Ursprunget till i kvadrat lika med -1

I studien av komplexa tal stöter vi på följande jämlikhet: i² = – 1.
Motiveringen för denna jämlikhet är vanligtvis förknippad med att lösa andra grads ekvationer med negativa kvadratrötter, vilket är ett fel. Ursprunget till uttrycket i² = - 1 visas i definitionen av komplexa tal, en annan fråga som också väcker mycket tvivel. Låt oss förstå orsaken till sådan jämlikhet och hur den uppstår.
Låt oss först göra några definitioner.
1. Ett ordnat par av reella tal (x, y) kallas ett komplext tal.
2. Komplexa nummer (x₁y₁) och (x₂y₂) är lika om och endast om x₁ = x₂ och y₁ = y₂.
3. Addition och multiplicering av komplexa nummer definieras av:
(x₁y₁) + (x₂y₂) = (x₁ + x₂y₁ + y₂)
(x₁y₁) * (x₂y₂) = (x₁* x₂ - y₁* y₂, x₁* y₂ + y₁* x₂)
Exempel 1. Tänk på z₁ = (3, 4) och z₂ = (2, 5), beräkna z₁ + z₂ och z₁* z₂.
Lösning:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Med den tredje definitionen är det lätt att visa att:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)

(x₁, 0) * (x₂, 0) = (x₁* x₂, 0)
Dessa likheter visar att med avseende på additions- och multiplikationsoperationer beter sig komplexa tal (x, y) som reella tal. I detta sammanhang kan vi fastställa följande förhållande: (x, 0) = x.
Med hjälp av detta förhållande och symbolen i för att representera det komplexa talet (0, 1) kan vi skriva vilket komplextal som helst (x, y) enligt följande:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → vilket är det vanliga anropet för ett komplext nummer.
Således blir det komplexa antalet (3, 4) i normal form 3 + 4i.
Exempel 2. Skriv följande komplexa nummer i normal form.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Lägg märke till att vi kallar i det komplexa numret (0, 1). Låt oss se vad som händer när vi gör i2.
Vi vet att i = (0, 1) och att jag² = i * i. Följ det:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Med hjälp av definition 3 kommer vi att ha:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Som vi såg tidigare är alla komplexa nummer i formen (x, 0) = x. Således,
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Vi anlände till den berömda jämställdheten i² = – 1.

Av Marcelo Rigonatto
Specialist i statistik och matematisk modellering
Brasilien skollag

Komplexa tal - Matematik - Brasilien skola

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm