Аритметичка прогресија (П.А.)

ТХЕ Аритметичка прогресија (П.А.) је низ бројева где је разлика између два узастопна члана увек иста. Ова стална разлика назива се П.А.

Дакле, од другог елемента низа па надаље, бројеви који се појављују резултат су збира константе са вредношћу претходног елемента.

То је оно што је разликује од геометријске прогресије (ПГ), јер се у овој бројеви множе односом, док се у аритметичкој прогресији сабирају.

Аритметичке прогресије могу имати фиксни број чланова (коначни П.А.) или бесконачни број чланова (бесконачни П.А.).

Да бисмо назначили да се низ наставља неограничено, користимо елипсе, на пример:

• низ (4, 7, 10, 13, 16, ...) је бесконачан П.А.
• низ (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) је коначан П.А.

Сваки појам П.А. препознаје се према положају који заузима у низу и за представљање сваког појма користимо слово (обично слово Тхе) праћен бројем који означава његов положај у низу.

На пример, појам Тхе₄ у П.А (2, 4, 6, 8, 10) је број 8, јер је то број који заузима 4. место у низу.

Класификација П.А.

Према вредности односа, аритметичке прогресије се класификују на:

• Стално: када је однос једнак нули. На пример: (4, 4, 4, 4, 4 ...), где је р = 0.
• Расте: када је однос већи од нуле. На пример: (2, 4, 6, 8,10 ...), где је р = 2.
• силазни: када је однос мањи од нуле (15, 10, 5, 0, - 5, ...), где је р = - 5

П.А. Својства

1. својство:

У коначном П.А., збир два члана једнако удаљена од крајности једнак је збиру крајности.

Пример

2. својство:

Узимајући у обзир три узастопна члана ПА, средњи ће бити једнак аритметичкој средини остала два члана.

Пример

3. својство:

У коначном П.А. са непарним бројем чланова, централни члан биће једнак аритметичкој средини између појмова једнако удаљених од њега. Ово својство произилази из првог.

Формула општег појма

Где,

ан: термин који желимо да израчунамо
а1: први мандат П.А.
н: положај појма који желимо да откријемо
р: разлог

Објашњење формуле

Како је однос П.А. константан, можемо израчунати његову вредност из било ког узастопног члана, то јест:

Стога вредност другог члана П.А. можемо пронаћи тако што ћемо урадити:

Да бисмо пронашли трећи члан, користићемо исти прорачун:

Замена вредности а₂, коју смо раније пронашли, имамо:

Ако следимо исто образложење, можемо пронаћи:

Посматрајући пронађене резултате, примећујемо да ће сваки члан бити једнак збиру првог члана са односом помноженим са претходном позицијом.

Овај прорачун изражен је формулом општег појма П.А., која нам омогућава да знамо било који елемент аритметичке прогресије.

Пример

Израчунајте 10. члан П.А.: (26, 31, 36, 41, ...)

Решење

Прво, морамо идентификовати следеће:

Тхе₁ = 26
р = 31 - 26 = 5
н = 10 (10. мандат).

Замењујући ове вредности у формули општег појма, имамо:

Тхе_не = тхе₁ + (н - 1). р
Тхе₁₀ = 26 + (10-1). 5
Тхе₁₀ = 26 + 9 .5
Тхе₁₀ = 71

Према томе, десети члан назначене аритметичке прогресије једнак је 71.

Формула општег израза из било ког појма

Често, да бисмо дефинисали било који генерички појам, који називамо ан, немамо први израз а1, али знамо било који други термин, који називамо ак.

Можемо користити формулу општег израза из било ког појма:

Имајте на уму да је једина разлика била промена индекса 1 у првој формули на к у другој.

Бити,

ан: н-ти члан ПА (појам у било којој н позицији)
ак: к-ти члан П.А. (термин на било којој к позицији)
р: разлог

Збир услова П.А.

Да бисте пронашли збир појмова коначног П.А., само користите формулу:

Где,

с_не: збир првих н појмова П.А.
Тхе₁: први мандат П.А.
Тхе_не: заузима н-ту позицију у низу (појам на позицији н)
не: термин позиција

Такође прочитајте о ПА и ПГ.

Вежба решена

Вежба 1

ЈКП / РЈ - 2018

Знајући да су бројеви у низу (и, 7, з, 15) у аритметичкој прогресији, колико вреди збир и + з?

а) 20
б) 14
ц) 7
д) 3.5
е) 2

Погледајте одговор

Да бисмо пронашли вредност з, можемо користити својство које каже да ће, када имамо три узастопна члана, средњи члан бити једнак аритметичкој средини остала два. Тако имамо:

Ако је з једнако 11, однос ће бити једнак:

р = 11 - 7 = 4

На овај начин и ће бити једнако:

и = 7 - 4 = 3

Стога:

и + з = 3 + 11 = 14

Алтернатива: б) 14

Вежба 2

МСФИ - 2017

На доњој слици имамо низ правоугаоника, свих висина а. Основа првог правоугаоника је б, а следећи правоугаоници су основна вредност претходног плус јединица мере. Дакле, основа другог правоугаоника је б + 1, а трећег б + 2 и тако даље.

Размотрите изјаве у наставку.

И - Слијед површина правоугаоника је аритметичка прогресија односа 1.
ИИ - Слијед површина правоугаоника је аритметичка прогресија односа а.
ИИИ - Редослед површина правоугаоника је геометријска прогресија односа а.
ИВ - Површина н-тог правоугаоника (А_не) може се добити формулом А._не = а. (б + н - 1).

Проверите алтернативу која садржи тачне изјаве.

тамо.
б) ИИ.
ц) ИИИ.
г) ИИ и ИВ.
д) ИИИ и ИВ.

Погледајте одговор

Израчунавајући површину правоугаоника, имамо:

А = а. Б.
ТХЕ₁ = а. (б + 1) = а. б + а
ТХЕ₂ = а. (б + 2) = а. Б. + 2нд
ТХЕ₃ = а. (б + 3) = а. б + 3а

Из пронађених израза примећујемо да секвенца чини П.А. односа који је једнак Тхе. Настављајући низ, наћи ћемо површину н-тог правоугаоника, која је дата са:

ТХЕ_не= а. б + (н - 1) .а
ТХЕ_не = а. б + а. у

стављајући Тхе као доказ имамо:

ТХЕ_не = а (б + н - 1)

Алтернатива: д) ИИ и ИВ.

Вежба 3

УЕРЈ

Признајте одржавање фудбалског првенства у којем упозорења која добијају спортисти представљају само жути картони. Ове картице се претварају у новчане казне према следећим критеријумима:

• Прве две примљене карте не генеришу новчане казне;
• Трећа карта генерише новчану казну у износу од 500,00 Р $.
• Следеће картице генеришу новчане казне чија се вредност увек повећава за 500,00 Р $ у односу на вредност претходне казне.

Табела приказује новчане казне у вези са првих пет карата примењених на спортисту.

Узмимо у обзир спортисту који је током првенства добио 13 жутих картона. Укупан износ новчаних казни које генеришу све ове картице у реалијима је:

а) 30.000
б) 33 000
в) 36 000
г) 39 000

Погледајте одговор

Тачан одговор: б) 33 000

Од трећег жутог картона надаље, износ казне се повећава у П.А. у омјеру од 500,00 Р $. Узимајући у обзир први члан, а1, са вредношћу треће картице, 500,00 Р $.

Да бисмо утврдили укупан износ новчаних казни, морамо користити формулу збира услова П.А.

Како спортиста има 13 жутих картона, али прва два не генеришу новчане казне, направићемо П.А. од 13-2 мандата, односно 11 мандата.

Дакле, имамо следеће вредности:

а1 = 500
н = 11
р = 500

Да бисмо пронашли вредност н-тог члана, а11, користимо формулу општег појма.

ан = а1 + (н-1) .р
а21 = 500 + (11-1) к 500
а21 = 500 + 10 к 500
а21 = 5500

Примењујући формулу збира појмова П.А.

Решите више вежби у:

Аритметичка прогресија - вежбе

Сазнајте више читајући и:

• Нумеричка секвенца
• Геометријска прогресија
• Геометријска прогресија - вежбе
• Математичке формуле