Vi vet hur framsteg särskilda fall av nummersekvenser. Det finns två fall av framsteg:
aritmetisk progression
geometrisk progression
För att vara en progression måste vi analysera sekvensens egenskaper för om det finns vad vi kallar en anledning. när utvecklingen är aritmetisk, anledningen är inget annat än en konstant som vi lägger till en term för att hitta dess efterträdare i sekvensen; nu, när man arbetar med en progression geometrisk, förnuftet har en liknande funktion, bara i detta fall är orsaken den konstanta termen med vilken vi multiplicerar en term i sekvensen för att hitta dess efterträdare.
På grund av förutsägbart beteende av en progression finns det specifika formler för att hitta någon term i dessa sekvenser, och det är också möjligt att utveckla en formel för var och en av dem (det vill säga en för den aritmetiska progressionen och en för den geometriska progressionen) för att beräkna summan FrånNej första termerna av denna utveckling.
Läs också: Funktioner - vad är de och vad är de för?
nummersekvens
För att förstå vad framsteg är måste vi först förstå vad de är nummersekvenser. Som namnet antyder vet vi nummersekvensen a uppsättning siffror som respekterar en beställning, är väl definierad eller inte. till skillnad från uppsättningar numerik där ordning inte spelar någon roll, i en numerisk sekvens, är ordning viktig, till exempel:
Sekvensen (1, 2, 3, 4, 5) skiljer sig från (5, 4, 3, 2, 1), vilken skiljer sig från sekvensen (1, 5, 4, 3, 2). Även om elementen är desamma, eftersom ordningen är annorlunda, så har vi olika sekvenser.
Exempel:
Vi kan skriva sekvenser vars formationer är lätta att se:
a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → sekvens av jämna tal som är mindre än eller lika med 12.
b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regressiv sekvens av udda tal från 17 till 5.
c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → känd som Fibonacci-sekvens.
d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → även om det inte är möjligt att beskriva denna sekvens som de andra, är det lätt att förutsäga vad dess nästa termer kommer att bli.
I andra fall, sekvenserna kan ha total slumpmässighet i sina värdenHur som helst, för att vara en sekvens, är det viktigast att ha en uppsättning ordnade värden.
till 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)
b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)
Så mycket som det inte är möjligt att förutsäga vem nästa termer i bokstaven b är, arbetar vi fortfarande med en uppföljare.
I allmänhet, strängar representeras alltid inom parentes (), på följande sätt:
(De1, a2,De3, a4,De5, a6, a7, a8 ...) → oändlig sekvens
(De1, a2,De3, a4,De5, a6, a7, a8... aNej) → ändlig sekvens
I båda har vi följande representation:
De1 → första termin
De2 → andra termin
De3 → tredje terminen
.
.
.
DeNej → nionde termin
Observation: Det är av stor betydelse att data representeras inom parentes när de representerar en sekvens. Sekvensnotation förväxlas ofta med setnotation. En uppsättning representeras i hängslen, och i uppsättningen är ordningen inte viktig, vilket gör hela skillnaden i det här fallet.
(1, 2, 3, 4, 5) → sekvens
{1, 2, 3, 4, 5} → ställ in
Det finns särskilda fall av sekvens som kallas progressioner.
Se också: Vad är den grundläggande principen för att räkna?
Vad är progressioner?
En sekvens definieras som en progression när den har en regelbundenhet från en term till en annan, känd som förnuft. Det finns två fall av progression, aritmetisk progression och geometrisk progression. För att veta hur man kan skilja var och en av dem måste vi förstå vad orsaken till en progression är och hur den anledningen interagerar med villkoren i sekvensen.
När, från en term till en annan i sekvensen, har jag en konstant summa, definieras denna sekvens som en progression, och i detta fall är det en aritmetisk progression. Detta värde som vi ständigt lägger till kallas förhållandet. Det andra fallet, det vill säga när sekvensen är a geometrisk progression, från en term till en annan finns det en multiplicering med ett konstant värde. Analogt är detta värde förhållandet mellan den geometriska progressionen.
