Полиедри (из лат поли - многи - и хедрон - лице) су фигуретродимензионални настала удруживањем правилних полигона, у којима су полиедарски углови сви подударни. Унија ових полигона чини елементе који чине полиедар, а то су: темена, ивице и лица. Међутим, није свака тродимензионална фигура полиедар, пример за то су фигуре које се називају закривљеним лицима округла тела.
Постоји математичка формула која повезује елементе полиедра тзв Ојлерова веза. Поред тога, полиедри су подељени у две групе: такозвани полиедри конвексан и није конвексан. Неки полиедри заслужују посебну пажњу, они се зову Платонови полиедри: тетраедар, хексаедар, октаедар, додекаедар и икосаедар.
Прочитајте такође: Разлике између равних и просторних фигура
конвексни полиедри
Полиедар ће бити конвексан када га формира полигони конвексан, тако да се прихватају следећи услови:
- два полигона Никад они су копланарни, односно не припадају истој равни.
- Свака страница једног од ових полигона припада само два полигона.
- Раван која садржи било који од ових полигона оставља остале полигоне у истом полупростору.
Прочитајте такође:Збир унутрашњих и спољашњих углова конвексног многоугла
Елементи конвексног полиедра
Размотрите овај конвексни полиедар:
ти четвороугла на слици су позвани лица полиедра.
ти петоугаоника су лица и основа полиедра, која је названа петоугаони основни полиедар.
Позвани су сегменти који чине свако од лица ивице полиедра.
Позване су тачке на којима се ивице сусрећу темена.
Позваће се сегмент ЈЦ дијагонално полиедра, означено са:
ЈЦ је једна од дијагонала, колико разумемо дијагонално полиедра као бића сегмент линије који спаја два темена која не припадају истом лицу.
Такође имамо полиедарски угао, формиран између ивица, означен са:
Полиедарски угао назива се а трокутасти Када три ивице потичу из темена. Исто тако, зове се тетраедар, случај четири ивице потичу из темена итд.
Од сада ћемо успоставити неке ознаке, а то су:
Знате више: Планирање геометријских чврстих тела
Особине конвексног полиедра
Својство 1
Збир ивица свих лица једнак је двоструком броју ивица полиедра.
Пример
Полиедар има 6 квадратних лица. Одредимо број ивица.
Према својству, само помножите број ивица лица са бројем лица, а то је једнако двоструком броју ивица. Тако:
Својина 2
Збир темена свих лица једнак је збиру ивица свих лица, што је једнако двоструком броју ивица.
Пример
Полиедар са 5 тетраедарских углова и 4 хексаедрична угла. Одредимо број ивица.
Аналогно претходном примеру, друго својство каже да је збир ивица свих лица једнак двоструком броју ивица. Број ивица дат је умношком 5 са 4 и 4 са 6, јер су то 5 тетраедарских и 4 хексаедарска угла. Тако:
Конкавни (неконвексни) полиедри
Полиедар је неконвексан или конкаван када узмемо две тачке на различитим лицима и праволинију р који садржи ове тачке није све садржано у полиедру.
Имајте на уму да права линија (у плавој боји) није потпуна у полиедру, па је полиедар (у ружичастој) конкаван или неконвексан.
правилни полиедри
Кажемо да је полиедар правилан када ваша лица су правилни полигони међусобно једнаке и са полиедарским угловима свеједно.
Погледајте неке примере:
Приметите да су вам сва лица правилни полигони. Његова лица су формирана квадратима, а ивице су све подударне, односно имају исту меру.
читатитакође: Шта су правилни и конвексни полигони?
Ојлерова веза
Такође познат као Ојлерова теорема, резултат је доказао Леонхард Еулер (1707 - 1783) и гарантује да је у сав затворени конвексни полиедар важи следећи однос:
Платонови полиедри
Било који полиедар који задовољава следеће услове назива се Платонов полиедар:
Важи Еулерова релација
Сва лица имају једнак број ивица
Сви полиедарски углови имају једнак број ивица
Доказано је да постоји само пет правилних и конвексних полиедара, или Платонових полиедра, то су:
правилни тетраедар
тетраедар има 4 троугласта лица подударни и 4 тространа угла подударни.
правилни хексаедар
хексаедар има 6 квадратних лица подударни и 8 трокутастих углова подударни.
правилни октаедар
октаедар има 8 троугластих лица подударни и 6 тетраедарских углова подударни.
правилни додекаедар
додекаедар има 12 петерокутних лица подударни и 20 угловатрокутасти подударни.
правилни икосаедар
Икосаедар има 20 троугластих лица подударни и 12 петоугаоних углова подударни.
решене вежбе
1) (Енем) Изрезан је драгуљ у облику конвексног полиедра са 32 лица, од којих је 20 хексаедра, а остали су петоугаоне. Овај драгуљ биће поклон дами која слави рођендан, напунивши доба чији је број број темена овог полиедра. Ова дама завршава:
а) 90 година
б) 72 године
в) 60 година
г) 56 година
д) 52 године
Решење:
Даје својина 1 конвексних полиедра знамо да:
Сад како знамо број ивица то је број лица, можемо се послужити Еулеровом релацијом.
Како је старост коју навршаваш једнака броју врхова, онда је ово 60 година. Алтернатива ц.
2) (ПУЦ-СП) Колико ивица има конвексни полиедар са троугластим лицима где је број темена три петине броја лица?
а) 60
б) 30
ц) 25
д) 20
е) 15
Решење:
Из својстава конвексног полиедра и исказа вежбе имамо:
Замењујући ове вредности у Еулеровој релацији, имамо следеће:
Организовањем претходне једначине и решавањем једначине у Ф, следи да:
Замењујући вредност броја лица пронађених у једначини ивица, имаћемо:
Алтернатива б
написао Робсон Луиз
Наставник математике
