Ett andra grads ekvation är hela ekvationen i form yxa2 + bx + c = 0, med a, b och c reella tal och a ≠ 0. För att lösa en ekvation av denna typ kan du använda olika metoder.
Använd de kommenterade resolutionerna från övningarna nedan för att ta bort alla dina tvivel. Se också till att testa dina kunskaper med de lösta tävlingsfrågorna.
Kommenterade övningar
Övning 1
Min mammas ålder multiplicerad med min ålder är 525. Om min mamma var 20 år när jag föddes, hur gammal är jag?
Lösning
Med tanke på min ålder lika med x, då kan vi överväga att min mors ålder är lika med x + 20. Hur vet vi värdet av produkten i våra åldrar, då:
x. (x + 20) = 525
Gäller multiplikationens fördelningsegenskaper:
x2 + 20 x - 525 = 0
Vi kommer sedan fram till en komplett 2-graders ekvation, med a = 1, b = 20 och c = - 525.
För att beräkna rötterna för ekvationen, det vill säga värdena på x där ekvationen är lika med noll, låt oss använda Bhaskaras formel.
Först måste vi beräkna värdet på ∆:
För att beräkna rötterna använder vi:
Genom att ersätta värdena i formeln ovan hittar vi rötterna för ekvationen, så här:
Eftersom min ålder inte kan vara negativ föraktar vi värdet -35. Så resultatet är 15 år.
Övning 2
En kvadrat, representerad i figuren nedan, har en rektangulär form och dess yta är lika med 1 350 m2. Att veta att dess bredd motsvarar 3/2 höjden, bestämma måtten på torget.
Lösning
Med tanke på att dess höjd är lika med x, bredden blir då lika med 3 / 2x. Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera dess bas med höjdvärdet. I det här fallet har vi:
Vi når en ofullständig 2: a graders ekvation, med a = 3/2, b = 0 och c = - 1350, vi kan beräkna denna typ av ekvation genom att isolera x och beräkna kvadratrotsvärdet.
Eftersom värdet på x representerar höjdmåttet kommer vi att bortse från - 30. Således är höjden på rektangeln lika med 30 m. För att beräkna bredden, låt oss multiplicera detta värde med 3/2:
Därför är kvadratbredden lika med 45 m och dess höjd är lika med 30 m.
Övning 3
Så att x = 1 är roten till ekvationen 2ax2 + (2: a2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, värdena för a ska vara:
a) 3 och 2
b) - 1 och 1
c) 2 och - 3
d) 0 och 2
e) - 3 och - 2
Lösning
För att hitta värdet på a, låt oss först ersätta x med 1. På detta sätt kommer ekvationen att se ut så här:
2.a.12 + (2: a2 - till - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2: a + 2: a2 - till - 4 - 2 - till2 = 0
De2 + till - 6 = 0
Nu måste vi beräkna roten till den kompletta 2: a gradens ekvation, för det kommer vi att använda Bhaskaras formel.
Därför är det rätta alternativet bokstaven C.
Tävlingsfrågor
1) Epcar - 2017
Betrakta, i ℝ, ekvationen (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 i variabeln x, där m är ett verkligt tal annat än - 2.
Granska påståendena nedan och betygsätt dem som V (TRUE) eller F (FALSE).
() För alla m> 2 har ekvationen en tom lösningsuppsättning.
() Det finns två verkliga värden på m för att ekvationen ska tillåta lika rötter.
() I ekvationen, om ∆> 0, kan m bara anta positiva värden.
Den korrekta sekvensen är
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Låt oss titta på vart och ett av uttalandena:
För alla m> 2 har ekvationen en tom lösningssats
Eftersom ekvationen är av andra graden i ℝ, kommer den inte att ha en lösning när deltaet är mindre än noll. Vi beräknar detta värde:
Så det första uttalandet är sant.
Det finns två verkliga värden på m för att ekvationen ska tillåta lika rötter.
Ekvationen kommer att ha lika verkliga rötter när Δ = 0, det vill säga:
- 4m + 8 = 0
m = 2
Därför är påståendet falskt eftersom det bara finns ett värde på m där rötterna är verkliga och lika.
I ekvationen, om ∆> 0, kan m bara ta positiva värden.
För Δ> 0 har vi:
Eftersom det i uppsättningen oändliga reella tal är negativa tal mindre än 2, är påståendet också falskt.
Alternativ d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura måste lösa en andra gradens ekvation i "hemmet" men inser att när hon kopierar från tavlan till anteckningsboken glömde hon att kopiera koefficienten x. För att lösa ekvationen spelade han in den enligt följande: 4x2 + ax + 9 = 0. Eftersom hon visste att ekvationen bara hade en lösning, och den här var positiv, kunde hon bestämma värdet av a, vilket är
a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13
När en ekvation av andra graden har en enda lösning är deltaet från Bhaskaras formel lika med noll. Så för att hitta värdet av De, beräkna bara deltaet, vilket motsvarar dess värde till noll.
Så om a = 12 eller a = - 12 har ekvationen bara en rot. Vi måste dock fortfarande kontrollera vilka av värdena för De resultatet blir en positiv rot.
För det, låt oss hitta roten, för värdena för De.
Så för a = -12 har ekvationen bara en rot och positiv.
Alternativ b: -12
3) Enem - 2016
En tunnel måste tätas med ett betongskydd. Tunnelns tvärsnitt och betonghöljet har konturerna av en parabelbåge och samma dimensioner. För att fastställa kostnaden för arbetet måste en ingenjör beräkna ytan under den paraboliska bågen i fråga. Med hjälp av den horisontella axeln på marknivå och parabolens symmetriaxel som den vertikala axeln fick han följande ekvation för parabolen:
y = 9 - x2, där x och y mäts i meter.
Det är känt att området under en sådan parabel är lika med 2/3 av arean på rektangeln vars dimensioner är lika med basen och höjden på tunnelingången.
Vad är ytan på betonghöljets framsida, i kvadratmeter?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
För att lösa detta problem måste vi hitta mätningarna på tunnelns ingångs bas och höjd, som problemet berättar att frontytan är lika med 2/3 av rektangelns yta med dessa dimensioner.
Dessa värden kommer att hittas från den andra gradsekvationen. Parabolen i denna ekvation har konkaviteten avvisad, eftersom koefficienten De är negativ. Nedan följer en beskrivning av denna liknelse.
Från diagrammet kan vi se att måttet på tunnelns bas kommer att hittas genom att beräkna ekvationens rötter. Redan dess höjd kommer att vara lika med måttet på toppunkten.
För att beräkna rötterna observerar vi att ekvationen 9 - x2 är ofullständig, så vi kan hitta dess rötter genom att jämföra ekvationen med noll och isolera x:
Därför kommer mätningen av tunnelns bas att vara lika med 6 m, det vill säga avståndet mellan de två rötterna (-3 och 3).
När vi tittar på diagrammet ser vi att toppunkten motsvarar värdet på y-axeln att x är lika med noll, så vi har:
Nu när vi känner till mätningarna av tunnelns bas och höjd kan vi beräkna dess yta:
Alternativ c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
För vilket värde av "a" har ekvationen (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 två rötter och lika?
till 1
b) 0
c) 1
d) 2
För att en 2-graders ekvation ska ha två lika rötter är det nödvändigt att Δ = 0, det vill säga b2-4ac = 0. Innan vi beräknar deltaet måste vi skriva ekvationen i formen ax2 + bx + c = 0.
Vi kan börja med att tillämpa distributionen. Vi noterar dock att (x - 2) upprepas i båda termerna, så låt oss sätta det i bevis:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0
Nu när vi distribuerar produkten har vi:
yxa2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Beräkning av Δ och lika med noll, finner vi:
Så när a = 1 kommer ekvationen att ha två lika rötter.
Alternativ c: 1
För att lära dig mer, se även:
- Andra gradens ekvation
- Första examensekvationen
- Kvadratisk funktion
- Kvadratisk funktion - Övningar
- Linjär funktion
- Relaterade funktionsövningar