Exempel:
a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → lägg märke till att vi alltid lägger till 3 från en term till en annan, så vi har en aritmetisk progression av förhållandet lika med 3.
b) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → i det här fallet multiplicerar vi alltid med 10 från den ena termen till den andra och har att göra med en geometrisk progression av förhållandet 10.
c) (0, 2, 8, 26 ...) → i det senare fallet finns det bara en sekvens. För att hitta nästa term multiplicerar vi termen med 3 och lägger till 2. Även om det finns en regelbundenhet för att hitta nästa termer är det här fallet bara en sekvens, inte en aritmetisk eller geometrisk progression.
aritmetisk progression
När vi arbetar med nummersekvenser är de sekvenser där vi kan förutsäga deras nästa termer ganska återkommande. För att denna sekvens ska klassificeras som en aritmetisk progression, det måste finnas en anledning a. Från den första terminen är nästa period konstrueras av summan av föregående termin med anledningen r.
Exempel:
a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)
Detta är en sekvens som kan klassificeras som aritmetisk progression, eftersom anledningen r = 3 och den första termen är 4.
b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)
Denna sekvens är en aritmetisk progression med god anledning. r = -5, och dess första term är 7.
Villkor för en PA
I många fall är vårt intresse att hitta en specifik term i progressionen utan att behöva skriva hela sekvensen. Att känna till värdet på den första termen och förhållandet är det möjligt att hitta värdet på vilken term som helst i en aritmetisk progression. För att hitta termerna för en arimetisk progression använder vi formeln:
DeNej = den1+ (n - 1) r
Exempel:
Hitta den 25: e termen för en P.A vars förhållande är 3 och första termen är 12.
Data r = 3, den1 = 12. Vi vill hitta den 25: e termen, det vill säga n = 25.
DeNej = den1+ (n - 1) r
De25 = 12 + (25 - 1) · 3
De25 = 12 + 24 · 3
De25 = 12 + 72
De25 = 84
Allmän period för en P.A.
Den allmänna termformeln är a sätt att förenkla formeln för en AP-term för att hitta en progressionstid snabbare. När den första termen och anledningen är kända är det tillräckligt att i formeln ersätta en term av en P.A. för att hitta den allmänna termen för den aritmetiska progressionen, som endast beror på värdet av Nej.
Exempel:
Hitta den allmänna termen för en P.A. som har r = 3 och1 = 2.
DeNej = 2 + (n-1) r
DeNej = 2 + (n-1) 3
DeNej = 2 + 3n - 3
DeNej = 2n - 1
Detta är den allmänna termen för en P.A., som tjänar till att hitta vilken term som helst i denna progression.
Summan av villkoren för en PA
DE summan av villkoren för en PA det vore ganska ansträngande om det var nödvändigt att hitta var och en av dess termer och lägga till dem. Det finns en formel för att beräkna summan av alla Nej första termerna av en aritmetisk progression:
Exempel:
Hitta summan av alla udda tal från 1 till 100.
Vi vet att udda tal är en aritmetisk progression av förhållandet 2: (1, 3, 5, 7… 99). I denna progression finns det 50 termer, eftersom från 1 till 100 är hälften av siffrorna jämna och den andra hälften är udda.
Därför måste vi:
n = 50
De1 = 1
DeNej = 99
Också tillgång: 1: a gradens funktion - praktisk användning av aritmetisk progression
Geometrisk progression
En sträng kan också klassificeras som progression geometrisk (PG). För att en sekvens ska vara en geometrisk progression måste den ha en anledning, men i det här fallet, för att hitta nästa term från första termen, utför vi multiplicering av förhållande med föregående term.
Exempel:
a) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Geometrisk progression av förhållande 2, och dess första term är 3.
b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → Geometrisk progression av förhållandet 10, och dess första term är 20.
PG: s löptid
I en geometrisk progression representerar vi orsaken till bokstaven Vad. Termen för en geometrisk progression kan hittas med formeln:
DeNej = den1 · Vadn - 1
Exempel:
Hitta den 10: e perioden av en PG, med vetskap om det Vad = 2 och1 = 5.
DeNej = den1 · Vadn - 1
De10 = 5 · 210 - 1
De10 = 5 · 29
De10 = 5 · 512
De10 = 2560
Allmän benämning på en PG
När vi känner till den första termen och orsaken är det möjligt att generera den allmänna termformeln från en geometrisk progression som uteslutande beror på värdet av Nej. För detta behöver vi bara ersätta den första termen och förhållandet, och vi hittar en ekvation som bara beror på värdet av Nej.
Med föregående exempel, där förhållandet är 2 och den första termen är 5, är den allmänna termen för denna läkare:
DeNej = den1 · Vadn - 1
DeNej = 5 · 2n - 1
Summan av villkoren för en PG
Att lägga till alla villkor för en progression skulle vara mycket arbete. I många fall är det tidskrävande att skriva hela sekvensen för att uppnå denna summa. För att underlätta denna beräkning har den geometriska progressionen en formel som tjänar till att beräkna summan av Nej första elementen av en ändlig PG:
Exempel:
Hitta summan av de första 10 termerna för GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...).
Observera att förhållandet mellan denna PG är lika med 2.
De1 = 1
Vad = 2
Nej = 10
Läs också: Exponentiell funktion - praktisk användning av geometrisk progression
lösta övningar
Fråga 1 - En viss bakteriekultur observeras under några dagar av forskare. En av dem analyserar tillväxten av denna befolkning, och han märkte att det fanns 100 bakterier den första dagen; i den andra 300 bakterier; i den tredje 900 bakterier och så vidare. När vi analyserar denna sekvens kan vi säga att den är:
A) en aritmetisk progression av förhållandet 200.
B) en geometrisk progression av förhållandet 200.
C) en arimetisk utveckling av resonemang 3.
D) en geometrisk progression av förhållandet 3.
E) en sekvens, men inte en progression.
Upplösning
Alternativ D.
När vi analyserar sekvensen har vi villkoren:
Observera att 900/300 = 3, liksom 300/100 = 3. Därför arbetar vi med en PG av förhållandet 3, eftersom vi multiplicerar med tre från första termen.
Fråga 2 - (Enem - PPL) För en nybörjare i löpning fastställdes följande dagliga träningsplan: springa 300 meter den första dagen och öka 200 meter per dag från den andra. För att räkna sin prestation kommer han att använda ett chip, fäst vid sin sneaker, för att mäta avståndet som träffas. Tänk på att detta chip lagrar, i sitt minne, maximalt 9,5 km körning / gång, och måste placeras i början av träningen och kasseras efter att uttömma platsen för datareserv. Om denna idrottare använder chipet från den första träningsdagen, hur många dagar i rad kommer detta chip att kunna lagra körsträckan för den dagliga träningsplanen?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
Upplösning
Alternativ B.
När vi analyserar situationen vet vi att vi har en PA med en anledning på 200 och en initial slutning lika med 300.
Dessutom vet vi att summan SNej = 9,5 km = 9500 meter.
Med dessa data, låt oss hitta termen aNej, vilket är antalet kilometer som registrerats den sista lagringsdagen.
Det är också värt att komma ihåg att varje term aNej kan skrivas som:
DeNej = den1 + (n - 1)r
Med tanke på ekvationen 200n² + 400n - 19000 = 0 kan vi dela alla termer med 200, förenkla ekvationen och hitta: n² + 2n - 95 = 0.
För delta och Bhaskara måste vi:
a = 1
b = 2
c = -95
A = b2 - 4ac
Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)
Δ = 4 – 4 · (-95)
Δ = 4 + 380
Δ = 384
Vi vet att 8,75 motsvarar 8 dagar och några timmar. I detta fall är antalet dagar då mätningen kan utföras 8.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm
