslängd och cirkelarea
lösta övningar
fråga 1 - En omkrets har en omkrets lika med 628 cm. Bestäm diametern på denna cirkel (anta π = 3,14).
Upplösning
Eftersom omkretsen är lika med 628 cm kan vi ersätta detta värde i omkretslängdsuttrycket.
fråga 2 - Två cirklar är koncentriska om de har samma centrum. Att veta detta, bestämma området för den tomma figuren.
Upplösning
Observera att för att bestämma regionens yta i vitt måste vi bestämma ytan för den större cirkeln och sedan den för den mindre cirkeln i blått. Observera också att om vi tar bort den blå cirkeln är det bara regionen vi vill ha kvar, så vi måste subtrahera dessa områden. Se:
DESTÖRRE = r2
DESTÖRRE = (3,14) · (9)2
DESTÖRRE = (3,14) · 81
DESTÖRRE = 254,34 cm2
Låt oss nu beräkna området för den blå cirkeln:
DEMINDRE = r2
DEMINDRE = (3,14) · (5)2
DEMINDRE = (3,14) · 25
DEMINDRE = 78,5 cm2
Således ges tomområdet genom skillnaden mellan det större området och det mindre området.
DEVIT = 254,34 – 78,5
DEVIT = 175,84 centimeter2
av Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
