Питагорина теорема указује да је у правоуглом троуглу квадрат хипотенузе једнак збиру квадрата мера катета.
Искористите решене и коментарисане вежбе да одговорите на све сумње у вези са овим важним садржајем.
Предложене вежбе (са резолуцијом)
Питање 1
Царлос и Ана отишли су од куће да раде из исте тачке, гараже зграде у којој живе. После 1 мин, путујући окомитом стазом, били су удаљени 13 м.
Ако је Царлосов аутомобил за то време радио 7 м више од Аниног, колико су били удаљени од гараже?
а) Карлос је био 10 м од гараже, а Ана 5 м.
б) Карлос је био 14 м од гараже, а Ана 7 м.
в) Карлос је био 12 м од гараже, а Ана 5 м.
г) Карлос је био 13 м од гараже, а Ана 6 м.
Тачан одговор: в) Карлос је био 12 м од гараже, а Ана 5 м.
Странице правоуглог троугла формираног у овом питању су:
- хипотенуза: 13 м
- већа нога: 7 + х
- краћа нога: х
Примењујући вредности у Питагориној теореми, имамо:
Сада примењујемо Бхаскара-ову формулу да бисмо пронашли вредност к.
Како је то мера дужине, морамо користити позитивну вредност. Према томе, странице правоуглог троугла формиране у овом питању су:
- хипотенуза: 13 м
- дужа нога: 7 + 5 = 12 м
- краћа нога: к = 5 м
Тако је Ана била 5 метара од гараже, а Царлос 12 метара.
питање 2
Када га је Карла тражила, видела га је на врху дрвета. Затим је затражила помоћ од мајке и поставиле су мердевине поред дрвета како би помогле мачки да се спусти.
Знајући да је мачка удаљена 8 метара од земље, а основа мердевина 6 метара од дрвета, колико су мердевине служиле за спасавање мачета?
а) 8 метара.
б) 10 метара.
в) 12 метара.
г) 14 метара.
Тачан одговор: б) 10 метара.
Имајте на уму да висина мачке и растојање основе мердевина чине прави угао, односно угао од 90 степени. Како су лествице постављене насупрот правом углу, онда његова дужина одговара хипотенузи правоуглог троугла.
Применом вредности датих у Питагориној теореми откривамо вредност хипотенузе.
Стога су мердевине дугачке 10 метара.
питање 3
Према мерама представљеним у алтернативама испод, која представља вредности правоуглог троугла?
а) 14 цм, 18 цм и 24 цм
б) 21 цм, 28 цм и 32 цм
в) 13 цм, 14 цм и 17 цм
г) 12 цм, 16 цм и 20 цм
Тачан одговор: г) 12 цм, 16 цм и 20 цм.
Да бисмо сазнали да ли представљене мере чине правоугли троугао, морамо применити Питагорину теорему на сваку алтернативу.
а) 14 цм, 18 цм и 24 цм
б) 21 цм, 28 цм и 32 цм
в) 13 цм, 14 цм и 17 цм
г) 12 цм, 16 цм и 20 цм
Дакле, мере 12 цм, 16 цм и 20 цм одговарају страницама правоуглог троугла, јер је квадрат хипотенузе, најдуже странице, једнак збиру квадрата катета.
питање 4
Обратите пажњу на следеће геометријске фигуре које имају једну страницу смештену у хипотенузи правоуглог троугла димензија 3 м, 4 м и 5 м.
Наћи висину (х) једнакостраничног троугла БЦД и вредност дијагонале (д) квадрата БЦФГ.
а) х = 4,33 м и д = 7,07 м
б) х = 4,72 м и д = 8,20 м
в) х = 4,45 м и д = 7,61 м
г) х = 4,99 м и д = 8,53 м
Тачан одговор: а) х = 4,33 м и д = 7,07 м.
Како је троугао једнакостраничан, то значи да његове три странице имају исту меру. Цртањем линије која одговара висини троугла, поделили смо је у два правоугла троугла.
Исто важи и за квадрат. Када нацртамо његову дијагоналну линију, можемо видети два правоугла троугла.
Примењујући податке из изјаве у Питагориној теореми, откривамо следеће вредности:
1. Израчунавање висине троугла (правокутни крак троугла):
Затим долазимо до формуле за израчунавање висине. Сада само замените вредност Л и израчунајте је.
2. Израчунавање дијагонале квадрата (хипотенуза правоуглог троугла):
Према томе, висина једнакостраничног троугла БЦД је 4,33, а дијагонална вредност квадрата БЦФГ 7,07.
Види и ти: Питагорина теорема
Решена питања пријемног испита
питање 5
(Цефет / МГ - 2016) Змај, чија је слика приказана доле, изграђен је у четвороугластом формату АБЦД, будући да је и
. штап
змаја пресеца штап
у својој средњој тачки Е, чинећи прави угао. У конструкцији овог змаја мере
користе се, односно, 25 цм и 20 цм, а мерење
једнако
мере
.
Под овим условима, мера , у цм, једнако је
а) 25.
б) 40.
ц) 55.
г) 70.
Тачна алтернатива: в) 55.
Посматрајући фигуру питања, видимо да је ДЕ сегмент, који желимо да пронађемо, исти као БД сегмент одузимањем БЕ сегмента.
Дакле, како знамо да је сегмент БЕ једнак 20 цм, тада морамо пронаћи вредност сегмента БД.
Имајте на уму да нам проблем даје следеће информације:
Да бисмо пронашли меру БД, морамо знати вредност сегмента АЦ.
Пошто тачка Е дели сегмент на два једнака дела (средња тачка), онда . Стога је први корак проналажење мере сегмента ЦЕ.
Да бисмо пронашли ЦЕ мерење, идентификовали смо да је троугао БЦЕ правоугаоник, да је БЦ хипотенуза, а БЕ и ЦЕ кракови, као што је приказано на доњој слици:
Затим ћемо применити Питагорину теорему да бисмо пронашли меру ноге.
252 = 202+ к2
625 = 400 + х2
Икс2 = 625 - 400
Икс2 = 225
к = √225
к = 15 цм
Да бисмо пронашли оковратник, могли смо такође приметити да је троугао питагорејски, односно мере његових страница су вишеструки бројеви мерења троугла 3, 4, 5.
Дакле, када помножимо 4 са 5 имамо вредност крагне (20), а ако помножимо 5 са 5 имамо хипотенузу (25). Стога би друга нога могла бити само 15 (5. 3).
Сада када смо пронашли ЕЦ вредност, можемо пронаћи и друге мере:
АЦ = 2. ЦЕ ⇒ АЦ = 2,15 = 30 цм
Стога је мера је једнако 55 цм.
Види и ти: Питагора
питање 6
(МСФИ - 2017) Размотримо једнакостранични троугао са страницом 5√3. Колика је висина, односно површина овог троугла?
Тачна алтернатива: е) 7,5 цм и 75√3 / 4 цм2
Прво, нацртајмо једнакостранични троугао и зацртајмо висину, као што је приказано на слици испод:
Имајте на уму да висина дели основу на два сегмента исте мере, јер је троугао једнакостраничан. Такође имајте на уму да је троугао АЦД на слици правоугли троугао.
Дакле, да бисмо пронашли меру висине, користићемо Питагорину теорему:
Познавајући мерење висине, површину можемо пронаћи преко формуле:
питање 7
(МСФИ - 2016) На доњој слици вредност к и и је
Тачна алтернатива: а) 4√2 и √97.
Да бисмо пронашли вредност к, применимо Питагорину теорему на правоугли троугао који има странице једнаке 4 цм.
Икс2 = 42 + 42
Икс2 = 16 + 16
к = √32
к = 4√2 цм
Да бисмо пронашли вредност и, послужићемо се и Питагорином теоремом, узимајући у обзир да једна нога мери 4 цм, а друга 9 цм (4 + 5 = 9).
г.2 = 42 + 92
г.2 = 16 + 81
и = √97 цм
Према томе, вредност к, односно и је 4√2 и √97.
питање 8
(Аппрентице Саилор - 2017) Погледајте доњу слику.
На горњој слици је једнакокраки троугао АЦД, у коме сегмент АБ мери 3 цм, неједнака страница АД мери 10√2 цм, а сегменти АЦ и ЦД су окомити. Стога је тачно рећи да сегмент БД мери:
а) √53 цм
б) √97 цм
в) √111 цм
г) √149 цм
д) √161 цм
Тачна алтернатива: д) √149 цм
Узимајући у обзир информације представљене у проблему, изграђујемо доњу слику:
Према слици налазимо да ће за проналажење вредности к бити потребно пронаћи меру странице коју називамо а.
Пошто је троугао АЦД правоугаоник, применићемо Питагорину теорему да бисмо пронашли вредност катете а.
Сада када знамо вредност а, вредност к можемо пронаћи разматрањем правоуглог троугла БЦД.
Имајте на уму да је нога БЦ једнака мерењу ноге минус 3 цм, односно 10 - 3 = 7 цм. Примењујући Питагорину теорему на овај троугао, имамо:
Стога је тачно тврдити да БД сегмент мери √149 цм.
питање 9
(ИФРЈ - 2013) Спортско двориште у кампусу Аррозал Савезног института је правоугаоног облика, дугачко 100 м и широко 50 м, представљено правоугаоником АБЦД на овој слици.
Алберто и Бруно су двоје ученика који се у дворишту баве спортом. Алберто хода од тачке А до тачке Ц дуж дијагонале правоугаоника и враћа се до почетне тачке истим путем. Бруно креће од тачке Б, потпуно обилази двориште, ходајући по бочним линијама, и враћа се на почетну тачку. Дакле, с обзиром на √5 = 2,24, наводи се да је Бруно ходао више од Алберта
а) 38 м.
б) 64 м.
в) 76 м.
г) 82 м.
Тачна алтернатива: в) 76 м.
Дијагонала правоугаоника дели га на два правоугла троугла, хипотенуза је дијагонала, а странице једнаке страницама правоугаоника.
Дакле, да бисмо израчунали дијагоналну меру, применимо Питагорину теорему:
Док је Алберто ишао и враћао се, па је прешао 224 м.
Бруно је прешао удаљеност једнаку ободу правоугаоника, другим речима:
п = 100 + 50 + 100 + 50
п = 300 м
Стога је Бруно ходао 76 м дуже од Алберта (300 - 112 = 76 м).
питање 10
(Енем - 2017) За украшавање дечјег стола за забаве, кувар ће користити сферну дињу пречника димензија 10 цм, која ће служити као подршка за ражњавање разних слаткиша. Уклониће сферни поклопац са диње, као што је приказано на слици, и, како би се осигурала стабилност ове потпоре, отежавајући дињу да се котрља по столу, шеф ће сећи тако да је полупречник р пресека кружног реза длакав. минус 3 цм. С друге стране, кувар ће желети да има највећу могућу површину у региону у којој ће се слаткиши поправљати.
Да би постигао све своје циљеве, шеф мора да пресече капу од диње на висини х, у центиметрима, једнакој
Тачна алтернатива: ц) 1
Посматрајући фигуру представљену у питању, идентификовали смо да се висина х може наћи смањењем мере сегмента ОА од мере полупречника сфере (Р).
Полупречник сфере (Р) једнак је половини њеног пречника, што је у овом случају једнако 5 цм (10: 2 = 5).
Дакле, морамо пронаћи вредност ОА сегмента. За ово ћемо размотрити троугао ОАБ представљен на доњој слици и применити Питагорину теорему.
52 = 32 + к2
Икс2 = 25 - 9
к = √16
к = 4 цм
Такође бисмо могли директно да пронађемо вредност к, напомињући да је то Питагорин троугао 3,4 и 5.
