Factoring är en process som används i matematik som består av att representera ett tal eller ett uttryck som en produkt av faktorer.
Genom att skriva ett polynom som multiplicering av andra polynom kan vi ofta förenkla uttrycket.
Kolla in typerna av polynomfaktorisering nedan:
Vanlig bevisfaktor
Vi använder denna typ av faktorisering när det finns en faktor som upprepar sig i alla termer av polynomet.
Denna faktor, som kan innehålla siffror och bokstäver, kommer att placeras framför parenteserna.
Inuti parenteserna kommer resultatet av att dividera varje term av polynom med den gemensamma faktorn.
I praktiken ska vi göra följande steg:
1º) Identifiera om det finns ett tal som delar alla koefficienterna för polynom och bokstäver som upprepas i alla termer.
2º) Lägg de vanliga faktorerna (antal och bokstäver) framför parenteserna (som bevis).
3.) Placera inom parentes resultatet av att dela varje faktor i polynomet med den faktor som är bevis. När det gäller bokstäver använder vi regeln om maktfördelning för samma bas.
Exempel
a) Vad är den fakturerade formen av polynomet 12x + 6y - 9z?
Först identifierar vi att numret 3 delar upp alla koefficienter och att det inte finns någon bokstav som upprepas.
Vi sätter nummer 3 framför parenteserna, vi delar alla termer med tre och resultatet kommer vi att placera inom parentes:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Faktor 2a2b + 3a3c - a4.
Eftersom det inte finns något tal som delar 2, 3 och 1 samtidigt, kommer vi inte att placera något nummer framför parenteserna.
Brevet De upprepas i alla termer. Den gemensamma faktorn kommer att vara De2, som är den minsta exponenten av De i uttryck.
Vi delar varje term av polynom med De2:
2: a2 b: den2 = 2: a2 - 2 b = 2b
3: e3c: den2 = 3: e3 - 2 c = 3ac
De4: a2 = den2
Vi sätter De2 framför parenteser och resultaten av uppdelningar inom parentes:
2: a2b + 3a3c - a4 = den2 (2b + 3ac - a2)
gruppering
I det polynom som inte finns en faktor som upprepas i alla termer kan vi använda faktoriseringen genom att gruppera.
För detta måste vi identifiera termer som kan grupperas efter gemensamma faktorer.
I denna typ av faktorisering sätter vi de gemensamma faktorerna för grupperingarna i bevis.
Exempel
Faktorera polynom mx + 3nx + my + 3ny
Villkoren mx och 3nx har som gemensam faktor x. redan villkoren min och 3ny har som gemensam faktor y.
Att sätta dessa faktorer i bevis:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Observera att (m + 3n) nu också upprepas i båda termerna.
Att sätta det i bevis igen hittar vi polynomens fakturerade form:
mx + 3nx + min + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Perfect Square Trinomial
Trinomials är polynomier med tre termer.
De perfekta fyrkantiga treeningarna a2 + 2ab + b2 och den2 - 2ab + b2 resultat av den anmärkningsvärda produkten av typen (a + b)2 och (a - b)2.
Således kommer faktoriseringen av det perfekta kvadratiska trinomialet att vara:
De2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kvadrat av summan av två termer)
De2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kvadrat av skillnaden mellan två termer)
För att ta reda på om ett trinomial verkligen är ett perfekt kvadrat gör vi följande:
1º) Beräkna kvadratroten för termerna som visas i kvadrat.
2) Multiplicera värdena med 2.
3: a) Jämför värdet som hittats med termen som inte har rutor. Om de är lika är det en perfekt fyrkant.
Exempel
a) Faktorera polynomet x2 + 6x + 9
Först måste vi testa om polynomet är ett perfekt kvadrat.
√x2 = x och √9 = 3
Multiplicera med 2 hittar vi: 2. 3. x = 6x
Eftersom det hittade värdet är lika med termen som inte är kvadrat, är polynom perfekt kvadrat.
Således kommer faktoriseringen att vara:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Faktorera polynomet x2 - 8xy + 9y2
Testar om det är en perfekt fyrkantig trinomial:
√x2 = x och √9y2 = 3y
Gör multiplikationen: 2. x. 3y = 6xy
Det hittade värdet matchar inte termen för polynom (8xy ≠ 6xy).
Eftersom det inte är ett perfekt fyrkantigt trinomium kan vi inte använda denna typ av faktorisering.
Skillnad mellan två rutor
Att faktor polynom av typ a2 - B2 vi använder den anmärkningsvärda produkten av summa och skillnad.
Således kommer faktoriseringen av polynom av denna typ att vara:
De2 - B2 = (a + b). (a - b)
För att faktor ska vi beräkna kvadratroten av de två termerna.
Skriv sedan produkten av summan av de hittade värdena och skillnaden mellan dessa värden.
Exempel
Faktorera 9x binomialet2 - 25.
Hitta först kvadratroten av termerna:
√9x2 = 3x och √25 = 5
Skriv dessa värden som en produkt av summan och skillnaden:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
perfekt kub
polynomerna a3 + 3: e2b + 3ab2 + b3 och den3 - 3: e2b + 3ab2 - B3 resultat av den anmärkningsvärda produkten av typen (a + b)3 eller (a - b)3.
Således är den perfekta kubens fakturerade form:
De3 + 3: e2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
De3 - 3: e2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
För att ta hänsyn till sådana polynomer måste vi beräkna termernas kubiska rot till kuben.
Efteråt är det nödvändigt att bekräfta att polynomet är en perfekt kub.
I så fall kuberar vi summan eller subtraheringen av värdena för de kubiska rötter som hittats.
Exempel
a) Faktorera polynomet x3 + 6x2 + 12x + 8
Låt oss först beräkna den kubiska roten av termerna kubade:
3√ x3 = x och 3√ 8 = 2
Bekräfta sedan om det är en perfekt kub:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Eftersom de hittade termerna är desamma som termerna i polynomet, är det en perfekt kub.
Således kommer faktoriseringen att vara:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Faktor polynom a3 - 9: e2 + 27 - 27
Låt oss först beräkna den kubiska roten av termerna kubad:
3till3 = a och 3√ - 27 = - 3
Bekräfta sedan om det är en perfekt kub:
3. De2. (-3) = - 9: e2
3. De. (- 3)2 = 27: e
Eftersom de hittade termerna är desamma som termerna i polynomet, är det en perfekt kub.
Således kommer faktoriseringen att vara:
De3 - 9: e2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Läs också:
- Potentiering
- Polynom
- Polynomfunktion
- primtal
Lösta övningar
Faktorer följande polynom:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - den2
e) 9: e2 + 12: e + 4
a) 11. (3x + 2y - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3: a + 2)2
Se också:
- Algebraiska uttryck
- Övningar om algebraiska uttryck
- Anmärkningsvärda produkter
- Anmärkningsvärda produkter - övningar
