Пермутације су део проблема са бројањем. Користимо пермутације да бисмо знали број редоследа елемената у скупу. Увежбајте своје знање о пермутацији и решите недоумице решеним вежбама.
Вежба 1
Два другара су се играла са шестостраним коцкицама. Познато је да су изашли бројеви 4, 1, 2 и 5, не нужно тим редоследом. Колико је низова резултата могло бити?
Одговор: 24
Неки редослед резултата може бити:
1, 2, 4 и 5 или
5, 4, 5 и 1 или
4, 5, 1 и 2
Да бисмо одредили укупан број могућих редоследа, израчунавамо пермутацију са четири различита елемента.
Вежба 2
Група од шест пријатеља отишла је да погледа филм у биоскопу и купила карте за исти ред седишта. С обзиром да постоји пар и да су седели у суседним столицама, на колико начина би ови пријатељи могли да стану у ред столица?
Одговор: 240
Како се у прорачуну узимају у обзир сви елементи скупа "пријатеља", то је проблем пермутације.
Да бисмо израчунали укупан могући број пермутација, размотрили смо 5 елемената, пошто пар увек мора бити заједно.
Штавише, од ових 120 могућности, морамо помножити са два, јер пар може да замени места једно са другим.
Дакле, број могућих начина да се пријатељи организују у низу столица је:
120. 2 = 240
Вежба 3
Одељење од 7 ученика се игра у дворишту и користи време за одмор. Након што чују сигнал који обавештава повратак у учионице, ученици се крећу у ред. На колико различитих начина ученици могу формирати редослед реда?
Одговор: 5040
Укупан број могућих начина за организовање реда је пермутација од 7 различитих елемената.
Вежба 4
Фотограф подешава камеру да фотографише 5 деце распоређених на клупи. У овој групи су 3 девојчице и 2 дечака. Могући распоред деце за фотографију би био:
С обзиром на положаје у којима деца могу да седе на клупи, на колико начина фотограф може да организује дечаке и девојчице, добијајући различите фотографије?
Одговор: 10
Ово је случај пермутације са поновљеним елементима. Укупан број пермутација морамо поделити производом између пермутација елемената који се понављају.
Вежба 5
Колико се анаграма може направити са словима у речи ПРЕФЕИТУРА?
Одговор: 907 200
Реч ГРАДСКА ВЕЋА има 10 слова, од којих се нека понављају. Слово Е се појављује два пута, као и Р.
Израчунавамо поделу између пермутације 10 елемената и делимо са производом пермутација поновљених елемената.
Вежба 6
(УЕМГ 2019) Из скупа свих пермутација слова у речи ПОНТА, једно се насумично уклања. Колика је вероватноћа да се уклони реч која почиње и завршава се самогласником?
а) 1/20
б) 1/10
ц) 1/6
г) 1/5
Корак 1: број свих пермутација са словима речи ПОНТА.
Пошто постоји пет различитих слова, имамо:
Корак 2: број пермутација које почињу и завршавају се самогласником.
За прво слово постоје две опције самогласника, за последње слово ће бити само 1.
За сугласнике има 3! могућности.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Корак 3: одредити однос вероватноће.
Вежба 7
(ЕсПЦек 2012) Вероватноћа да се добије број дељив са 2 када се насумично бира једна од пермутација цифара 1, 2, 3, 4, 5 је
а) 1/5
б) 2/5
ц) 3/4
г) 1/4
д) 1/2
Корак 1: укупне пермутације.
Пошто постоји пет различитих елемената, имамо да је број пермутација 5 елемената једнак 5 факторијела.
Корак 2: пермутације бројева дељивих са два са пет цифара.
Да би био дељив са 2 услов је да је паран. Дакле, постоје две опције за последњу цифру, 2 и 4.
За остале позиције постоје 4! могућности.
Корак 3: прорачун вероватноће.
Вежба 8
(ЕсФЦЕк 2022) Нека је П скуп пермутација низа 1, 3, 6, 9, 12 за који се први члан разликује од 1. Ако се једна од ових секвенци извуче насумично, вероватноћа да је други члан 3 једнака је п/к, са п, к ∈ ИН* и гцд (п, к) = 1. Дакле, к – п је једнако
а) 13.
б) 15.
в) 12.
г) 14.
д) 11.
Корак 1: одредити број укупно могућих случајева у простору узорка.
С десна на лево, први број не може бити један, тако да постоје 4 могућности да се заузме прва позиција.
Има 4 да заузму остале позиције! могућности.
Пермутације су:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Корак 2: одредити могућности настанка догађаја, други је три, први је различит од једног.
Пермутације су:
3.1.3.2.1 = 18
Корак 3: однос вероватноће.
Однос вероватноће је:
Са п = 18 и к = 96.
Међутим, и даље постоји услов да је највећи заједнички делилац између п и к 1, што се не дешава са 18 и 96.
Морамо поједноставити и тестирати разломке еквивалентне 18/96.
Корак 4: упрошћавање разломка вероватноће и одређивање п и к.
Како је гцд (3, 16) = 1, п = 3 и к = 16.
Корак 5: закључак.
к - п = 16 - 3 = 13
Сазнајте више о пермутација.
За више вежби погледајте:
Вежбе комбинаторне анализе
АСТХ, Рафаел. Решене и објашњене пермутационе вежбе.Алл Маттер, [н.д.]. Доступна у: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Приступ на:
Види такође
- Комбинаторна анализа
- Вежбе комбинаторне анализе
- Пермутација: једноставна и са понављањем
- Аранжман из математике: шта је то, како израчунати, примери
- 27 Вежбе из основне математике
- Комбинација у математици: како се рачуна и примери
- Вежбе вероватноће
- Вероватноћа