Дакле, вредност х биће једнака:
х = Р - к
х = 5 - 4
в = 1 цм
Због тога кувар треба да пресече капу од диње на висини од 1 цм.
питање 11
(Енем - 2016 - 2. апликација) Боцциа је спорт који се игра на теренима, који су равни и равни терен, ограничен ободним дрвеним платформама. Циљ овог спорта је бацање куглица које су лопте направљене од синтетичког материјала поставите их што ближе болиму, који је претходно мања куглица, пожељно направљена од челика лансиран. Слика 1 илуструје балинање и болим игране на терену. Претпоставимо да је играч бацио лопту, полупречника 5 цм, која је била наслоњена на болим, полупречника 2 цм, као што је приказано на слици 2.
Тачку Ц посматрајте као центар лопте, а тачку О као центар лопте. Познато је да су А и Б тачке у којима кугла за боћање, односно болин додирују терен, и да је растојање између А и Б једнако д. У којим условима је однос између д и полупречника болима?
Тачна алтернатива: е) √10
Да бисмо израчунали вредност удаљености д између тачака А и Б, направимо фигуру која спаја центре две сфере, као што је приказано доле:
Имајте на уму да је фигура плаве тачке обликована попут трапеза. Поделимо овај трапез, као што је приказано доле:
Дељењем трапеза добијамо правоугаоник и правоугли троугао. Хипотенуза троугла једнака је збиру полупречника боћарске лопте са полупречником болима, односно 5 + 2 = 7 цм.
Мерење једне ноге је једнако д, а мерење друге ноге једнако је мерењу сегмента ЦА, што је радијус боћарске лопте, минус полупречник болима (5 - 2 = 3) .
На овај начин можемо пронаћи меру д, примењујући Питагорину теорему на овај троугао, то јест:
72 = 32 - оф2
д2 = 49 - 9
д = √40
д = 2 √10
Стога ће однос између удаљености д и болима бити дат као:.
питање 12
(Енем - 2014) Дневни боравак троши 20 160 Вх. Ова резиденција има 100 соларних ћелија правоугаоне (уређаји који могу претворити сунчеву светлост у електричну енергију) димензија 6 цм к 8 центиметар. Свака таква ћелија током дана производи 24 Вх по центиметру дијагонале. Власник ове куће дневно жели да произведе потпуно исту количину енергије коју троши његова кућа. Шта би овај власник требало да учини за њега да постигне свој циљ?
а) Уклоните 16 ћелија.
б) Уклоните 40 ћелија.
ц) Додајте 5 ћелија.
г) Додајте 20 ћелија.
е) Додајте 40 ћелија.
Исправна алтернатива: а) Уклоните 16 ћелија.
Прво ћете морати да сазнате колики је излазак енергије сваке ћелије. За то треба да пронађемо меру дијагонале правоугаоника.
Дијагонала је једнака хипотенузи троугла са краковима једнаким 8 цм и 6 цм. Затим ћемо израчунати дијагоналу применом Питагорине теореме.
Међутим, примећујемо да је дотични троугао питагорејски, који је вишеструки троугао 3,4 и 5.
На тај начин, мерење хипотенузе биће једнако 10 цм, пошто се странице питагорејског троугла 3,4 и 5 помноже са 2.
Сада када знамо дијагонално мерење, можемо израчунати енергију коју производи 100 ћелија, односно:
Е = 24. 10. 100 = 24 000 Вх
Како је потрошена енергија једнака 20 160 Вх, мораћемо да смањимо број ћелија. Да бисмо пронашли овај број, урадићемо:
24 000 - 20 160 = 3840 Вх
Подељујући ову вредност са енергијом коју производи ћелија, проналазимо број који треба смањити, то јест:
3 840: 240 = 16 ћелија
Стога акција власника да постигне свој циљ мора бити уклањање 16 ћелија.
Да бисте сазнали више, погледајте такође: Вежбе тригонометрије
