О Паскалов троугао то је прилично стара математичка алатка. Кроз историју је добио неколико назива, али су данас најприхваћенија аритметички троугао и Паскалов троугао. Друго име је признање математичару који је дао неколико доприноса проучавању овог троугла. значи да је троугао измислио он, али је он био тај који је то дубље проучио оруђе.
Из својстава Паскаловог троугла могуће га је логички конструисати. Такође се истиче ваш однос са комбинације проучавао комбинаторну анализу. Чланови Паскаловог троугла такође одговарају биномним коефицијентима и стога је веома користан за израчунавање било ког Њутнова бинома.
Прочитајте такође: Бриот-Руффини уређај - метода за дељење полинома
Конструкција Паскаловог троугла
Паскалов троугао се производи из резултата комбинација, међутим, постоји практична метода која олакшава начин да се она изгради. Први ред и прва колона се рачунају као нулти ред и нула колона. Можемо користити онолико линија колико је потребно у овој конструкцији, стога троугао може имати бесконачне линије. Образложење за разраду редова је увек исто. погледај:
Знамо да је појмови троугла су комбинације, студирао у комбинаторна анализа. За замену Паскаловог троугла нумеричким вредностима, знамо да су комбинације броја са нулом и броја са самим собом увек једнаке 1. Према томе, прва и последња вредност су увек 1.
Да бисмо пронашли остале, почињемо са линијом 2, пошто су ред 0 и ред 1 већ завршени. У реду 2, да бисмо пронашли комбинацију од 2 до 1, у реду изнад, односно у реду 1, додајмо термин изнад њега у исту колону и термин изнад њега у претходну колону, као што је приказано на слици :
Након изградње линије 2, могуће је изградити линију 3 изводећи исту процедуру.
Настављајући ову процедуру, наћи ћемо све термине – у овом случају до реда 5 – али је могуће изградити онолико линија колико је потребно.
Особине Паскаловог троугла
Постоје неке својства Паскаловог троугла, због правилности у његовој изградњи. Ова својства су корисна за рад са комбинацијама, конструкцију самих линија троугла и збир линија, колона и дијагонала.
1. својство
Прво својство је било оно које смо користили за изградњу троугла. Тако да наћи члан у Паскаловом троуглу, само додајте термин који се налази у реду изнад њега и исту колону са термином који је у колони и реду испред њега. Ово својство се може представити на следећи начин:
Ово својство је познато као Стифелова веза и важно је олакшати конструкцију троугла и пронаћи вредности сваке од линија.
2. својство
Збир свих чланова у реду се израчунава на следећи начин:
сне=2не, на шта не је број линије.
Примери:
Са овим својством могуће је знати збир свих чланова на правој а да не мора нужно да се конструише Паскалов троугао. Збир линије 10, на пример, може се израчунати са 210 = 1024. Иако нису сви појмови познати, већ је могуће знати збирну вредност целе линије.
3. својство
Збир појмова тог низа са почетка дате колоне за до одређене линије не је исто што и термин на линији н+1 леђа и колона п+1 касније, као што је приказано у наставку:
4. својство
Збир дијагонале која почиње у колони 0 и иде до појма у колони п и реду н једнака је термину у истој колони (п), али у реду испод (н+1), као што је приказано на слици :
5. својство
У линијама Паскаловог троугла постоји симетрија. Први и други члан су једнаки, други и претпоследњи члан су једнаки, итд.
Пример:
6. ред: 1615 20 156 1.
Имајте на уму да су термини једнаки два према два, осим централног члана.
Погледајте такође: Полиномска подела: како то решити?
Њутнов бином
Дефинишемо Њутнов бином а моћ једног полином који има два појма. Израчунавање бинома је повезано са Паскаловим троуглом, који постаје механизам за израчунавање онога што називамо биномним коефицијентима. За израчунавање бинома користимо следећу формулу:
Имајте на уму да вредност експонента од Тхе смањује се док у последњем члану није једнака Тхе0. Знамо да је сваки број подигнут на 0 једнак 1, отуда и термин Тхе не појављује се у последњем мандату. Такође имајте на уму да је експонент од Б почиње са Б0, ускоро Б се не појављује у првом термину и повећава се до достизања Бне, у прошлом мандату.
Штавише, број који прати сваки од појмова је оно што зовемо коефицијент - у овом случају познат као биномни коефицијент. Да бисте боље разумели како да решите ову врсту бинома, приступите нашем тексту: Њутнов бином.
биномни коефицијент
Биномни коефицијент није ништа друго до комбинација, која се може израчунати помоћу формуле:
Међутим, да бисмо олакшали израчунавање Њутновог бинома, неопходно је користити Паскал троугао, јер нам брже даје резултат комбинације.
Пример:
Да бисмо пронашли резултат биномног коефицијента, хајде да пронађемо вредности реда 5 Паскаловог троугла, које су {1,5,10,10,5,1}.
(к+и)5= 1к5+5к4и+10к3и2+ 10к2и3 + 5ки4+1г5
Једноставно речено:
(к+и)5= к5+5к4и+10к3и2+ 10к2и3 + 5ки4+и5
решене вежбе
Питање 1 - Вредност доњег израза је?
А) 8
Б) 16
Ц) 2
Д) 32
Е) 24
Резолуција
Алтернатива А.
Прегруписавши позитивне и негативне вредности, морамо:
Имајте на уму да ми заправо израчунавамо одузимање између линије 4 и линије 3 Паскаловог троугла. По својству знамо да:
с4 = 24 = 16
с3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Питање 2 - Која је вредност израза испод?
А) 32
Б) 28
в) 256
Д) 24
Е) 54
Резолуција
Алтернатива Б.
Имајте на уму да додајемо појмове из колоне 1 Паскаловог троугла у ред 7, а затим у 3. својства, вредност овог збира једнака је термину који заузима ред 7+1 и колону 1+1, односно ред 8, колона 2. Пошто желимо само једну вредност, конструисање целог Паскаловог троугла није згодно.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm