разумевање сетови је главна основа за проучавање алгебра и концепти од великог значаја у математици, као што су функције и неједнакости. Ознака коју користимо за скупове увек је велико слово наше абецеде (нпр. Скуп А или скуп Б).
У погледу представљање скупова, то може учинити до Венов дијаграм, једноставним описивањем карактеристика његових елемената, набрајањем елемената или описивањем њихових својстава. Када радите са проблемима који укључују скупове, постоје ситуације које захтевају перформансе операције између скупова, бити унија, пресек и разлика. Хоћемо ли све ово детаљно проучити?
Види и ти: Нумерички изрази - научите их решавати!
Означавање и представљање скупова
За представљање скупа увек користимо а велико слово абецеде, а елементи су увек између кључеви а одвојени су зарезом. На пример, за представљање скупа парних бројева већих од 1 и мањих од 20 користимо следећи запис: П = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Облици представљања скупова
заступање пописивањем: можемо набројати његове елементе, односно направити листу, увек између заграда. Погледајте пример:
А = {1,5,9,12,14,20}
описујући особине: можемо једноставно описати карактеристике скупа. На пример, нека је Кс скуп, имамо да је Кс = {к позитиван број вишеструки од 5}; И: је скуп месеци у години.
Венов дијаграм: скупови се такође могу представити у облику дијаграма, познатог као а Венов дијаграм, што је ефикаснија репрезентација за извођење операција.
Пример:
С обзиром на скуп А = {1,2,3,4,5}, можемо га представити на следећем Веновом дијаграму:
Елементи скупа и члански однос
За било који елемент можемо рећи да тај елемент припада до скупа или не припада том скупу. Да бисмо брже представили овај однос чланства, користимо симболе
(читати као припадајући) и ∈ (читати као не припадајући). На пример, нека је П скуп од бројеви пара, можемо рећи да 7 ∈ П и да 12 П.
Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)
Једнакост скупова
Поређење између скупова је неизбежно, па можемо рећи да су два скупа једнака или не, проверавајући сваки његов елемент. Нека су А = {0,1,3,4,8} и Б = {8,4,3,1,0}, чак и ако су елементи у другом редоследу, можемо рећи да су скупови А и Б једнаки: А = Б.
Однос инклузије
Упоређујући два скупа, можемо наићи на неколико односа, а један од њих је однос инклузије. За ову везу морамо знати неке симболе:
⊃ → садржи ⊂→ је садржан
⊅ → не садржи ⊂→није садржан
Савет: Отворна страна симбола увек ће бити окренута ка већем скупу. |
Када сви елементи скупа А такође припадају скупу Б, кажемо да је А ⊂ Б или да је А садржано у Б. На пример, А = {1,2,3} и Б = {1,2,3,4,5,6}. Такође је могуће извршити представљање до Венов дијаграм, то би изгледало овако:
А садржи Б:
А ⊂ Б.
Подскупови
Када однос инклузије, односно скуп А је садржан у скупу Б, можемо рећи да је А подскуп Б. Подскуп остаје скуп, а сет може имати више подскупова, изграђена од елемената који јој припадају.
На пример: А: {1,2,3,4,5,6,7,8} има као подскупове скупове Б: {1,2,3}; Ц: {1,3,5,7}; Д: {1}, па чак и скуп А {1,2,3,4,5,6,7,8}, односно А је његов подскуп.
унитарни сет
Као што већ име говори, управо је то тај склоп има само један елемент, попут раније приказаног скупа Д: {1}. С обзиром на скуп Б: {1,2,3}, имамо подскупове {1}, {2} и {3}, који су сви скупови јединица.
ПАЖЊА: Скуп Е: {0} је такође јединствени скуп, јер има један елемент, „0“, и није празан скуп.
Прочитајте такође: Скуп целих бројева - елементи и карактеристике
празан сет
Уз још сугестивније име, празан скуп нема елементе и подгрупа је било којег скупа. За представљање празног скупа постоје две могуће представе, то су В: {} или симбол Ø.
Комплети делова
Као скупове делова знамо све могуће подскупове датог скупа. Нека А: {1,2,3,4}, можемо навести све подскупове овог скупа А почев од скупова који немају елементе (празне), а затим оне који имају један, два, три и четири елемента, редом.
празан сет: { };
Сетови јединица: {1}; {2};{3}; {4}.
Комплети са два елемента: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
скупови са три елемента: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Комплет са четири елемента: {1,2,3,4}.
Стога скуп делова А можемо описати на овај начин:
П: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Да бисмо сазнали на колико делова је могуће поделити скуп, користимо формулу:
н [П (А)] = 2не
Број делова А израчунава се помоћу а потенција база 2 подигнута на не, на шта не је број елемената у скупу.
Размотримо скуп А: {1,2,3,4}, који има четири елемента. Укупан број могућих подскупова овог скупа је 24 =16.
Прочитајте такође: Шта је скуп ирационалних бројева?
Коначни и бесконачни скуп
Када радимо са скуповима, проналазимо скупове који јесу ограничен (коначан) и они који јесу неограничено (бесконачно). Скуп од парни или непарни бројевина пример, бесконачно је и, да бисмо га представили, описујемо неке од његових елемената у низу, тако да је могуће предвидети који ће бити следећи елементи, а ми стављамо елипсе у Коначни.
И: {1,3,5,7,9,11 ...}
П: {2,4,6,8,10, ...}
Међутим, у коначном скупу не стављамо елипсе на крај, јер има дефинисани почетак и крај.
О: {1,2,3,4}.
универзум постављен
О. универзум постављен, означено са У, дефинише се као скуп који чине сви елементи који се морају узети у обзир у оквиру проблема. Сваки елемент припада скупу универзума и сваки скуп је садржан у скупу свемира.
Операције са скуповима
Операције са скуповима су: унија, пресек и разлика.
Пресек скупова
До пресека долази када елементи истовремено припадају једном или више скупова. Када пишемо А∩Б, тражимо елементе који припадају и скупу А и скупу Б.
Пример:
Узмимо у обзир А = {1,2,3,4,5,6} и Б = {2,4,6,7,8}, елементи који припадају и скупу А и скупу Б су: А∩Б = {2, 4,6}. Приказ ове операције врши се на следећи начин:
А∩Б
Када скупови немају заједничке елементе, познати су као дисјонтни скупови.
А∩Б = Ø
разлика између скупова
израчунати разлика између два скупа је тражење елемената који припадају само једном од два скупа. На пример, А - Б као одговор има скуп састављен од елемената који припадају скупу А, а не припадају скупу Б.
Пример: А: {1,2,3,4,5,6} и Б: {2,4,6,7,8}. Имајте на уму да је А ∩ Б = {2,4,6}, па имамо следеће:
а) А - Б = {1,3,5}
б) Б - А = {7,8}
Јединство
Унија два или више скупова је придруживање вашим условима. Ако постоје елементи који се понављају у оба скупа, они се записују само једном. На пример: А = {1,2,3,4,5} и Б = {4,5,6,7,10,14}. За представљање уније користимо симбол (гласи: Удружење са Б).
А У Б = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Да бисте сазнали више о овим операцијама и погледали неколико решених вежби, прочитајте: Операције са скуповима.
Морганови закони
Нека су А и Б два скупа, а У скуп универзума, постоје два својства која дају Морганови закони, и то:
(А У Б)ц = Ац ∩Бц
(А ∩ Б)ц = Ац У Бц
Пример:
С обзиром на скупове:
У: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
О: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
Б: {5.10,15,20}
Проверимо да ли (А У Б)ц = Ац ∩Бц. Дакле, морамо:
А У Б = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Према томе, (А У Б)ц={1,3,7,9,11,13,17,19}
Да бисмо проверили истинитост једнакости, анализирајмо операцију Ац ∩Бц:
ТХЕц:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Б.ц:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Онда, ТХЕц ∩Бц ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(А У Б)ц = Ац ∩Бц
решене вежбе
01) Размотрите У: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, А: {1,2,3,4,5,6} и Б: {4,5,6, 7,8,9}. Покажи то (А ∩ Б)ц = Ац У Бц.
Резолуција:
1. корак: пронађи (А ∩ Б)ц. За то имамо А ∩ Б = {4,5,6}, дакле (А ∩ Б)ц ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. корак: наћи А.ц У Бц. ТХЕц: {7,8,9,10} и Б.ц: {1,2,3,10}, па А.ц У Бц = {1,2,3,7,8,9,19}.
Показује се да (А ∩ Б)ц = Ац У Бц.
02) Знајући да је А скуп парних бројева од 1 до 20, колики је укупан број подскупова које можемо саградити од елемената тог скупа?
Резолуција:
Нека је П описани скуп, имамо тај П: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Према томе, број елемената П је 10.
Према теорији делова, број могућих подскупова П је:
210=1024
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
(ПУЦ-Рио-2009) У школи са 100 ученика, 80 попут чоколадног сладоледа, 70 попут сладоледа са кремом и 60 попут оба укуса. Колико ученика не воли ниједан укус?
(ЈКП) У истраживању тржишта утврђено је да 15 људи користи бар један од производа А или Б. Знајући да 10 од тих људи не користи производ Б, а 2 од њих не користе производ А, колико људи користи производе А и Б?
