ТХЕ теорија вероватноће је грана Математике која проучава експерименте или случајне појаве и кроз њу је могуће анализирати шансе за одређени догађај.
Када израчунавамо вероватноћу, повезујемо степен поузданости да ће доћи до могућих резултата експеримената чији се резултати не могу унапред утврдити.
На овај начин израчунавање вероватноће повезује настанак резултата са вредношћу која варира од 0 до 1, а што је резултат ближи 1, то је већа извесност његовог настанка.
На пример, можемо израчунати вероватноћу да ће особа купити добитни листић на лутрији или знати шансе да ће пар имати петоро деце, сви дечаци.
случајни експеримент
Случајан експеримент је онај који не може предвидети који ће резултат бити пронађен пре него што га спроведе.
Догађаји ове врсте, када се понове под истим условима, могу дати различите резултате и ова непостојаност се приписује случају.
Пример случајног експеримента је котрљање непристрасне матрице (матрице која има хомогену расподелу масе) према горе. При паду није могуће са сигурношћу предвидети које ће од 6 лица бити окренуто нагоре.
Формула вероватноће
У случајном феномену, шансе да се догоди догађај су подједнако вероватне.
Према томе, можемо наћи вероватноћу да ће се дати резултат поделити бројем повољних догађаја и укупним бројем могућих исхода:
Бити:
п (А): вероватноћа појаве догађаја А.
у): број случајева који нас занимају (догађај А)
н (Ω): укупан број могућих случајева
Примери
1) Ако котрљамо савршену коцкицу, колика је вероватноћа да ће се ваљати број мањи од 3?
Решење
Као савршено умрло, свих 6 лица имају једнаке шансе да падну лицем нагоре. Дакле, применимо формулу вероватноће.
За ово морамо узети у обзир да имамо 6 могућих случајева (1, 2, 3, 4, 5, 6) и да догађај „од броја мањег од 3“ има 2 могућности, односно од броја 1 или број 2. Тако имамо:
2) Шпил карата састоји се од 52 карте подељене у четири одела (срца, палице, дијаманти и пикови) са по 13 карата у свакој боји. Дакле, ако случајно извучете карту, колика је вероватноћа да ће карта изаћи из клупске одеће?
Решење
Када насумично цртамо карту, не можемо предвидети која ће то карта бити. Дакле, ово је случајан експеримент.
У овом случају, број карата одговара броју могућих случајева и имамо 13 клубова који представљају број повољних догађаја.
Заменом ових вредности у формули вероватноће имамо:
Узорак простора
представљен писмом Ω, простор узорка одговара скупу могућих резултата добијених случајним експериментом.
На пример, када случајно узимате карту са шпила, простор за узорке одговара 52 карте које чине овај шпил.
Исто тако, простор за узорак, када се једном ваља колут, је шест лица која га чине:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 и 6}.
Врсте догађаја
Догађај је било који подскуп простора узорка случајног експеримента.
Када је догађај потпуно исти као и његов узорак, назива се а прави догађај. Супротно томе, када је догађај празан, назива се а немогућ догађај.
Пример
Замислите да имамо кутију са куглицама бројевима од 1 до 20 и да су све куглице црвене.
Догађај „извуци црвену куглу“ је сигуран догађај, јер су све куглице у кутији ове боје. Догађај „извуци број већи од 30“ је немогућ, јер је највећи број у пољу 20.
Комбинаторичка анализа
У многим ситуацијама је могуће случајним експериментом директно открити број могућих и повољних догађаја.
Међутим, у неким проблемима мораћете да израчунате ове вредности. У овом случају можемо користити формуле за пермутацију, распоред и комбинацију према ситуацији предложеној у питању.
Да бисте сазнали више о теми, идите на:
- Комбинаторичка анализа
- Вежбе комбиноване анализе
- Основни принцип бројања
- Пермутација
Пример
(ЕсПЦЕк - 2012) Вероватноћа добијања броја дељивог са 2 у случајном избору једне од пермутација цифара 1, 2, 3, 4, 5 је
Решење
У овом случају треба да сазнамо број могућих догађаја, односно колико различитих бројева добијамо променом редоследа датих 5 цифара (н = 5).
Како ће у овом случају редослед цифара чинити различите бројеве, користићемо формулу пермутације. Стога имамо:
Могући догађаји:
Према томе, са 5 цифара можемо пронаћи 120 различитих бројева.
Да бисмо израчунали вероватноћу, још увек морамо да пронађемо број повољних догађаја који, у овом случају, је пронаћи број дељив са 2, што ће се догодити када последња цифра броја буде 2 или 4.
Узимајући у обзир да за последњу позицију имамо само ове две могућности, онда ћемо морати да заменимо остале 4 позиције које чине број, овако:
Повољни догађаји:
Вероватноћа ће се наћи на следећи начин:
Прочитајте и ви:
- Паскалов троугао
- Комплексни бројеви
- Математика у непријатељу
Вежба решена
1) ЈКП / РЈ - 2013
Ако је а = 2н + 1 са н ∈ {1, 2, 3, 4}, онда је вероватноћа броја Тхе бити пар је
до 1
б) 0.2
ц) 0,5
д) 0,8
д) 0
Док у израз за број а замењујемо сваку могућу вредност н, примећујемо да ће резултат увек бити непаран број.
Стога је „бити паран број“ немогућ догађај. У овом случају, вероватноћа је једнака нули.
Алтернатива: е) 0
2) УПЕ - 2013
У групи курсева шпанског, троје људи намерава да изврши програм размене у Чилеу, а седам у Шпанији. Међу ових десет људи изабрано је двоје за интервју који ће прикупљати стипендије за студирање у иностранству. Вероватноћа да ово двоје изабраника припада групи оних који намеравају да изврше размену у Чилеу је
Прво, пронађимо број могућих ситуација. Како избор две особе не зависи од поруџбине, користићемо формулу комбинације да бисмо утврдили број могућих случајева, тј.
Дакле, постоји 45 начина да одаберете 2 особе из групе од 10 људи.
Сада треба да израчунамо број повољних догађаја, односно двоје извучених људи желе да изврше размену у Чилеу. Поново ћемо користити формулу комбинације:
Дакле, постоје 3 начина да одаберете 2 особе од 3 које желе да студирају у Чилеу.
Са пронађеним вредностима можемо израчунати тражену вероватноћу заменом у формули:
Алтернатива: б)
Прочитајте више о неким сродним темама:
- Њутнов бином
- Вежбе вероватноће (лако)
- Вежбе вероватноће
- Статистичка
- Статистика - вежбе
- Математичке формуле
