Прогресије: шта су то, врсте, формуле, примери

Ми знамо како прогресије посебни случајеви секвенце бројева. Постоје два случаја прогресије:

• аритметичка прогресија

• геометријска прогресија

Да бисмо били прогресија, морамо да анализирамо карактеристике низа ако постоји оно што називамо разлогом. када је прогресија аритметика, разлог није ништа друго до константа коју додајемо термину да бисмо пронашли његовог наследника у низу; сада, када радите са прогресијом геометријски, разум има сличну функцију, само што је у овом случају разум стални појам којим множимо појам у низу да бисмо пронашли његовог наследника.

Услед предвидљиво понашање прогресије, постоје специфичне формуле за проналажење било ког појма у овим секвенцама, а такође је могуће развити а формула за сваку од њих (односно једна за аритметичку прогресију и једна за геометријску прогресију) како би се израчунао збир Одне први услови ове прогресије.

Прочитајте такође: Функције - чему служе и чему служе?

Количина пасуља по жетви понаша се попут геометријске прогресије

редослед бројева

Да бисмо разумели шта су прогресије, прво морамо да схватимо шта су

секвенце бројева. Као што и само име говори, знамо редослед бројева а скуп бројева који поштују редослед, био добро дефинисан или не. за разлику од сетови нумерике где редослед није битан, у нумеричком низу редослед је неопходан, на пример:

Низ (1, 2, 3, 4, 5) се разликује од (5, 4, 3, 2, 1), који се разликује од низа (1, 5, 4, 3, 2). Чак и ако су елементи исти, пошто је редослед другачији, тако да имамо различите секвенце.

Примери:

Можемо писати секвенце чије је формације лако видети:

а) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → низ парних бројева мањих или једнаких 12.

б) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → регресивни низ непарних бројева од 17 до 5.

ц) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → познат као Фибоначијев низ.

г) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → иако није могуће описати овај низ као и остали, лако је предвидети који ће бити његови следећи појмови.

У другим случајевима, низови могу имати укупну случајност у својим вредностима, у сваком случају, бити низ, битно је имати скуп уређених вредности.

до 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

б) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Колико год није могуће предвидети ко су следећи појмови из слова б, и даље радимо са наставком.

Генерално, низови су увек представљени у заградама (), на следећи начин:

(Тхе₁, а₂, Тхе₃, а₄, Тхе₅, а₆, а₇, а₈ …) → бесконачан низ

(Тхе₁, а₂, Тхе₃, а₄, Тхе₅, а₆, а₇, а₈ … А_не) → коначан низ

У оба имамо следеће представљање:

Тхе₁ → први термин

Тхе₂ → други термин

Тхе₃ → трећи термин

.

.

.

Тхе_не → н-ти појам

Посматрање: Од велике је важности да се приликом представљања низа подаци додају у заграде. Запис секвенце се често меша са записом скупа. Скуп је представљен у заградама, а у сету редослед није важан, што у овом случају чини све разлике.

(1, 2, 3, 4, 5) → секвенца

{1, 2, 3, 4, 5} → постављено

Постоје посебни случајеви редоследа који су познати као прогресије.

Погледајте такође: Који је основни принцип бројања?

Шта су прогресије?

Низ је дефинисан као прогресија када има правилност од једног појма до другог, познат као разум. Постоје два случаја прогресије, аритметичка и геометријска. Да бисмо знали како да разликујемо сваког од њих, морамо да разумемо који је разлог напредовања и како тај разлог комуницира са терминима низа.

Када од једног до другог појма у низу имам а константна сума, овај низ је дефинисан као прогресија, а у овом случају је а аритметичка прогресија. Ова вредност коју непрестано сабирамо позната је као однос. Други случај, односно када је секвенца а геометријска прогресија, од једног појма до другог постоји а множење са константном вредношћу. Аналогно томе, ова вредност је однос геометријске прогресије.

Примери:

а) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → приметите да увек додајемо 3 из једног појма у други, тако да имамо аритметичку прогресију односа једнаку 3.

б) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → у овом случају увек множимо са 10 од једног до другог члана, бавећи се геометријском прогресијом односа 10.

ц) (0, 2, 8, 26…) → у последњем случају постоји само један низ. Да бисмо пронашли следећи појам, множимо га са 3 и додајемо 2. У овом случају, иако постоји правилност да се пронађу следећи појмови, то је само низ, а не аритметичка или геометријска прогресија.

аритметичка прогресија

Када радимо са низовима бројева, они низови у којима можемо предвидети њихове наредне чланове прилично се понављају. Да би се овај низ могао класификовати као а аритметичка прогресија, треба да постоји разлог а. Од првог мандата, следећи термин је конструисана збиром претходног појма са разлогом р.

Примери:

а) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Ово је низ који се може класификовати као аритметичка прогресија, јер је разлог р = 3 и први члан је 4.

б) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Овај низ је аритметичка прогресија са добрим разлогом. р = -5, а први члан му је 7.

• Услови ПА

У многим случајевима је наш интерес да пронађемо одређени појам у прогресији, а да не морамо да напишемо целу секвенцу. Познавајући вредност првог члана и однос, могуће је пронаћи вредност било ког члана у аритметичкој прогресији. Да бисмо пронашли изразе ариметичке прогресије, користимо формулу:

Тхе_не = тхе₁+ (н - 1) р

Пример:

Нађите 25. члан П.А чији је однос 3, а први члан 12.

Подаци р = 3,₁ = 12. Желимо да пронађемо 25. члан, то јест, н = 25.

Тхе_не = тхе₁+ (н - 1) р

Тхе₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

Тхе₂₅ = 12 + 24 · 3

Тхе₂₅ = 12 + 72

Тхе₂₅ = 84

• Општи термин П.А.

Општи појам формула је а начин поједностављења формуле појма АП да бисте брже пронашли било који термин напредовања. Једном када су познати први члан и разлог, довољно је у формули заменити појам П.А., како би се пронашао општи појам аритметичке прогресије, који зависи само од вредности не.

Пример:

Пронађите општи појам П.А. који има р = 3 и₁ = 2.

Тхе_не = 2 + (н -1) р

Тхе_не = 2 + (н -1) 3

Тхе_не = 2 + 3н - 3

Тхе_не = 2н - 1

Ово је општи израз П.А., који служи за проналажење било ког појма у овој прогресији.

• Збир термина ПА

ТХЕ збир термина ПА било би прилично мукотрпно када би било потребно пронаћи сваки од његових термина и сабрати их. Постоји формула за израчунавање збира свих не први изрази аритметичке прогресије:

Пример:

Нађите збир свих непарних бројева од 1 до 100.

Знамо да су непарни бројеви аритметичка прогресија односа 2: (1, 3, 5, 7... 99). У овој прогресији постоји 50 израза, јер је од 1 до 100 половина бројева парна, а друга половина непарна.

Стога морамо:

н = 50

Тхе₁ = 1

Тхе_не = 99

Такође приступите: Функција 1. степена - практична употреба аритметичке прогресије

Геометријска прогресија

Низ се такође може класификовати као прогрешење геометријски (ПГ). Да би низ био геометријска прогресија, мора имати разлог, али у овом случају, да бисмо пронашли следећи члан из првог члана, изводимо множење односа са претходним термином.

Примери:

а) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Геометријска прогресија односа 2, а њен први члан је 3.

б) (20, 200, 2000, 20 000…) → Геометријска прогресија односа 10, а њен први члан је 20.

• Појам ПГ

У геометријској прогресији представљамо разлог писму Шта. Појам геометријске прогресије може се наћи по формули:

Тхе_не = тхе₁ · Шта^{н - 1}

Пример:

Нађите 10. члан ПГ-а, знајући то Шта = 2 и₁ = 5.

Тхе_не = тхе₁ · Шта^{н - 1}

Тхе₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

Тхе₁₀ = 5 · 2⁹

Тхе₁₀ = 5 · 512

Тхе₁₀ = 2560

• Општи појам ПГ

Када знамо први појам и разлог, могуће је генерирати формулу општег појма из геометријске прогресије која искључиво зависи од вредности не. Да бисмо то урадили, само треба да заменимо први члан и однос и наћи ћемо једначину која зависи само од вредности не.

Користећи претходни пример, где је однос 2, а први члан 5, општи израз за овог ГП је:

Тхе_не = тхе₁ · Шта^{н - 1}

Тхе_не = 5 · 2^{н - 1}

• Збир термина ПГ

Додавање свих услова напредовања био би велики посао. У многим случајевима писање читавог низа да би се постигла ова сума одузима пуно времена. Да би се олакшао овај прорачун, геометријска прогресија има формулу која служи за израчунавање збир не први елементи коначног ПГ:

Пример:

Пронађите збир првих 10 чланова ГП (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Имајте на уму да је однос овог ПГ једнак 2.

Тхе₁ = 1

Шта = 2

не = 10

Прочитајте такође: Експоненцијална функција - практична употреба геометријске прогресије

Вежбе решене

Питање 1 - Научници неколико дана посматрају одређену културу бактерија. Један од њих анализира раст ове популације и приметио је да је првог дана било 100 бактерија; у другом 300 бактерија; у трећем 900 бактерија и тако даље. Анализирајући овај низ, можемо рећи да је:

А) аритметичка прогресија односа 200.

Б) геометријска прогресија односа 200.

В) ариметичко напредовање разлога 3.

Д) геометријска прогресија односа 3.

Е) низ, али не и прогресију.

Резолуција

Алтернатива Д.

Анализирајући низ, имамо изразе:

Имајте на уму да је 900/300 = 3, као и 300/100 = 3. Према томе, радимо са ПГ односа 3, јер множимо са три из првог члана.

Питање 2 - (Енем - ППЛ) За почетнике у трчању предвиђен је следећи дневни план тренинга: првог дана трчите 300 метара, а другог повећајте 200 метара дневно. Да би избројао свој учинак, користиће чип, причвршћен за патику, да мери раздаљину пређену на тренингу. Узмите у обзир да овај чип у својој меморији чува највише 9,5 км трчања / ходања и мора се ставити на почетак тренинга и одбацити након што исцрпи простор за резерву података. Ако овај спортиста користи чип од првог дана тренинга, колико узастопних дана ће овај чип моћи да ускладишти километражу тог дневног плана тренинга?

А) 7

Б) 8

В) 9

Д) 12

Е) 13

Резолуција

Алтернатива Б.

Анализирајући ситуацију, знамо да имамо ПА са разлогом 200 и почетним завршетком једнаким 300.

Даље, знамо да је збир С._не = 9,5 км = 9500 метара.

Са овим подацима пронађимо појам а_не, што је број километара забележених последњег дана складиштења.

Такође је вредно запамтити да било који појам а_не може се записати као:

Тхе_не = тхе₁ + (н - 1)р

С обзиром на једначину 200н² + 400н - 19000 = 0, све појмове можемо поделити са 200, поједностављујући једначину и налазећи: н² + 2н - 95 = 0.

За делту и Бхаскару морамо:

а = 1

б = 2

ц = -95

Δ = б² - 4ац

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Знамо да 8,75 одговара 8 дана и неколико сати. У овом случају, број дана у којима се може извршити мерење је 8.

Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm