Линеарни системи: шта су, како се решавају, типови

Реши системималинеарно то је врло понављајући задатак за студије из области природних наука и математике. Потрага за непознатим вредностима довела је до развоја метода за решавање линеарних система, попут методе сабирања, једнакости и супституције за системе који имају две једначине и две непознате, и Цраммерово правило и скалирање, који решавају линеарне системе две једначине, али који су погоднији за системе са више једначина. Линеарни систем је скуп две или више једначина са једном или више непознаница.

Прочитајте такође:Какав је однос између матрица и линеарних система?

Линеарни системи.
Линеарни системи.

линеарна једначина

Рад са једначинама постоји због треба пронаћи непознате непознате вредности. Једнаџбом га називамо када имамо алгебарски израз са једнакошћу, а класификује се као линеарни када је највећи експонент његових непознаница 1, као што је приказано у следећим примерима:

2к + и = 7 → линеарна једначина са две непознате

а + 4 = -3 → линеарна једначина са једном непознатом

Уопштено говорећи, линеарна једначина се може описати:

Тхе1Икс1 + тхе2Икс2 + а3к3... + анеИксне = ц

Као систем једначина знамо када постоји више линеарних једначина. Започећемо са линеарним системима две непознате.

Решавање линеарних система

  • Линеарни системи са две једначине 1. степена и две непознате

Да би се решио систем од две једначине и две непознанице, постоји неколико методе, три најпознатија су:

  • метода упоређивања
  • метода сабирања
  • метода замене

Било која од ове три може решити линеарни систем две једначине и две непознате. Ове методе нису толико ефикасни за системе са више једначина, јер постоје и друге специфичне методе за њихово решавање.

  • Метода замене

Метода замене састоји се од изоловати једну од непознатих у једној од једначина и извршити замену у другој једначини.

Пример:

1. корак: изоловати једну од непознатих.

И називамо првом једначином, а ИИ другом једначином. Анализирајући то двоје, хајде изаберите непознато које је најлакше изоловати. Имајте на уму да је у једначина И → к + 2и = 5, к нема коефицијент, што олакшава изолацију, па ћемо преписати једначину која ми се свиђа овако:

И → к + 2и = 5

И → к = 5 - 2г

2. корак: заменити И у ИИ.

Сада када имамо једначину И само са к, у једначини ИИ можемо к заменити са 5 - 2и.

ИИ → 3к - 5и = 4

Замена к за 5 - 2г:

3 (5 - 2 г) - 5 г = 4

Сада када једначина има само једну непознату, могуће је решити је да би се пронашла вредност и.

Знајући вредност и, наћи ћемо вредност к заменом вредности и у једначини И.

И → к = 5 - 2г

к = 5 - 2 · 1

к = 5 - 2

к = 3

Дакле, решење система је С = {3,1}.

  • Метода упоређивања

Метода упоређивања састоји се од изоловати непознато у две једначине и изједначити ове вредности.

Пример:

1. корак: нека будем прва једначина, а ИИ друга, изолујмо једну од непознаница у И и ИИ. Одлучујући се да изолујемо непознати к, морамо:

2. корак: изједначите две нове једначине, будући да је к = к.

3. корак: замените вредност и са -2 у једној од једначина.

к = -4 - 3г

к = -4 - 3 (-2)

к = -4 + 6

к = 2

Дакле, решење овог система је скуп С = {2, -2}.

Погледајте такође: Које су разлике између функције и једначине?

  • метода сабирања

Метода сабирања састоји се у извођењу множења свих чланова једне од једначина, на такав начин да, када додајте једначину И у једначину ИИ, једна од њених непознаница једнака је нули.

Пример:

1. корак: помножи једну од једначина тако да су коефицијенти супротни.

Имајте на уму да ако помножимо једначину ИИ са 2, имамо 4и у једначини ИИ и -4и у једначини И, и то са додамо И + ИИ, имамо 0и, па помножимо све чланове у једначини ИИ са 2 тако да ово десити се.

И → 5к - 4и = -5

2 · ИИ → 2к + 4и = 26

2. корак: извршити збир И + 2 · ИИ.

3. корак: замените вредност к = 3 у једну од једначина.

  • Линеарни системи са три једначине 1. степена и три непознате

Када систем има три непознате, усвајамо друге методе решавања. Све ове методе односе коефицијенте на матрице, а најчешће коришћене методе су Цраммерово правило или скалирање. За резолуцију у обе методе неопходно је да се матрични приказ система, укључујући систем 2к2, може представити помоћу матрице. Постоје две могуће представе, комплетна матрица и непотпуна матрица:

Пример:

Систем 

Може се представити са пуна матрица

А за непотпуна матрица

  • Крамерово правило

Да бисте пронашли решења за систем 3к3, са непознатим к, и и з, користећи Крамерово правило, потребно је израчунати одредницу непотпуне матрице и њене варијације. Дакле, морамо:

Д → одредница непотпуне матрице система.

Д.Икс → одредница непотпуне матрице система, замењујући колону к х колоном независних чланова.

Д.г. → одредница непотпуне матрице система, замењујући колону и колоном независних чланова.

Д.з → одредница непотпуне матрице система, замењујући колону з з колоном независних чланова.

Дакле, да бисмо пронашли вредност ваших непознаница, прво морамо израчунати одредница Д, Д.Икс, Д.г. повезан са системом.

