Теорема полиномске декомпозиције

Основни теорем алгебре за полиномске једначине гарантује да „полином сваког степена н≥ 1 има бар један сложени корен ". Доказ ове теореме дао је математичар Фриедрицх Гаусс 1799. Из ње можемо показати теорема декомпозиције полинома, што гарантује да се било који полином може разложити на факторе првог степена. Узми следећи полином п (к) разреда н ≥ 1 и_не ≠ 0:

п (к) = а_не Икс^не + тхе_н-1 Икс^н-1 +… +₁Икс¹ + тхе₀

Кроз основну теорему алгебре можемо констатовати да овај полином има бар један сложени корен. у₁, тако да п (у₁) = 0. О. Д'Алембертова теорема до подела полинома наводи да ако п (у₁) = 0, онда п (к) је дељиво са (к - у₁), што резултира количником Шта₁(Икс), што је степен полином (н - 1), што нас наводи да кажемо:

п (к) = (к - у₁). Шта₁(Икс)

Из ове једначине потребно је истаћи две могућности:

Ако је у = 1 и Шта₁(Икс) је полином степена (н - 1), онда Шта₁(Икс) има диплому 0. Као доминантан коефицијент од п (к) é Тхе_не, Шта₁(Икс) је константан полином типа Шта₁(Икс)=Тхе_не. Тако имамо:

п (к) = (к - у₁). Шта₁(Икс)
(к) = (к - у₁). Тхе_не
п (к) = а_не . (к - у₁)

Али ако у ≥ 2, затим полином Шта₁ има диплому н - 1 ≥ 1 и важи основни теорем алгебре. Можемо рећи да је полином Шта₁ има бар један корен не₂, што нас наводи да то кажемо Шта₁ може се записати као:

Шта₁(к) = (к - у₂). Шта₂(Икс)

Али како п (к) = (к - у₁). Шта₁(Икс), можемо га преписати као:

п (к) = (к - у₁). (к - у₂). Шта₂(Икс)

Узастопно понављајући овај процес, имаћемо:

п (к) = а_не. (к - у₁). (к - у₂)… (Кс - у_не)

Дакле, можемо закључити да је свака полином или полином једначина п (к) = 0 разреда н≥ 1 тачно поседовати не сложени корени.​

Пример: Буди п (к) полином степена 5, такав да су његови корени – 1, 2, 3, – 2 и 4. Напишите овај полином разложен на факторе 1. степена, узимајући у обзир доминантни коефицијент једнако 1. Мора бити написано у проширеном облику:

ако – 1, 2, 3, – 2 и 4 су корени полинома, па је производ разлика од Икс за сваки од ових корена резултира п (к):

п (к) = а_не. (к + 1). (к - 2). (к - 3). (к + 2). (к - 4)

Ако је доминантни коефицијент Тхе_не = 1, имамо:

п (к) = 1. (к + 1). (к - 2). (к - 3). (к + 2). (к - 4)
п (к) = (к + 1). (к - 2). (к - 3). (к + 2). (к - 4)
п (к) = (к² - к - 2). (к - 3). (к + 2). (к - 4)
п (к) = (к³ - 4к² + к + 6). (к + 2). (к - 4)
п (к) = (к⁴ - 2к3 - 7к² + 8к + 12). (Кс - 4)
п (к) = к⁵ - 6к⁴ + к³ + 36к² - 20к - 48

Ауторка Аманда Гонцалвес
Дипломирао математику

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm