Två distinkta linjer som ligger i samma plan är samtidigt när de har en enda punkt gemensamt.
De samtidiga linjerna bildar fyra vinklar mot varandra och enligt mätningarna av dessa vinklar kan de vara vinkelräta eller sneda.
När de fyra vinklarna som bildas av dem är lika med 90º kallas de vinkelräta.
I figuren nedanför raderna r och s är vinkelräta.
Om de formade vinklarna skiljer sig från 90 ° kallas de sneda konkurrenter. I figuren nedan representerar vi linjerna u och v snedställningar.
Tävlande, sammanfallande och parallella linjer
Två linjer som tillhör samma plan kan vara samtidigt, sammanfallande eller parallella.
Medan de samtidiga linjerna har en enda skärningspunkt, har de sammanfallande linjerna åtminstone två punkter gemensamt och parallella linjer de har inga gemensamma punkter.
Relativ position för två raka
Genom att känna till ekvationerna för två rader kan vi verifiera deras relativa positioner. För detta måste vi lösa systemet som bildas av ekvationerna för de två linjerna. Så vi har:
- Samtidiga linjer: systemet är möjligt och bestämt (en gemensam punkt).
- Sammanfallande linjer: systemet är möjligt och bestämt (oändlig punkt gemensamt).
- Parallella linjer: systemet är omöjligt (inga gemensamma punkter).
Exempel:
Bestäm det relativa läget mellan linjen r: x - 2y - 5 = 0 och linjen s: 2x - 4y - 2 = 0.
Lösning:
För att hitta den relativa positionen mellan de givna linjerna måste vi beräkna det ekvationssystem som bildas av deras linjer, så vi har:
När vi löser systemet genom tillsats hittar vi följande ekvation 0y = - 8, eftersom det inte finns någon lösning för denna ekvation är det omöjligt. På detta sätt är de två linjerna parallella.
Motsatta vinklar från Vertex
Två konkurrerande linjer bildar två par vinklar. Dessa vinklar har en gemensam punkt som kallas ett toppunkt.
De vinkelpar som ligger mittemot toppunkten är kongruenta, det vill säga de har samma mått.
I figuren nedan representerar vi vinklarna AÔB och CÔD som är motsatta av toppunkten, liksom vinklarna AÔC och BÔD.
Skärningspunkt mellan två samtidiga raka linjer
Skärningspunkten mellan två samtidiga linjer tillhör ekvationerna för de två linjerna. På detta sätt kan vi hitta koordinaterna för denna punkt gemensamt och lösa systemet som bildas av ekvationerna på dessa linjer.
Exempel:
Bestäm koordinaterna för en punkt P som är gemensam för linjerna r och s, vars ekvationer är x + 3y + 4 = 0 respektive 2x - 5y - 2 = 0.
Lösning:
För att hitta koordinaterna för punkten måste vi lösa systemet med givna ekvationer. Så vi har:
För att lösa systemet har vi:
Genom att ersätta detta värde i den första ekvationen hittar vi:
Därför är skärningspunktens koordinater , dvs
.
Läs mer genom att också läsa:
- Vinkelräta linjer
- hetero
- konisk
Lösta övningar
1) I ett ortogonalt axelsystem är - 2x + y + 5 = 0 respektive 2x + 5y - 11 = 0 ekvationerna för raderna r och s. Hitta koordinaterna för skärningspunkten för r och s.
P (3, 1)
2) Vilka är koordinaterna för topparna i en triangel, med vetskap om att ekvationerna för stödlinjerna på dess sidor är - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 och 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Bestäm den relativa positionen för linjerna r: 3x - y -10 = 0 och 2x + 5y - 1 = 0.
De raka linjerna är samtidigt, varvid skärningspunkten (3, - 1).
