Linjens ekvation kan bestämmas genom att rita den på det kartesiska planet (x, y). Genom att känna till koordinaterna för två distinkta punkter som hör till linjen kan vi bestämma dess ekvation.
Det är också möjligt att definiera en ekvation av den raka linjen baserat på dess lutning och koordinaterna för en punkt som tillhör den.
linjens allmänna ekvation
Två punkter definierar en linje. På detta sätt kan vi hitta linjens allmänna ekvation genom att rikta två punkter med en generisk punkt (x, y) på linjen.
Låt punkterna A (xDeyyDe) och B (xByyB), inte sammanfallande och tillhör den kartesiska planen.
Tre punkter är inriktade när determinanten för matrisen associerad med dessa punkter är lika med noll. Så vi måste beräkna determinanten för följande matris:
När vi utvecklar determinanten hittar vi följande ekvation:
(yDe -yB) x + (xB - xDe) y + xDeyB - xByDe = 0
Låt oss ringa:
a = (yDe -yB)
b = (xB - xDe)
c = xDeyB - xByDe
Den allmänna ekvationen för den raka linjen definieras som:
ax + med + c = 0
Var De, B och ç är konstanta och De och B de kan inte vara samtidigt noll.
Exempel
Hitta en allmän ekvation för linjen som passerar punkterna A (-1, 8) och B (-5, -1).
Först måste vi skriva trepunktsinriktningstillståndet, definiera matrisen associerad med de angivna punkterna och en generisk punkt P (x, y) som tillhör linjen.
När vi utvecklar determinanten finner vi:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Den allmänna ekvationen för linjen som passerar punkterna A (-1,8) och B (-5, -1) är:
9x - 4y + 41 = 0
För att lära dig mer, läs även:
- Huvudkontor
- determinant
- Laplaces teorem
Linje reducerad ekvation
Vinkelkoefficient
Vi kan hitta en ekvation av linjen r att veta dess lutning (riktning), det vill säga värdet på vinkeln θ som linjen presenterar i förhållande till x-axeln.
För detta kopplar vi ett nummer m, som kallas linjens lutning, så att:
m = tg θ
backen m det kan också hittas genom att känna till två punkter som tillhör den raka linjen.
Som m = tg θ, då:
Exempel
Bestäm lutningen på linjen r, som passerar genom punkterna A (1,4) och B (2,3).
Varelse,
x1 = 1 och y1 = 4
x2 = 2 och y2 = 3
Att känna till linjens vinkelkoefficient m och en punkt P0(x0yy0) som tillhör det, kan vi definiera dess ekvation.
För detta kommer vi att ersätta den kända punkten P i lutningsformeln.0 och en generisk punkt P (x, y), som också tillhör linjen:
Exempel
Bestäm en ekvation för linjen som passerar genom punkt A (2,4) och har lutning 3.
För att hitta linjens ekvation ersätter du bara de angivna värdena:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
linjär koefficient
den linjära koefficienten Nej hetero r definieras som den punkt där linjen skär y-axeln, det vill säga punkten för koordinaterna P (0, n).
Med hjälp av denna punkt har vi:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (reducerad linjeekvation).
Exempel
Att veta att ekvationen för linjen r ges av y = x + 5, identifiera dess lutning, dess lutning och den punkt där linjen skär y-axeln.
Eftersom vi har den reducerade ekvationen för linjen, då:
m = 1
Där m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Skärningspunkten för linjen med y-axeln är punkten P (0, n), där n = 5, då blir punkten P (0,5)
Läs också Beräkning av lutning
Linjesegmentekvation
Vi kan beräkna lutningen med hjälp av punkten A (a, 0) som linjen skär x-axeln och punkten B (0, b) som skär y-axeln:
Med tanke på n = b och ersätta i reducerad form har vi:
Genom att dela alla medlemmar efter ab hittar vi linjens segmentekvation:
Exempel
Skriv, i segmentform, ekvationen för linjen som passerar genom punkt A (5.0) och har lutning 2.
Låt oss först hitta punkten B (0, b) som ersätter lutningsuttrycket:
Genom att ersätta värdena i ekvationen har vi den linjära segmentekvationen:
Läs också om:
- Kartesisk plan
- Avstånd mellan två punkter
- konisk
- hetero
- Parallella linjer
- Vinkelräta linjer
- Linjesegmentet
- Linjär funktion
- Affine-funktion
- Relaterade funktionsövningar
Lösta övningar
1) Med tanke på linjen som har ekvationen 2x + 4y = 9, bestäm dess lutning.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Därför m = - 1/2
2) Skriv ekvationen för raden 3x + 9y - 36 = 0 i reducerad form.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
För en vetenskapsmässa byggs två raketprojektiler, A och B, för att lanseras. Planen är att de ska lanseras tillsammans, med målet att projektil B avlyssnar A när den når sin maximala höjd. För att detta ska hända kommer en av projektilerna att beskriva en parabolisk bana, medan den andra kommer att beskriva en förmodligen rak bana. Grafen visar de höjder som dessa projektiler når som en funktion av tiden i simuleringarna.
Baserat på dessa simuleringar observerades att banan för projektil B skulle ändras så att
målet uppnåddes.
För att nå målet måste vinkelkoefficienten för linjen som representerar B-banan
a) minska med 2 enheter.
b) minska med 4 enheter.
c) öka med 2 enheter.
d) öka med 4 enheter.
e) öka med 8 enheter.
Först måste vi hitta det ursprungliga värdet av linjen B.
Kom ihåg att m = tg Ɵ, vi har:
m1 = 12/6 = 2
För att passera den maximala höjdpunkten för banan A måste lutningen på linjen B ha följande värde:
m2 = 16/4 = 4
Således måste linjen B lutas från 2 till 4, då kommer den att öka med 2 enheter.
Alternativ c: öka 2 enheter
Se också: Övningar om analytisk geometri
