Exponentiell ekvation: vad de är och hur man löser dem (med exempel)

En ekvation är exponentiell när det okända (okända värdet) finns i en potenss exponent. Således kallas en matematisk mening som innebär likhet mellan två termer, där det okända förekommer i minst en exponent, en exponentiell ekvation.

En potens är resultatet av produkten av dess bas i sig själv, så många gånger som bestäms av exponenten.

I en exponentiell ekvation bestämmer vi hur många faktorer som multipliceras, det vill säga hur många gånger basen multipliceras, för att få ett visst resultat.

Definition av exponentiell ekvation:

startstil matte storlek 18px rak b till makten av rak x är lika med rak till slutstil

Var:

b är basen;
x är exponenten (okänd);
a är kraften.

På vad rak b inte lika med 1 rakt mellanslag och rakt b större än 0 Det är rak är inte lika med 0 .

Exempel på en exponentiell ekvation:

Den okända variabeln finns i exponenten. Vi måste bestämma hur många gånger 2 ska multipliceras för att resultera i 8. Som 2. 2. 2 = 8, x = 3, eftersom 2 måste multipliceras tre gånger för att få 8 som resultat.

Hur man löser exponentiella ekvationer

Exponentiella ekvationer kan skrivas på olika sätt och för att lösa dem kommer vi att använda lika potenser med lika baser, som också måste ha samma exponenter.

instagram story viewer

Eftersom exponentialfunktionen är injektiv har vi:

rak b till potensen av rak x med 1 nedsänkt slutet av exponentialen lika med rak b till potensen av rak x med 2 nedsänkt slutet av exponentiellt mellanslag dubbelpil vänster och höger mellanslag rakt x med 1 nedsänkt är lika med rakt x med 2 prenumererade

Detta betyder att två potenser med samma bas kommer att vara lika om och endast om deras exponenter också är lika.

En strategi för att lösa exponentiella ekvationer är alltså utjämna maktbaserna. När baserna är desamma kan vi eliminera dem och jämföra exponenterna.

För att utjämna potensernas baser i en exponentiell ekvation använder vi matematiska verktyg som faktorisering och potentieringsegenskaper.

Exempel på att lösa exponentialekvationer

Exempel 1
2 i potensen av rak x lika med 64

Det är en exponentiell ekvation, eftersom meningen involverar en likhet (ekvation) och den okända variabeln x finns i exponenten (exponentiell).

För att bestämma värdet på det okända x, likställer vi potensernas baser med hjälp av faktoriseringen 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 eller 2 till makten 6

Ersätter i ekvationen:

2 i potensen av rak x är lika med 2 i potensen av 6

Vi bortser från baserna och lämnar bara jämlikhet mellan exponenterna.

x = 6

Således är x = 6 resultatet av ekvationen.

Exempel 2
9 i potensen av rak x plus 1 ände av exponentialen lika med 81

Vi likställer baserna med hjälp av faktorisering.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Ersätter i ekvationen:

öppna parenteser 3 kvadratiska stängda parenteser i potensen av x plus 1 änden av exponentialen lika med 3 i potensen av 4

Med hjälp av potensegenskapen multiplicerar vi exponenterna på vänster sida.

3 i potensen av 2 x plus 2 änden av exponentialen lika med 3 i potensen av 4

Med lika baser kan vi kassera dem och vara lika med exponenterna.

2 raka x plus 2 är lika med 4 2 raka x är lika med 4 minus 2 2 raka x är lika med 2 raka x är lika med 2 över 2 är lika med 1

Således är x = 1 resultatet av ekvationen.

Exempel 3

0 komma 75 i potensen av rak x lika med 9 över 16 blanksteg

Vi omvandlar basen 0,75 till en centesimal bråkdel.

öppna parenteser 75 över 100 stäng parenteser i potensen av rak x lika med 9 över 16 mellanslag

Vi förenklar den centesimala bråkdelen.

öppna parenteser 3 över 4 stäng parenteser till makten raka x lika med 9 över 16 mellanslag

Vi faktor 9 och 16.

öppna parentes 3 över 4 stäng parentes till potensen av rak x lika med 3 i kvadrat över 4 i kvadrat

Genom att likställa baserna har vi x = 2.

öppna parentes 3 över 4 stäng parentes till kvadratpotensen x lika med öppna parentes 3 över 4 stäng parentes i kvadrat

x = 2

Exempel 4

Vi förvandlar roten till en kraft.

4 i potensen av x lika med 32 i potensen av 1 tredje ände av exponentialen

Vi räknar in maktbaserna.

öppna parenteser 2 kvadratiska stängda parenteser i potensen av x lika med öppna parenteser 2 i potensen av 5 stängda parenteser i potensen av 1 tredje änden av exponentiell

Genom att multiplicera exponenterna blir vi lika med baserna.

2 i potensen av 2 x slutet av exponentialen lika med 2 i potensen av 5 över 3 änden av exponentialen

Därför måste vi:

2 raka x är lika med 5 över 3 raka x är lika med täljare 5 över nämnare 2,3 slutet av bråk är lika med 5 över 6

Exempel 5

Factoring 25

öppna parentes 5 i kvadrat Stäng parentes i potensen av rak x minus 6,5 i potens av rak x plus 5 är lika med 0

Vi skriver om potensen 5² till x. Ändra ordningen på exponenter.

öppna parentes 5 i potensen av x Stäng parentes i kvadrat minus 6,5 i potensen av rak x plus 5 är lika med 0

Vi använder en hjälpvariabel som vi kallar y.

5 i potensen av rak x är lika med rak y (behåll den här ekvationen, vi använder den senare).

Ersätter i föregående ekvation.

rak y kvadrat minus 6. rak y plus 5 är lika med 0 rak y i kvadrat minus 6 rak y plus 5 är lika med 0

När vi löser andragradsekvationen har vi:

ökning är lika med b i kvadrat minus 4. De. c steg är lika med vänster parentes minus 6 höger parentes i kvadrat minus 4,1,5 steg är lika med 36 minus 20 steg lika med 16

rak y med 1 nedsänkt är lika med täljare minus rak b plus kvadratroten av inkrement över nämnare 2. rakt till slutet av den raka bråkdelen y med 1 nedsänkt lika med täljaren minus vänster parentes minus 6 höger parentes plus kvadratroten ur 16 över nämnare 2.1 slutet av rakt bråk y med 1 nedsänkt lika med täljare 6 plus 4 över nämnare 2 slutet av bråk lika med 10 över 2 lika med 5

rak y med 2 nedsänkt är lika med täljare minus rak b minus kvadratroten av inkrement över nämnare 2. rakt till slutet av bråk rakt y med 2 nedsänkt lika med täljare 6 minus 4 över nämnare 2 slutet av bråk lika med 2 över 2 lika med 1

Lösningsuppsättningen för andragradsekvationen är {1, 5}, men detta är inte lösningen till exponentialekvationen. Vi måste gå tillbaka till variabeln x, med hjälp av 5 i potensen av rak x är lika med rak y.