Интерни производ између два вектора

О. тачкасти производ између два вектора је стваран број који повезује величину ових вектора, односно њихову дужину и угао између њих. Да би се то израчунало, неопходно је знати њихове дужине и угао који чине.

Користећи раван као основу, вектор указује на локацију, интензитет, правац и правац. Због тога се користи у студијама механике (физике) као представник силе примењене на објекат.

Уобичајени приказ вектора је стрелица која се завршава у тачки. За координате ове тачке каже се да су координате вектора почев од тачке О (0,0). Запишемо в = (а, б) да га представимо. Дакле, вектор в = (1,2) је нацртан на следећи начин:

Пример вектора почев од исходишта

Да бисте израчунали дужину овог вектора, узмите у обзир правоугли троугао који је он формирао и његову пројекцију на к-осу (или и-осу), као што је приказано на следећој слици:

Дужина вектора в

Дужина вектора в се назива в векторска норма или векторски модул в а представља га | в |. Имајте на уму да је норма вектора в = (а, б) управо мера хипотенузе троугла представљеног на горњој слици. За израчунавање ове мере користимо Питагорину теорему:

| в |² = тхе² + б²

| в | = √ (а² + б² )

Производ са две векторске тачке

С обзиром на два вектора у и в, унутрашњи производ између њих представљен је са и дефинише се као:

= | у || в | · цосθ

Ово је врста множења између два вектора, међутим, оно се не назива производом, јер није уобичајено множење, јер укључује угао који чине ова два вектора.

Угао између два вектора

Први резултат који произилази из горње дефиниције је угао између два вектора. Са реалним бројевима „тачкасти производ“, „у векторска норма“ и „в векторска норма“, могуће је израчунати угао између вектора у и в. Да бисте то урадили, само извршите прорачуне:

Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)

= | у || в | · цосθ

= цосθ
| у || в |

Стога, делећи унутрашњи производ са нормама вектора у и в, проналазимо стварни број који се односи на косинус између ова два вектора и, према томе, на угао између њих.

Имајте на уму да ако је угао између два вектора раван, цосθ је једнак нули. Стога ће горњи производ имати следећи резултат:

= 0

Из овога се може закључити да ће, с обзиром на два вектора у и в, бити ортогонални ако = 0.

Унутрашњи производ израчунат из векторских координата

Узимајући у обзир два вектора у = (а, б) и в = (ц, д), тачкасти производ између у и в дат је са:

= = а · ц + б · д

Интерне особине производа

С обзиром на векторе у, в и в и стварни број α, имајте на уму:

и) =

То значи да је унутрашњи производ вектора „комутативан“.

ии) = +

Ово својство је упоредиво са дистрибутивношћу множења преко сабирања.

иии) = = α

Израчунавање унутрашњег производа између у и в помноженог са стварним бројем α је исто као израчунавање унутрашњег производа између αв и у или између в и αу.

ив) = 0 <=> в = 0

Унутрашњи производ в са в је само нула ако је в нулти вектор.

в) ≥ 0 за све в.

Унутрашњи умножак в са в увек ће бити већи или једнак нули.

Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику