збир и производ То је метода која се користи за проналажење решења а једначина. Користимо збир и производ као метод за израчунавање корена а једначина 2. степена, типа ак² + бк + ц = 0.
Ово је занимљив метод када су решења једначине цели бројеви. У случајевима када решења нису цели бројеви, може бити прилично компликовано користити збир и производ, уз друге лакше методе за проналажење решења једначине.
Прочитајте такође: Бхаскара — најпознатија формула за решавање квадратних једначина
Резиме о суми и производу
- Збир и производ је једна од метода која се користи за проналажење решења потпуне квадратне једначине.
- Према збиру и производу, датој једначини 2. степена ак² + бк + ц = 0, имамо:
\(к_1+к_2=-\фрац{б}{а}\)
\(к_1\цдот к_2=\фрац{ц}{а}\)
- Икс1 То је Икс2 су решења квадратне једначине.
- а, б и ц су коефицијенти једначине 2. степена.
Шта је збир и производ?
Збир и производ је једна од метода којом можемо да пронађемо решења једначине. Користећи се у једначинама 2. степена, збир и производ могу бити практичнији метод за проналажење решења једначина, јер се састоји од тражења бројева који задовољавају формулу збира и производа за дату једначина.
Формула збира и производа
У квадратној једначини, типа ак² + бк + ц = 0, са решењима једнаким к1 и к2, по збиру и производу, имамо:
\(к_1+к_2=-\фрац{б}{а}\)
\(к_1\цдот к_2=\фрац{ц}{а}\)
Како израчунати корене користећи збир и производ?
Да бисмо пронашли решења, прво тражимо целе бројеве чији је производ једнак \(\фрац{ц}{а}\).
Знамо да решења једначине могу бити позитивна или негативна:
- Позитиван производ и позитиван збир: оба корена су позитивна.
- Позитиван производ и негативан збир: оба корена су негативна.
- Негативан производ и позитиван збир: један корен је позитиван, а други негативан, а онај са највећим модулом је позитиван.
- Негативан производ и негативан збир: један корен је позитиван, а други негативан, а онај са највећим модулом је негативан.
Касније, након што наведемо све производе који задовољавају једначину, анализирамо који од њих задовољава једначину. једначина збира, односно која су два броја која задовољавају једначину производа и збира истовремено.
Пример 1:
Пронађите решења једначине:
\(к²-5к+6=0\)
Прво ћемо заменити формулу суме и производа. Имамо да је а = 1, б = -5 и ц = 6:
\(к_1+к_2=5\)
\(к_1\цдот к_2=6\)
Пошто су збир и производ позитивни, корени су позитивни. Анализирајући производ, знамо да:
\(1\ \цдот6\ =\ 6\ \)
\(2\цдот3\ =\ 6\)
Сада ћемо проверити који од ових резултата има збир једнак 5, што је у овом случају:
\(2+3=5\)
Дакле, решења ове једначине су \(к_1=2\ и\ к_2=3\).
Пример 2:
Пронађите решења једначине:
\(к^2+2к-24=0\ \)
Прво ћемо заменити формулу збира и производа. Имамо а = 1, б = 2 и ц = -24.
\(к_1+к_2=-\ 2\)
\(к_1\цдот к_2=-\ 24\)
Пошто су збир и производ негативни, корени су супротних предзнака, а онај са највећим модулом је негативан. Анализирајући производ, знамо да:
\(1\цдот(-24)=-24\)
\(2\цдот\лефт(-12\ригхт)=-24\)
\(3\цдот\лефт(-8\ригхт)=-24\)
\(4\цдот\лефт(-6\ригхт)=-24\)
Сада, хајде да проверимо који од ових резултата има збир једнак -2, што је у овом случају:
\(4+\лево(-6\десно)=-2\)
Дакле, решења ове једначине су \(к_1=4\ и\ к_2=-6\) .
Прочитајте такође: Како решити непотпуну квадратну једначину
Решене вежбе на збир и производ
Питање 1
бити и То је з корени једначине 4Икс2-3Икс-1=0, вредност 4(и+4)(з+4) é:
А) 75
Б) 64
Ц) 32
Д) 18
Е) 16
Резолуција:
Алтернатива А
Рачунање по збиру и производу:
\(и+з=\фрац{3}{4}\)
\(и\цдот з=-\фрац{1}{4}\)
Дакле, морамо:
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=4(из+4и+4з+16)\)
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=4\лево(-\фрац{1}{4}+4\лево (и+з\десно)+16\десно )\)
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=4\лево(-\фрац{1}{4}+4\цдот\фрац{3}{4}+16\ јел тако)\)
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=4\лево(-\фрац{1}{4}+3+16\десно)\)
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=4\лево(-\фрац{1}{4}+19\десно)\)
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=4\лево(\фрац{76-1}{4}\десно)\)
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=4\цдот\фрац{75}{4}\)
\(4\лево (и+4\десно)\лево (з+4\десно)=75\)
питање 2
С обзиром на једначину 2Икс2 + 8х + 6 = 0, нека је С збир корена ове једначине и П производ корена једначине, затим вредност операције (С - П)2 é:
А) 36
Б) 49
в) 64
Д) 81
Е) 100
Резолуција:
Алтернатива Б
Рачунање по збиру и производу:
\(С=к_1+к_2=-4\)
\(П\ =\ к_1\цдот к_2=3\)
Дакле, морамо:
\(\лево(-4-3\десно)^2=\лево(-7\десно)^2=49\)
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm