Permutation är en räkneteknik som används för att bestämma hur många sätt det finns att beställa elementen i en ändlig uppsättning. Att göra ett utbyte är att utföra ett utbyte och i kombinationsproblem betyder det att utbyta elementen på plats, med tanke på deras ordning.
Dessa tekniker är en del av ett fält av matematik som kallas Combinatorial Analysis, som syftar till att känna till och räkna olika sätt att organisera uppsättningar och deras element. Enkel permutation och a med upprepade element behandlar denna problemkategori.
enkel permutation
En enkel permutation är beställningen av elementen i en ändlig uppsättning, när deras element upprepas inte, är distinkta. Den används för att bestämma mängden av dessa typer.
Mängden av permutationer av en uppsättning n-element är lika med n! (läser en faktor).
Formeln för att bestämma antalet enkla permutationer är
Tänk på en uppsättning med n-element. För att organisera dem i en kö måste vi välja den första och för det har vi n möjligheter. För att välja den andra har vi (n-1) möjligheter, en mindre, eftersom vi redan använde ett alternativ när vi valde den första. Denna process fortsätter tills bara ett element återstår.
För att bestämma det totala antalet permutationer multiplicerar vi antalet möjligheter som finns att välja varje element. Således:
Uttrycket ovan kallas faktor för n och vi använder symbolen Nej!.
lära sig mer om faktoria på här.
Exempel:
De olika sätten att organisera bokstäverna i ett ord kallas anagram. Hur många anagram finns det för ordet DUCK?
Det här är möjligheterna:
Så eftersom ordet PATO har fyra bokstäver, måste vi
Så det finns 24 enkla permutationer för ordet DUCK.
Enkla permutationsövningar
fråga 1
Beräkna värdet av .
fråga 2
Tänk på en först till kvarn-kö för människor där det finns sex personer vid varje given tidpunkt. Hur många olika sätt kunde dessa människor rankas från första till sista?
Varje beställningsformulär är en enkel permutation, eftersom individer är unika och inte upprepar sig själva. Så med sex personer är svaret en permutation med 6 element.
fråga 3
Tänk på ordet FORK och svara på följande frågor?
a) Hur många är anagrammen för ordet FORK?
Eftersom bokstäverna inte upprepas är detta ett enkelt permutationsfall med 5 element.
b) Hur många anagram börjar med bokstaven A?
I det här fallet fixar vi bokstaven A i början och beräknar permutationerna med bokstäverna GRFO, som är permutationer av 4 element.
1 möjlighet för bokstaven A x .
c) Hur många anagram finns om vokalerna alltid ligger bredvid varandra?
En möjlighet skulle vara G R F A O.
Det finns tre sätt att beställa konsonanterna. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Det finns två sätt att beställa vokalerna. P2 = 2 x 1 = 2
Det finns fortfarande två sätt att organisera grupperna (konsonanter och vokaler) inbördes. P2 = 2 x 1 = 2
Nu är det bara att multiplicera resultaten.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Så det finns 24 anagram där vokalerna alltid är tillsammans.
Permutation med upprepning
En permutation med upprepade element händer när i en uppsättning n-element, några av dem är lika.
I formeln för att bestämma antalet permutationer med upprepning delar vi faktorn för det totala antalet n element med produkten av de upprepande elementens faktoria.
är antalet permutationer av n element.
det är antalet element av varje typ som upprepas.
är faktorn för det totala antalet element n.
Exempel
Låt oss bestämma hur många permutationer det finns för ordet EGG. För att göra det enklare, låt oss färga bokstäverna. Låt oss titta på anagrammen för ordet EGG.
Antalet enkla permutationer med 3 element ges av
Men vissa permutationer upprepas och vi kan inte räkna dem två gånger. För detta måste vi dela upp värdet av (eftersom ordet har tre bokstäver), av
(eftersom bokstaven O upprepas två gånger).
Således är antalet permutationer för bokstäverna i ordet OVO lika med 3.
Låt oss titta på detta andra exempel där vi kommer att definiera antalet permutationer för bokstäverna i ordet BANANA.
Var:
betyder permutation med 6 element där bokstäverna A och N upprepas.
3! för bokstaven A upprepar sig tre gånger.
2! för bokstaven N upprepas två gånger.
Ett tips för att göra beräkningen enklare är att utveckla 6! tills du når 3!, förenklar med nämnaren. Se utvecklingen.
Således är antalet permutationer för bokstäverna i ordet BANANA lika med 60.
Du kanske är intresserad av det här innehållet i kombinationsanalys:
Kombinatorisk analys
Övningar om kombinationsanalys
