Eulers relation är en likhet som relaterar antalet hörn, kanter och ytor i konvexa polyedrar. Det står att antalet ytor plus antalet hörn är lika med antalet kanter plus två.
Euler-relationen ges av:
Var,
F är antalet ansikten,
V antalet hörn,
DE antalet kanter.
Vi kan använda Eulers relation för att bestämma eller bekräfta okända värden på V, F eller A, närhelst polyedern är konvex.
| Polyeder | F | V | DE | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Kub | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| triangulär pyramid | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Femkantigt basprisma | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| vanlig oktaeder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Exempel
En konvex polyeder har 20 ytor och 12 hörn. Bestäm antalet kanter.
Att använda Eulers relation och isolera A:
Ersätter värdena för F och V:
Ansikten, hörn och kanter
Polyedrar är solida, tredimensionella geometriska former utan rundade sidor. Dessa sidor är ytorna (F) på polyedern.
Mötet mellan ansikten kallar vi kanter (A).
Vertices är de punkter där tre eller flera kanter möts.
konvexa polyedrar
Konvexa polyedrar är geometriska fasta ämnen som inte uppvisar konkavitet, därför finns det på ingen av deras ytor inre vinklar som är större än 180º.
I denna polyeder har den inre vinkeln markerad med blått mer än 180º, så det är inte en konvex polyeder.
Se mer om polyedra.
Övningar om Eulers relation
Övning 1
Hitta antalet ytor i en polyeder med 9 kanter och 6 hörn.
Rätt svar: 5 ansikten.
Använder Eulers relation:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Övning 2
En dodekaeder är en platonsk solid med 12 ytor. När du vet att den har 20 hörn, bestäm antalet kanter.
Rätt svar:
Använder Eulers relation:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Övning 3
Vad heter polyedern med 4 hörn och 6 kanter i förhållande till dess antal ytor, där ytorna är trianglar?
Svar: Tetraeder.
Vi måste bestämma dess antal ansikten.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
En polyeder som har 4 ytor i form av trianglar kallas en tetraeder.
Vem var Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) var en av de mest skickliga matematikerna och fysikerna i historien, samt bidrog till astronomistudier. Han var tysktalande schweizisk professor i fysik vid St Petersburg Academy of Sciences och senare vid Berlin Academy. Han har publicerat flera studier om matematik.
Lär dig också:
- Geometriska fasta ämnen
- Rumslig geometri
- Geometriska former
- Prisma - geometrisk figur
- Pyramid
- Gatsten
- Kub
