Полиномски факторинг: типови, примери и вежбе

Факторирање је процес који се користи у математици и састоји се од представљања броја или израза као производа фактора.

Писањем полинома попут множења других полинома, често можемо поједноставити израз.

У наставку погледајте врсте полиномских фактора:

Заједнички фактор у доказивању

Ову врсту факторизације користимо када постоји фактор који се понавља у свим терминима полинома.

Овај фактор, који може садржати бројеве и слова, биће стављен испред заграда.

Унутар заграда биће резултат дељења сваког члана полинома заједничким фактором.

У пракси, направимо следеће кораке:

1º) Утврдите постоји ли број који дели све коефицијенте полинома и слова која се понављају у свим појмовима.
2º) Ставите уобичајене факторе (број и слова) испред заграда (као доказ).
3.) Ставите у заграде резултат дељења сваког фактора полинома са фактором који је у евиденцији. У случају писама користимо правило поделе власти исте базе.

Примери

а) Који је факторски облик полинома 12к + 6и - 9з?

Прво, идентификујемо тај број 3 дели све коефицијенте и да не постоји слово које се понавља.

Број 3 стављамо испред заграда, све појмове делимо са три и резултат који ћемо ставити у заграде:

12к + 6и - 9з = 3 (4к + 2и - 3з)

б) Фактор 2а²б + 3а³ц - а⁴.

Како не постоји број који истовремено дели 2, 3 и 1, нећемо ставити ниједан број испред заграда.

Писмо Тхе понавља се у свим терминима. Заједнички фактор ће бити Тхе², што је најмањи експонент Тхе у изразу.

Сваки члан полинома делимо са Тхе²:

2нд² б:² = 2нд^{2 - 2} б = 2б

3.³ц: тхе² = 3.^{3 - 2} ц = 3ац

Тхе⁴: а² = тхе²

Ставили смо Тхе² испред заграда и резултати подела у заградама:

2нд²б + 3а³ц - а⁴ = тхе² (2б + 3ац - а²)

груписање

У полиному који не постоји фактор који се понавља у свим терминима, можемо користити факторизацију груписањем.

За ово морамо идентификовати појмове који се могу груписати по заједничким факторима.

У овој врсти факторизације показали смо заједничке факторе групирања.

Пример

Размножавамо полином мк + 3нк + ми + 3ни

Услови мк и 3нк има као заједнички фактор тхе Икс. већ услови мој и 3ни имају као заједнички фактор тхе г..

Доказивање ових фактора:

к (м + 3н) + и (м + 3н)

Имајте на уму да се (м + 3н) сада такође понавља у оба термина.

Постављајући то поново у доказ, проналазимо факторски облик полинома:

мк + 3нк + ми + 3ни = (м + 3н) (к + и)

Савршени квадратни трином

Триноми су полиноми са 3 члана.

Савршени квадратни триноми а² + 2аб + б² и² - 2аб + б² резултат изванредног производа ове врсте (а + б)² и (а - б)².

Дакле, факторизација савршеног квадратног тринома биће:

Тхе² + 2аб + б² = (а + б)² (квадрат збира два члана)

Тхе² - 2аб + б² = (а - б)² (квадрат разлике два члана)

Да бисмо сазнали да ли је трином заиста савршен квадрат, радимо следеће:

1º) Израчунајте квадратни корен чланова који се појављују на квадрат.
2) Помножите пронађене вредности са 2.
3.) Упоредите пронађену вредност са појмом који нема квадрате. Ако су једнаки, то је савршен квадрат.

Примери

а) На фактор полинома к² + 6к + 9

Прво морамо да тестирамо да ли је полином савршен квадрат.

Кс² = к и √9 = 3

Помноживши са 2, налазимо: 2. 3. к = 6к

С обзиром да је пронађена вредност једнака члану који није на квадрат, полином је савршено на квадрат.

Дакле, факторизација ће бити:

Икс² + 6к + 9 = (к + 3)²

б) На фактор полинома к² - 8ки + 9и²

Тестирање да ли је савршени квадратни трином:

Кс² = к и √9и² = 3и

Множење: 2. Икс. 3и = 6ки

Пронађена вредност не одговара термину полинома (8ки = 6ки).

Будући да није савршени квадратни трином, не можемо користити ову врсту факторизације.

Разлика два квадрата

Да факторишемо полиноме типа а² - Б.² користимо изузетан производ збира и разлике.

Дакле, факторизација полинома овог типа биће:

Тхе² - Б.² = (а + б). (а - б)

Да бисмо рачунали у фактор, морамо израчунати квадратни корен два члана.

Затим напиши умножак збира пронађених вредности и разлике између ових вредности.

Пример

Фактор 9к бином² - 25.

Прво пронађите квадратни корен израза:

√9к² = 3к и √25 = 5

Напиши ове вредности као умножак збира и разлике:

9к² - 25 = (3к + 5). (3к - 5)

савршена коцка

полиноми а³ + 3.²б + 3аб² + б³ и³ - 3.²б + 3аб² - Б.³ резултат изванредног производа ове врсте (а + б)³ или (а - б)³.

Дакле, факторски облик савршене коцке је:

Тхе³ + 3.²б + 3аб² + б³ = (а + б)³

Тхе³ - 3.²б + 3аб² - Б.³ = (а - б)³

Да бисмо факторизирали такве полиноме, морамо израчунати кубни корен члана у коцки.

После тога је потребно потврдити да је полином савршена коцка.

Ако је то случај, коцкамо збир или одузимање вредности пронађених кубних корена.

Примери

а) На фактор полинома к³ + 6к² + 12к + 8

Прво израчунајмо кубни корен израза коцка:

³√ к³ = к и ³√ 8 = 2

Затим потврдите да ли је то савршена коцка:

3. Икс². 2 = 6к²

3. Икс. 2² = 12к

Будући да су пронађени појмови исти као појмови у полиному, онда је то савршена коцка.

Дакле, факторизација ће бити:

Икс³ + 6к² + 12к + 8 = (к + 2)³

б) На фактор полинома а³ - 9-ти² + 27. - 27.

Прво израчунајмо кубни корен израза коцка:

³до³ = а и ³√ - 27 = - 3

Затим потврдите да ли је то савршена коцка:

3. Тхе². (-3) = - 9²

3. Тхе. (- 3)² = 27

Будући да су пронађени појмови исти као појмови у полиному, онда је то савршена коцка.

Дакле, факторизација ће бити:

Тхе³ - 9-ти² + 27а - 27 = (а - 3)³

Прочитајте и ви:

• Потенцијација
• Полиноми
• Полиномска функција
• прости бројеви

Решене вежбе

У обзир узмите следеће полиноме:

а) 33к + 22г - 55з
б) 6нк - 6ни
в) 4к - 8ц + мк - 2мц
д) 49 -²
д) 9.² + 12. + 4

Погледајте одговор

а) 11. (3к + 2г - 5з)
б) 6н. (к - и)
ц) (к - 2ц). (4 + м)
г) (7 + а). (7 - а)
е) (3. + 2)²

Погледајте такође:

• Алгебарски изрази
• Вежбе из алгебарских израза
• Значајни производи
• Значајни производи - вежбе