Реши системималинеарно то је врло понављајући задатак за студије из области природних наука и математике. Потрага за непознатим вредностима довела је до развоја метода за решавање линеарних система, попут методе сабирања, једнакости и супституције за системе који имају две једначине и две непознате, и Цраммерово правило и скалирање, који решавају линеарне системе две једначине, али који су погоднији за системе са више једначина. Линеарни систем је скуп две или више једначина са једном или више непознаница.
Прочитајте такође:Какав је однос између матрица и линеарних система?
линеарна једначина
Рад са једначинама постоји због треба пронаћи непознате непознате вредности. Једнаџбом га називамо када имамо алгебарски израз са једнакошћу, а класификује се као линеарни када је највећи експонент његових непознаница 1, као што је приказано у следећим примерима:
2к + и = 7 → линеарна једначина са две непознате
а + 4 = -3 → линеарна једначина са једном непознатом
Уопштено говорећи, линеарна једначина се може описати:
Тхе1Икс1 + тхе2Икс2 + а3к3... + анеИксне = ц
Као систем једначина знамо када постоји више линеарних једначина. Започећемо са линеарним системима две непознате.
Решавање линеарних система
Линеарни системи са две једначине 1. степена и две непознате
Да би се решио систем од две једначине и две непознанице, постоји неколико методе, три најпознатија су:
- метода упоређивања
- метода сабирања
- метода замене
Било која од ове три може решити линеарни систем две једначине и две непознате. Ове методе нису толико ефикасни за системе са више једначина, јер постоје и друге специфичне методе за њихово решавање.
Метода замене
Метода замене састоји се од изоловати једну од непознатих у једној од једначина и извршити замену у другој једначини.
Пример:
1. корак: изоловати једну од непознатих.
И називамо првом једначином, а ИИ другом једначином. Анализирајући то двоје, хајде изаберите непознато које је најлакше изоловати. Имајте на уму да је у једначина И → к + 2и = 5, к нема коефицијент, што олакшава изолацију, па ћемо преписати једначину која ми се свиђа овако:
И → к + 2и = 5
И → к = 5 - 2г
2. корак: заменити И у ИИ.
Сада када имамо једначину И само са к, у једначини ИИ можемо к заменити са 5 - 2и.
ИИ → 3к - 5и = 4
Замена к за 5 - 2г:
3 (5 - 2 г) - 5 г = 4
Сада када једначина има само једну непознату, могуће је решити је да би се пронашла вредност и.
Знајући вредност и, наћи ћемо вредност к заменом вредности и у једначини И.
И → к = 5 - 2г
к = 5 - 2 · 1
к = 5 - 2
к = 3
Дакле, решење система је С = {3,1}.
Метода упоређивања
Метода упоређивања састоји се од изоловати непознато у две једначине и изједначити ове вредности.
Пример:
1. корак: нека будем прва једначина, а ИИ друга, изолујмо једну од непознаница у И и ИИ. Одлучујући се да изолујемо непознати к, морамо:
2. корак: изједначите две нове једначине, будући да је к = к.
3. корак: замените вредност и са -2 у једној од једначина.
к = -4 - 3г
к = -4 - 3 (-2)
к = -4 + 6
к = 2
Дакле, решење овог система је скуп С = {2, -2}.
Погледајте такође: Које су разлике између функције и једначине?
метода сабирања
Метода сабирања састоји се у извођењу множења свих чланова једне од једначина, на такав начин да, када додајте једначину И у једначину ИИ, једна од њених непознаница једнака је нули.
Пример:
1. корак: помножи једну од једначина тако да су коефицијенти супротни.
Имајте на уму да ако помножимо једначину ИИ са 2, имамо 4и у једначини ИИ и -4и у једначини И, и то са додамо И + ИИ, имамо 0и, па помножимо све чланове у једначини ИИ са 2 тако да ово десити се.
И → 5к - 4и = -5
2 · ИИ → 2к + 4и = 26
2. корак: извршити збир И + 2 · ИИ.
3. корак: замените вредност к = 3 у једну од једначина.
Линеарни системи са три једначине 1. степена и три непознате
Када систем има три непознате, усвајамо друге методе решавања. Све ове методе односе коефицијенте на матрице, а најчешће коришћене методе су Цраммерово правило или скалирање. За резолуцију у обе методе неопходно је да се матрични приказ система, укључујући систем 2к2, може представити помоћу матрице. Постоје две могуће представе, комплетна матрица и непотпуна матрица:
Пример:
Систем
Може се представити са пуна матрица
А за непотпуна матрица
Крамерово правило
Да бисте пронашли решења за систем 3к3, са непознатим к, и и з, користећи Крамерово правило, потребно је израчунати одредницу непотпуне матрице и њене варијације. Дакле, морамо:
Д → одредница непотпуне матрице система.
Д.Икс → одредница непотпуне матрице система, замењујући колону к х колоном независних чланова.
Д.г. → одредница непотпуне матрице система, замењујући колону и колоном независних чланова.
Д.з → одредница непотпуне матрице система, замењујући колону з з колоном независних чланова.
Дакле, да бисмо пронашли вредност ваших непознаница, прво морамо израчунати одредница Д, Д.Икс, Д.г. повезан са системом.
Пример:
1. корак: израчунати Д.
2. корак: израчунати Д.Икс.
3. корак: тада можемо наћи вредност к, јер:
4. корак: израчунати Д.г.
5. корак: онда можемо израчунати вредност и:
6. корак: сада када знамо вредност к и и, у било којој линији можемо пронаћи вредност з заменом вредности к и и и изоловањем з. Друга опција је израчунавање Д.з.
Заменом к = 0 и и = 2 у првој једначини:
2к + и - з = 3
2 · 0 + 2 - з = 3
0 + 2 - з = 3
-з = 3 - 2
-з = -1 (-1)
з = -1
Према томе, системско решење је тендер (0,2, -1).
Такође приступите: Решавање проблема системима једначина
скалирање
Друга метода решавања линеарних система је скалирање, у којој користимо само комплетну матрицу и операције између линија како бисмо изоловали њихове непознанице. Скалирајмо систем испод.
1. корак: напиши комплетну матрицу која представља систем.
бити Л.1, Л.2 и ја3 односно линије 1, 2 и 3 матрице, извршаваћемо операције између Л1 и ја2 и ја1 и ја3, тако да резултат чини појмове у првој колони другог и трећег реда једнаким нули.
Анализирајући другу линију матрице, заменимо је резултатом Л2 → -2 · Л1 + Л2, да бисмо поништили појам а21.
Тхе21 = -2 · 1 + 2 = 0
Тхе22 = -2 · 2 + 1 = -3
Тхе23 = -2 · (-3) + 1 = 7
Тхе24 =-2 · 10 + 3 = -17
Дакле, Л.2 биће 0 -3 7 -17.
Анализирајући трећи ред матрице, заменимо је резултатом Л3 → 3Л1 + Л2, како би се термин ресетовао на31.
Тхе31 = 3 · 1 – 3 = 0
Тхе32 = 3 · 2 + 2 = 8
Тхе33 = 3 · (-3) +1 = -8
Тхе34 = 3 · 10 – 6 = 24
Дакле, Л.3 биће 0 8 -8 24.
Имајте на уму да су сви дељиви са 8, тако да је Л линија3 нека буде једноставно, поделимо са 8.
Л3 → Л.3 : 8 биће: 0 1-1 3.
Дакле, нова матрица скалиране једначине биће:
Сада је циљ ресетовање колоне и у трећем реду, извршаваћемо операције између Л.2 и ја3, са циљем ресетовања друге колоне једног од њих.
Л3 ћемо заменити са Л3 → Л.2 + 3Л3.
Тхе31 = 0 + 3 · 0 = 0
Тхе32 = -3 + 3 · 1 = 0
Тхе33 = 7 + 3 · (-1) = 4
Тхе34 = -17 + 3 · 3 = -8
Дакле Л.3 биће: 0 0 4 -8.
Нова скалирана матрица биће:
Сада, када поново представимо ову матрицу као систем, додајући к, и и з у колоне, наћи ћемо следеће:
Тада можемо пронаћи вредност сваке од непознатих. Анализирајући једначину ИИИ, морамо:
Ако је з = -2, заменимо вредност з у другу једначину:
Коначно, у првој једначини, заменимо вредност и и з да бисмо пронашли вредност к.
Погледајте такође: Систем неједнакости 1. степена - како га решити?
класификација линеарног система
Линеарни систем је скуп линеарних једначина, који може имати неколико непознаница и неколико једначина. Постоји неколико метода за његово решавање, без обзира на број једначина. постоје три оцене за линеарни систем.
- Утврђени могући систем (СПД): када имате једно решење.
- Неодређени могући систем (СПИ): када има бесконачна решења.
- немогућ систем(СИ): кад нема решења.
Вежбе решене
Питање 1 (ИФГ 2019) Размотримо збир мерења основе и висине у односу на ту основу троугла једнаку 168 цм и разлику једнаку 24 цм. Исправно је тврдити да су мере основе и висине у односу на ову меру основе:
а) 72 цм и 96 цм
б) 144 цм и 24 цм
в) 96 цм и 72 цм
г) 24 цм и 144 цм
Резолуција
Алтернатива Ц.
Нека су х → висина и б → основа, тада имамо следећи систем:
Методом сабирања морамо:
Да бисмо пронашли вредност х, заменимо б = 96 цм у прву једначину:
б + х = 168
96 + х = 168
х = 168 - 96
в = 72 цм
питање 2 Непотпуна матрица која представља следећи линеарни систем је:
Резолуција
Алтернатива Ц.
Непотпуна матрица је она која има коефицијенте к, и и з, па ће то бити матрица 3к3. Анализирајући алтернативе, оно које садржи матрицу 3к3 са тачним знаковима је слово Ц.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
