Avståndet mellan två punkter är måttet på linjesegmentet som förenar dem.
Vi kan beräkna denna åtgärd med hjälp av analytisk geometri.
Avståndet mellan två punkter på planet
I planet bestäms en punkt helt och hållet med vetskap om ett ordnat par (x, y) associerat med det.
För att känna avståndet mellan två punkter kommer vi initialt att representera dem i det kartesiska planet och sedan beräkna detta avstånd.
Exempel:
1) Vad är avståndet mellan punkt A (1.1) och punkt B (3.1)?
d (A, B) = 3 - 1 = 2
2) Vad är avståndet mellan punkt A (4.1) och punkt B (1,3)?
Observera att avståndet mellan punkt A och punkt B är lika med hypotenusen i höger triangel med ben 2 och 3.
Så, vi kommer att använda Pythagoras sats för att beräkna avståndet mellan de angivna punkterna.
[badda)]2 = 32 + 22 = √13
Formel för avstånd mellan två punkter på planet
För att hitta avståndsformeln kan vi generalisera beräkningen i exempel 2.
För alla två punkter, t.ex. A (x1yy1) och B (x2y2), vi har:
För att lära dig mer, läs även:
- plangeometri
- Kartesisk plan
- hetero
Avstånd mellan två punkter i rymden
Vi använder ett tredimensionellt koordinatsystem för att representera punkter i rymden.
En punkt bestäms helt i rymden när det är en ordnad trippel (x, y, z) associerad med den.
För att hitta avståndet mellan två punkter i rymden kan vi initialt representera dem i koordinatsystemet och därifrån utföra beräkningarna.
Exempel:
Vad är avståndet mellan punkt A (3,1.0) och punkt B (1,2,0)?
I det här exemplet ser vi att punkt A och B tillhör xy-planet.
Avståndet kommer att ges av:
[badda)]2 = 12 + 22 = √5
Formel för avståndet mellan två punkter i rymden
För att lära dig mer, läs även:
- Rumslig geometri
- Linjeekvation
- Matematiska formler
Lösta övningar
1) En punkt A tillhör abskissaxeln (x-axeln) och är lika långt från punkterna B (3.2) och C (-3.4). Vad är koordinaterna för punkt A?
Eftersom punkt A tillhör abscissaxeln är dess koordinat (a, 0). Så vi måste hitta värdet av a.
(0 - 3)2 + (till - 2)2 = (0 + 3)2 + (till -4)2
9 + till2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8: e + 16: e
4: e = 12
a = 3
(3.0) är koordinaterna för punkt A.
2) Avståndet från punkt A (3, a) till punkt B (0,2) är lika med 3. Beräkna ordinatvärdet a.
32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2
9 = 9 + 4 - 4a + a2
De2 - 4: e +4 = 0
a = 2
3) ENEM - 2013
Under de senaste åren har TV genomgått en verklig revolution vad gäller bildkvalitet, ljud och interaktivitet med tittaren. Denna omvandling beror på omvandlingen av den analoga signalen till den digitala signalen. Men många städer har fortfarande inte den här nya tekniken. För att försöka få dessa fördelar till tre städer avser en TV-station att bygga ett nytt sändningstorn som skickar en signal till antennerna A, B och C, som redan finns i dessa städer. Antennernas platser är representerade i det kartesiska planet:
Tornet måste placeras på en avstånd från de tre antennerna. Rätt plats för byggandet av detta torn motsvarar koordinatpunkten
a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)
Rätt alternativ e: (50; 30)
Se också: avståndet mellan två poängövningar
4) ENEM - 2011
En stadsdel i en stad planerades i en platt region med parallella och vinkelräta gator som avgränsade kvarter av samma storlek. I följande kartesiska koordinatplan ligger detta grannskap i andra kvadranten och avstånden i
axlar anges i kilometer.
Den raka linjen av ekvation y = x + 4 representerar planeringen av rutten för den underjordiska tunnelbanelinjen som kommer att korsa stadsdelen och andra regioner i staden.
Vid punkt P = (-5,5) finns ett offentligt sjukhus. Gemenskapen bad planeringskommittén att planera en tunnelbanestation så att dess avstånd till sjukhuset, mätt i en rak linje, inte skulle vara mer än 5 km.
Som svar på samhällets begäran hävdade kommittén korrekt att detta automatiskt skulle uppfyllas, eftersom man redan hade planerat att bygga en station vid denna punkt.
a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)
Rätt alternativ b: (-3.1).
Se också: övningar om analytisk geometri
