uppsättningen av primtal är föremål för studier i matematik från antikens Grekland. Euklides diskuterade redan i sitt stora verk "The elements" ämnet och lyckades visa att detta uppsättning är oändlig. Som vi vet är primtalen de som har talet 1 som divisor och de själva, alltså, att hitta mycket stora primtal är inte en lätt uppgift, och Eratosthenes sikt gör det enkelt. möte.
Hur vet man när ett tal är primtal?
Vi vet att ett primtal är aden som har som delare nummer 1 och han själv, så ett tal som i sin lista över divisorer har andra tal än 1 och i sig självt kommer inte att vara primtal, se:
Genom att lista 11 och 30 avdelare har vi:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Observera att talet 11 bara har siffran 1 och sig själv som delare, så nummer 11 är ett primtal. Titta nu på divisorerna för talet 30, den har, förutom talet 1 och sig själv, talen 2, 3, 5, 6 och 10 med divisorer. Därför, talet 30 är inte primtal.
→ Exempel: Lista primtal som är mindre än 15.
För detta kommer vi att lista divisorerna för alla tal mellan 2 och 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Således är primtal mindre än 15:
2, 3, 5, 7, 11 och 13
Låt oss inse det, den här uppgiften skulle inte vara särskilt trevlig, till exempel om vi skulle skriva ner alla primtal mellan 2 och 100. För att undvika det kommer vi att lära oss att använda, i nästa ämne, sikten från Eratosthenes.
Sil av Eratosthenes
Sållen av Eratosthenes är en verktyg som syftar till att underlätta bestämning av primtal. Silen består av fyra steg, och det är nödvändigt, för att förstå dem, att tänka på delbarhetskriterier. Innan vi börjar steg för steg måste vi skapa en tabell från siffran 2 till önskat nummer, eftersom talet 1 inte är primtal. Sedan:
→ Steg 1: Från delbarhetskriteriet med 2 har vi att de jämna talen alla är delbara med det, det vill säga nummer 2 kommer att visas i listan över divisorer, så dessa tal kommer inte att vara primtal och vi måste utesluta dem från tabell. Är de:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Steg 2: Från kriteriet delbarhet med 3 vet vi att ett tal är delbart med 3 om belopp av dess siffror är det också. Därför måste vi utesluta dessa tal från tabellen, eftersom de inte är primtal eftersom det finns ett annat tal än 1 och sig själv i listan över divisorer. Så vi måste utesluta siffrorna:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Steg 3: Från kriteriet delbarhet med 5 vet vi att alla tal som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5, så vi måste utesluta dem från tabellen.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Steg 4: På samma sätt måste vi utesluta tal som är multiplar av 7 från tabellen.
14, 21, 28, …, 546, …
– När vi känner till Eratosthenes såll, låt oss bestämma primtal mellan 2 och 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ är inte kusiner
→ primtal
Så primtalen mellan 2 och 100 är:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Läs också: MMC- och MDC-beräkning: hur gör man det?
Primfaktornedbrytning
DE primfaktornedbrytning är formellt känd som aritmetikens grundsats. Denna sats säger att någon heltal skiljer sig från 0 och större än 1 kan representeras av produkten av primtal. För att bestämma den faktoriserade formen av ett heltal måste vi utföra successiva divisioner tills vi når resultatet lika med 1. Se exemplet:
→ Bestäm den faktoriserade formen för talen 8, 20 och 350.
För att faktorisera talet 8 måste vi dividera det med det första möjliga primtalet, i det här fallet med 2. Sedan utför vi ytterligare en division med det primtal som är möjligt, denna process upprepas tills vi når siffran 1 som svar på divisionen. Se:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Därför är den faktoriserade formen av talet 8 2 · 2 · 2 = 23. För att underlätta denna process kommer vi att använda följande metod:
Därför kan siffran 8 skrivas som: 23.
→ För att faktorisera talet 20 kommer vi att använda samma metod, det vill säga: dividera det med primtal.
Så talet 20, i sin faktoriserade form, är: 2 · 2 · 5 eller 22 · 5.
→ På samma sätt kommer vi att göra med siffran 350.
Därför är talet 350, i sin faktoriserade form: 2 · 5 · 5 · 7 eller 2 · 52 · 7.
Se också: Vetenskaplig notation: vad är det till för?
lösta övningar
fråga 1 – Förenkla uttrycket:
Lösning
Låt oss först faktorisera uttrycket för att göra det lättare.
Alltså 1024 = 210, och därför kan vi ersätta det ena med det andra i övningsuttrycket. Således:
av Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm
