Sins Law: tillämpning, exempel och övningar

DE syndens lag bestämmer att i en triangel är sinusförhållandet för en vinkel alltid proportionellt mot måttet på sidan motsatt den vinkeln.

Denna sats visar att i samma triangel alltid kommer förhållandet mellan värdet på en sida och sinus för dess motsatta vinkel att vara konstant.

Således, för en triangel ABC med sidorna a, b, c, erkänner syndens lag följande förhållanden:

Representation av syndarnas lagar i triangeln

Exempel

För en bättre förståelse, låt oss beräkna måttet på sidorna AB och BC i denna triangel, som en funktion av måttet b på sidan AC.

Enligt sineslagstiftningen kan vi skapa följande förhållande:

Följaktligen AB = 0,816b och BC = 1,115b.

Notera: Värdena på sines konsulterades i tabell över trigonometriska förhållanden. I den kan vi hitta värdena för vinklarna från 1º till 90º för varje trigonometrisk funktion (sinus, cosinus och tangent).

Vinklarna 30º, 45º och 60º används mest i trigonometriberäkningar. De kallas därför anmärkningsvärda vinklar. Kolla in en tabell med värdena nedan:

instagram story viewer

Trigonometriska relationer	30°	45°	60°
Sinus	1/2	√2/2	√3/2
cosinus	√3/2	√2/2	1/2
Tangent	√3/3	1	√3

Tillämpning av syndernas lag

Vi använder sinallagen i akuta trianglar, där de inre vinklarna är mindre än 90º (akuta); eller i trubbiga trianglar, som har inre vinklar större än 90 ° (trubbiga). I dessa fall kan du också använda Cosinus lag.

Huvudsyftet med att använda Sins eller Cosines är att upptäcka måtten på sidorna av en triangel och dess vinklar.

Representation av trianglar enligt deras inre vinklar

Och syndernas lag i rektangel triangeln?

Som nämnts ovan används Sins Law i både akuta och trubbiga trianglar.

I de högra trianglarna, bildade av en inre vinkel på 90º (rak), använde vi Pythagoras teorem och förhållandena mellan dess sidor: motsatt, intilliggande sida och hypotenus.

Representation av höger triangel och dess sidor

Denna teorem har följande påstående: "summan av benens rutor motsvarar kvadraten för din hypotenus". Dess formel uttrycks:

H² = ca²+ co²

Således, när vi har en rätt triangel, kommer sinus att vara förhållandet mellan längden på det motsatta benet och längden på hypotenusen:

Det står motsatt på hypotenusen.

Cosinus motsvarar proportionen mellan längden på det angränsande benet och längden på hypotenusen, representerad av uttrycket:

Den läses intill hypotenusen.

Entréexamensövningar

1.(UFPB) Stadshuset i en viss stad kommer att bygga, över en flod som korsar staden, en bro som måste vara rak och ansluta två punkter, A och B, som ligger på flodens motsatta stränder. För att mäta avståndet mellan dessa punkter placerade en lantmätare en tredje punkt, C, 200 m från punkt A och på samma flodstrand som punkt A. Med hjälp av en teodolit (precisionsinstrument för mätning av horisontella vinklar och vertikala vinklar, ofta används i topografiskt arbete) observerade inspektören att vinklarna B C med superscript logisk konjunktion A mellanslag och mellanslag C A med superscript logisk konjunktion B uppmätt 30 ° respektive 105 °, såsom illustreras i följande figur.

Baserat på denna information är det korrekt att ange att avståndet, i meter, från punkt A till punkt B är:

ett höger parentesutrymme 200 kvadratrot av 2 ändutrymme av rot b högra parentesutrymme 180 kvadratrot av 2 ändutrymme av rotparentes rätt utrymme 150 kvadratrot av 2 utrymme d höger parentes utrymme 100 kvadratrot av 2 utrymme och höger parentes utrymme 50 kvadratrot av 2

Se Svar

R e s p o st a space c o r r e t a colon space d right parenthesis space 100 square root of 2

mål: Bestäm måttet på AB.

Idé 1 - Sins Law för att bestämma AB

Figuren bildar triangeln ABC, där sidan AC mäter 200 m och vi har två bestämda vinklar.

är vinkeln B med superscript logisk konjunktion mittemot sidan AC på 200 m och vinkeln C mittemot sidan AB kan vi bestämma AB genom syndens lag.

täljare A B över nämnare s och n mellanslag 30 graders teckenände på bråkutrymme lika med rymdräknare A C om nämnare s och n mellanslag stil visa B med logisk sammankoppling överskrift slut stil slutet av fraktion

DE syndens lag den bestämmer att förhållandena mellan mätningarna på sidorna och sinesen i motsatta vinklar, respektive dessa sidor, är lika i samma triangel.

