Pythagorasats: formel och övningar

O Pythagoras sats visar längden på sidorna av den högra triangeln. Denna geometriska figur bildas av en inre vinkel på 90 °, kallad rät vinkel.

Uttalandet av denna sats är:

"Summan av benens kvadrater motsvarar kvadraten på din hypotenus."

Pythagoras satsformel

Enligt uttalandet från Pythagoras teorem representeras formeln enligt följande:

De² = b² + c²

Varelse,

De: hypotenus
B: cateto
ç: cateto

DE hypotenusa är den längsta sidan av en rätt triangel och sidan motsatt den rätta vinkeln. De andra två sidorna är benen. Vinkeln som bildas av dessa två sidor har ett mått som är lika med 90º (rätt vinkel).

Vi identifierade också benen enligt en referensvinkel. Det vill säga sidan kan kallas intilliggande sida eller motsatt sida.

När benet är nära referensvinkeln kallas det a intilliggandeå andra sidan, om det strider mot denna vinkel, kallas det motsatt.

Nedan följer tre exempel på tillämpningar av Pythagoras sats på metriska förhållanden för en rätt triangel.

Exempel 1: beräkna måttet på hypotenusen

Om en höger triangel har 3 cm och 4 cm som mått på benen, vad är hypotenusen för denna triangel?

Därför är sidorna på den högra triangeln 3 cm, 4 cm och 5 cm.

Exempel 2: beräkna måttet på ett av benen

Bestäm måttet på ett ben som ingår i en höger triangel, vars hypotenus är 20 cm och det andra benet mäter 16 cm.

Därför är måtten på sidorna av den högra triangeln 12 cm, 16 cm och 20 cm.

Exempel 3: kontrollera om en triangel är en rektangel

En triangel har sidor som mäter 5 cm, 12 cm och 13 cm. Hur vet du om det är en rätt triangel?

För att bevisa att en rätt triangel är sant måste måtten på dess sidor följa Pythagoras teorem.

Eftersom de angivna måtten uppfyller Pythagoras sats, dvs att hypotenusens kvadrat är lika med summan av benens kvadrat, då kan vi säga att triangeln är en rektangel.

Läs också: Metriska relationer i rektangel triangeln

Pythagoras triangel

När mäter sidorna av en rätt triangel är positiva heltal, kallas triangeln en pythagoreisk triangel.

I detta fall kallas benen och hypotenusen ”Pythagorean suit” eller ”Pythagorean trio”. För att kontrollera om tre nummer bildar en Pythagoras trio använder vi relationen till² = b² + c².

Den mest kända Pythagoras trioen representeras av siffrorna: 3, 4, 5. Hypotenusen är lika med 5, det större benet lika med 4 och det mindre benet lika med 3.

Observera att arean av rutorna som är ritade på vardera sidan av triangeln är relaterade precis som Pythagoras sats: torget på långsidan motsvarar summan av ytorna på de andra två fyrkant.

Intressant är att multiplarna av dessa siffror också bildar en pythagoreisk kostym. Om vi ​​till exempel multiplicerar trioen 3, 4 och 5 med 3 får vi siffrorna 9, 12 och 15 som också bildar en Pythagoras färg.

Förutom kostym 3, 4 och 5 finns det en mängd andra kostymer. Som ett exempel kan vi nämna:

• 5, 12 och 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 och 29
• 12, 35 och 37

Läs också: Trigonometri i rektangel triangeln

Vem var Pythagoras?

enligt historien Pythagoras av Samos (570 a. Ç. - 495 a. C.) var en grekisk filosof och matematiker som grundade Pythagorean School, som ligger i södra Italien. Även kallat Pythagorean Society, inkluderade det studier i matematik, astronomi och musik.

Även om de metriska förhållandena i den högra triangeln redan var kända av babylonierna, som levde långt före Pythagoras, det första beviset på att denna sats tillämpas på vilken rätt triangel som helst antas ha gjorts av Pythagoras.

The Pythagorean Theorem är en av de mest kända, viktigaste och mest använda setningarna i matematik. Det är viktigt för att lösa problem inom analytisk geometri, plangeometri, rumslig geometri och trigonometri.

Förutom satsen, var andra viktiga bidrag från Pythagorean Society for Mathematics:

• Upptäckt av irrationella siffror;
• Egenskaper hos heltal;
• MMC och MDC.

Läs också: Matematiska formler

Bevis på Pythagoras teorem

Det finns flera sätt att bevisa Pythagoras sats. Till exempel boken Pythagoras proposition, publicerad 1927, presenterade 230 sätt att demonstrera det, och en annan upplaga, som släpptes 1940, ökade till 370 demonstrationer.

Titta på videon nedan och kolla in några demonstrationer av Pythagoras teorem.

Hur många sätt finns det att bevisa Pythagoras sats? - Betty Fei

Kommenterade övningar på Pythagoras teorem

fråga 1

(PUC) Summan av kvadraterna på de tre sidorna i en höger triangel är lika med 32. Hur lång är hypotenusen i triangeln?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Se Svar

Rätt alternativ: b) 4.

Från informationen i uttalandet vet vi att² + b² + c² = 32. Å andra sidan måste vi genom Pythagoras-satsen² = b² + c² .

Ersätter värdet på b²+ c² vid² i det första uttrycket finner vi:

De² + den² =32 ⇒ 2. De² = 32 ⇒ till² = 32/2 ⇒ till² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

För fler frågor, se: Pythagoras sats - Övningar

fråga 2

(Och antingen)

I figuren ovan, som representerar utformningen av en trappa med 5 steg av samma höjd, är ledstångens totala längd lika med:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Se Svar

Rätt alternativ: b) 2.1m.

Ledstångens totala längd kommer att vara lika med summan av de två längdsektionerna som är lika med 30 cm med den sektion som vi inte vet måttet för.

Vi kan se från figuren att det okända avsnittet representerar hypotenusen i en rätt triangel, vars mått på ett av benen är lika med 90 cm.

För att hitta måttet på det andra benet måste vi lägga till längden på de 5 stegen. Därför har vi b = 5. 24 = 120 cm.

För att beräkna hypotenusen, låt oss tillämpa Pythagoras sats på denna triangel.

De² = 90² + 120² till² = 8100 + 14 400 ⇒ till² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Observera att vi kunde ha använt tanken med de pythagoreiska dräkterna för att beräkna hypotenusen, eftersom benen (90 och 120) är multiplar av 3, 4 och 5 färg (multiplicerar alla termer med 30).

På detta sätt kommer ledstångens totala mått att vara:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Testa dina kunskaper med Trigonometriövningar

fråga 3

(UERJ) Millôr Fernandes skrev i en vacker hyllning till matematik en dikt som vi extraherar fragmentet nedan:

Till så många ark i en matematikbok,
en kvot blev kär en dag vilt
av en okänd.
Han tittade på henne med sin otaliga blick
och han såg henne från topp till bas: en udda figur;
romboida ögon, trapezoid mun,
rektangulär kropp, sfäroida bröst.
Gjorde ditt liv parallellt med hennes,
tills de träffades i Infinity.
"Vem är du?" - frågade han i radikal ångest.
”Jag är summan av benens rutor.
Men du kan kalla mig hypotenus.”

(Millôr Fernandes. Trettio år av mig själv.)

Incognita hade fel när hon sa vem det var. För att möta Pythagoras-satsen bör följande göras

a) ”Jag är kvadraten på summan av benen. Men kall mig hypotenus-torget. ”
b) ”Jag är summan av benen. Men du kan kalla mig hypotenus. ”
c) ”Jag är kvadraten på summan av benen. Men du kan kalla mig hypotenus. ”
d) ”Jag är summan av benens rutor. Men kall mig hypotenus-torget. ”

Se Svar

Alternativ d) ”Jag är summan av benens rutor. Men kall mig hypotenus-torget. ”

Läs mer om ämnet:

• likbent triangel
• Sine, Cosine och Tangent
• Matematik i fiende