Пример:

1. корак: израчунати Д.

2. корак: израчунати Д.Икс.

3. корак: тада можемо наћи вредност к, јер:

4. корак: израчунати Д.г.

5. корак: онда можемо израчунати вредност и:

6. корак: сада када знамо вредност к и и, у било којој линији можемо пронаћи вредност з заменом вредности к и и и изоловањем з. Друга опција је израчунавање Д.з.

Заменом к = 0 и и = 2 у првој једначини:

2к + и - з = 3

2 · 0 + 2 - з = 3

0 + 2 - з = 3

-з = 3 - 2

-з = -1 (-1)

 з = -1

Према томе, системско решење је тендер (0,2, -1).

Такође приступите: Решавање проблема системима једначина

  • скалирање

Друга метода решавања линеарних система је скалирање, у којој користимо само комплетну матрицу и операције између линија како бисмо изоловали њихове непознанице. Скалирајмо систем испод.

1. корак: напиши комплетну матрицу која представља систем.

бити Л.1, Л.2 и ја3 односно линије 1, 2 и 3 матрице, извршаваћемо операције између Л1 и ја2 и ја1 и ја3, тако да резултат чини појмове у првој колони другог и трећег реда једнаким нули.

Анализирајући другу линију матрице, заменимо је резултатом Л2 → -2 · Л1 + Л2, да бисмо поништили појам а21.

Тхе21 = -2 · 1 + 2 = 0

Тхе22 = -2 · 2 + 1 = -3

Тхе23 = -2 · (-3) + 1 = 7

Тхе24 =-2 · 10 + 3 = -17

Дакле, Л.2 биће 0 -3 7 -17.

Анализирајући трећи ред матрице, заменимо је резултатом Л3 → 3Л1 + Л2, како би се термин ресетовао на31.

Тхе31 = 3 · 1 – 3 = 0

Тхе32 = 3 · 2 + 2 = 8

Тхе33 = 3 · (-3) +1 = -8

Тхе34 = 3 · 10 – 6 = 24

Дакле, Л.3 биће 0 8 -8 24.

Имајте на уму да су сви дељиви са 8, тако да је Л линија3 нека буде једноставно, поделимо са 8.

Л3 → Л.3 : 8 биће: 0 1-1 3.

Дакле, нова матрица скалиране једначине биће:

Сада је циљ ресетовање колоне и у трећем реду, извршаваћемо операције између Л.2 и ја3, са циљем ресетовања друге колоне једног од њих.

Л3 ћемо заменити са Л3 → Л.2 + 3Л3.

Тхе31 = 0 + 3 · 0 = 0

Тхе32 = -3 + 3 · 1 = 0

Тхе33 = 7 + 3 · (-1) = 4

Тхе34 = -17 + 3 · 3 = -8

Дакле Л.3 биће: 0 0 4 -8.

Нова скалирана матрица биће:

Сада, када поново представимо ову матрицу као систем, додајући к, и и з у колоне, наћи ћемо следеће:

Тада можемо пронаћи вредност сваке од непознатих. Анализирајући једначину ИИИ, морамо:

Ако је з = -2, заменимо вредност з у другу једначину:

Коначно, у првој једначини, заменимо вредност и и з да бисмо пронашли вредност к.

Погледајте такође: Систем неједнакости 1. степена - како га решити?

класификација линеарног система

Линеарни систем је скуп линеарних једначина, који може имати неколико непознаница и неколико једначина. Постоји неколико метода за његово решавање, без обзира на број једначина. постоје три оцене за линеарни систем.

  • Утврђени могући систем (СПД): када имате једно решење.
  • Неодређени могући систем (СПИ): када има бесконачна решења.
  • немогућ систем(СИ): кад нема решења.

Вежбе решене

Питање 1 (ИФГ 2019) Размотримо збир мерења основе и висине у односу на ту основу троугла једнаку 168 цм и разлику једнаку 24 цм. Исправно је тврдити да су мере основе и висине у односу на ову меру основе:

а) 72 цм и 96 цм

б) 144 цм и 24 цм

в) 96 цм и 72 цм

г) 24 цм и 144 цм

Резолуција

Алтернатива Ц.

Нека су х → висина и б → основа, тада имамо следећи систем:

Методом сабирања морамо:

Да бисмо пронашли вредност х, заменимо б = 96 цм у прву једначину:

б + х = 168

96 + х = 168

х = 168 - 96

в = 72 цм

питање 2 Непотпуна матрица која представља следећи линеарни систем је:

Резолуција

Алтернатива Ц.

Непотпуна матрица је она која има коефицијенте к, и и з, па ће то бити матрица 3к3. Анализирајући алтернативе, оно које садржи матрицу 3к3 са тачним знаковима је слово Ц.

Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm

Највеће народне демонстрације у Бразилу

А штрајк камионџија је тема која се највише покрива у вестима од избијања 20. маја. Слике километ...

read more

Савезна влада ће променити систем евалуације основног образовања

Овогодишњи систем оцењивања основног образовања (Саеб) ће имати новости. Тестови из природних и х...

read more

Погледајте женска имена која су у тренду 2023

Ако тражите имена за девојке да обучете своју бебу, овде ћемо вам дати неколико савета који ће ва...

read more
instagram viewer