Idé 2 - bestäm vinkeln

Summan av de inre vinklarna i en triangel är 180 °, så vi kan bestämma vinkel B.

B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

Ersätter värdet på B med superscript logisk konjunktion i sines lag och göra beräkningar.

täljare A B utrymme över nämnaren s och n mellanslag 30 graders tecken slutet av bråkutrymmet lika med täljarutrymmet A C över nämnarens utrymme s och n mellanslag B slutet av fraktionsräknaren A B mellanrum över nämnaren s och n mellanslag 30 graders tecken slutet av fraktionsutrymmet lika med täljarutrymmet A C över nämnarens utrymme s e n mellanslag 45 graders tecken slutet av bråkräknaren A B mellanslag över nämnarens startstil visar 1 halvänden av stilens slut av bråkutrymmet lika med räknare utrymme A C över nämnaren utrymme start stil visa täljaren kvadratroten av 2 över nämnaren 2 slutet av bråk slutet av stil slutet av bråk 2 A B-utrymme lika med täljaren 2 A C över kvadratrotnämnaren på 2-änden av fraktionen A B-utrymmet lika med täljaren A C över kvadratrotnämnaren på 2 slutet av fraktionen

Observera att det finns en kvadratrot i en nämnare. Låt oss ta den här roten genom att göra rationaliseringen, vilket är multiplikationen av både nämnaren och täljaren av bråkdelen med själva roten.

A B-utrymme lika med täljaren A C över nämnarens kvadratrot av 2-änden av bråkutrymmet lika med rymdräknaren A C-mellanslag. kvadratrotutrymme på 2 över nämnaren kvadratrot på 2 mellanslag. kvadratrotutrymme på 2 slutet av bråkutrymmet lika med täljarutrymmet A C-utrymme. space kvadratrot av 2 över nämnaren kvadratrot av 4 slutet av bråkutrymmet lika med täljarutrymmet A C-mellanslaget. kvadratrotutrymme på 2 över nämnaren 2 slutet av fraktionen

Vi har ersatt växelströmsvärdet:

A B-utrymme lika med rymdräknare 200-utrymme. utrymme kvadratrot av 2 över nämnaren 2 slutet av bråkutrymmet lika med utrymme 100 kvadratrot av 2

Därför är avståndet mellan punkterna A och B 100 kvadratrot av 2 m utrymme .

2. (Mackenzie - SP) Tre öar A, B och C visas på en skala 1: 10000, som visas i figuren. Av alternativen är den som bäst approximerar avståndet mellan öarna A och B:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Se Svar

Rätt svar: e) 1,7 km

Syfte: Att bestämma måttet på segment AB.

Idé 1: Använd sinuslagen för att hitta måttet på AB

Syndelag: Mätningarna på sidorna av en triangel är proportionella mot sina motsatta vinklar.

täljaren 12 över nämnaren s och n mellanslag 30 slutet av fraktionsutrymmet lika med rymdräknaren A B över nämnare mellanslag s och n mellanslagstilsvisning C med logisk sammankoppling överskrift slutstil slutet av rymdfraktion

Idé 2: bestäm vinkeln

Summan av de inre vinklarna i en triangel är lika med 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Idé 3: Tillämpa värdet av C i lagen om sinus

täljaren 12 över nämnaren s och n mellanslag 30 slutet av fraktionsutrymmet lika med rymdräknaren A B över nämnare space s and n space start style show 45 end of style slutet av fraktion space 12 space. space s and n space 45 space lika med space A B space. utrymme s och n utrymme 30 12 utrymme. rymdräknare kvadratrot av 2 över nämnaren 2 slutet av bråkutrymmet lika med mellanslag A B-utrymme. mellanslag 1 mellersta 6 kvadratrot av 2 utrymme lika med täljaren A B över nämnaren 2 slutet av bråk 12 kvadratrot av 2 utrymme lika med mellanslag A B

Idé 4: ungefärliga kvadratrotvärdet och använd skalan

Tillverkning kvadratrot av 4 ungefär lika stort utrymme 1 komma 4

12. 1,4 = 16,8

Skalan säger 1: 10000, multiplicera:

16,8. 10000 = 168 000 cm

Idé 5: flytta från cm till km

168 000 cm / 100 000 = 1,68 km

Slutsats: Eftersom det beräknade avståndet är 1,68 km är det närmaste alternativet bokstaven e.

Obs: För att gå från cm till km delar vi med 100 000 eftersom vi på följande skala, från centimeter till km, räknar fem platser till vänster.

km -5- hm -4- damm -3- m -2- dm -1- centimeter mm

3. (Unifor-CE) Det är känt att måttet på varje sida i varje triangel är direkt proportionell mot sinus för vinkeln motsatt sidan. Med denna information dras slutsatsen att måttet på sidan AB i triangeln som visas nedan är: