ПА и ПГ: резиме, формуле и вежбе

ТХЕ аритметичка прогресија - ПА је низ вредности који има сталну разлику између узастопних бројева.

ТХЕ геометријска прогресија - ПГ представља бројеве са истим количником при подели два узастопна члана.

Док се у аритметичкој прогресији појмови добијају додавањем разлике заједничке претходнику, појмови а геометријске прогресије се проналазе множењем односа са последњим бројем у низу, чиме се добија појам наследник.

Испод је резиме две врсте прогресија.

Аритметичка прогресија (АП)

Аритметичка прогресија је низ који чине термини који се међусобно разликују константном вредношћу, која се назива однос, израчунато према:

Где,

р је разлог БП;
Тхе₂ је други термин;
Тхе₁ је први термин.

Према томе, изрази аритметичке прогресије могу се написати на следећи начин:

Имајте на уму да у ПА од не изразе формуле општег појма (_не) секвенце је:

Тхе_не = тхе₁ + (н - 1) р

Неки посебни случајеви су: АП са 3 члана представља (к - р, к, к + р), а АП са 5 чланова садржи своје компоненте представљене са (к - 2р, к - р, к, к + р, к + 2р).

Врсте ПА

Према вредности односа, аритметичке прогресије се класификују у 3 врсте:

1. Стално: када је однос једнак нули и када су БП услови једнаки.

Пример: ПА = (2, 2, 2, 2, 2, ...), где је р = 0

2. Расте: када је однос већи од нуле, а члан из другог већи од претходног;

Пример: ПА = (2, 4, 6, 8, 10, ...), где је р = 2

3. силазни: када је однос мањи од нуле, а члан из другог мањи од претходног.

Пример: ПА = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), где је р = - 2

Аритметичке прогресије и даље се могу класификовати коначан, када имају одређени број појмова, и бесконачно, односно бесконачним терминима.

Збир термина ПА

Збир појмова аритметичке прогресије израчунава се по формули:

Где, не је број појмова у низу, Тхе₁ је први термин и Тхе_не је н-ти појам. Формула је корисна за решавање питања где је дат први и последњи појам.

Када проблем има први појам и разлог БП, можете користити формулу:

Ове две формуле се користе за додавање појмова коначног БП.

Просечан рок ПА

Да би се одредио средњи или централни члан БП са непарним бројем чланова, израчунавамо аритметичку средину са првим и последњим чланом (а₁ и_не):

Средњи појам између три узастопна броја ПА одговара аритметичкој средини претходника и наследника.

Решен пример

С обзиром на ПА (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) одредите однос, средњи појам и збир чланова.

1. ПА разлог

2. средњерочно

3. збир појмова

Сазнајте више о аритметичка прогресија.

Геометријска прогресија (ПГ)

Геометријска прогресија се формира када низ има фактор множитеља који је резултат дељења два узастопна члана, која се називају заједнички однос, који се израчунава помоћу:

Где,

Шта је разлог за ПГ;
Тхе₂ је други термин;
Тхе₁ је први термин.

Геометријска прогресија од не појмови се могу представити на следећи начин:

Бити Тхе₁ први члан, општи појам ПГ израчунава се са Тхе₁.к^(не-1).

Типови ПГ

Према вредности односа (к), геометријске прогресије можемо класификовати у 4 врсте:

1. Расте: однос је увек позитиван (к> 0) и услови се повећавају;

Пример: ПГ: (3, 9, 27, 81, ...), где је к = 3.

2. силазни: однос је увек позитиван (к> 0), не-нула (0) и услови се смањују;

Пример: ПГ: (-3, -9, -27, -81, ...), где је к = 3

3. осцилирајући: разлог је негативан (к

Пример: ПГ: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), где је к = - 2

4. Стално: однос је увек једнак 1 и појмови имају исту вредност.

Пример: ПГ: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), где је к = 1

Збир термина ПГ

Збир појмова геометријске прогресије израчунава се по формули:

Бити Тхе₁ први термин, Шта заједнички разлог и не број појмова.

Ако је однос ПГ мањи од 1, тада ћемо користити следећу формулу за одређивање збира појмова.

Ове формуле се користе за коначни ПГ. Ако је тражени збир бесконачни ПГ, употребљена формула је:

Просечни рок ПГ

Да би се одредио средњи или централни члан ПГ са непарним бројем чланова, израчунавамо геометријску средину са првим и последњим чланом (а₁ и_не):

Решен пример

С обзиром на ПГ (1, 3, 9, 27 и 81) одредите однос, просечни појам и збир чланова.

1. ПГ разлог

2. средњерочно

3. збир појмова

Сазнајте више о геометријска прогресија.

Резиме формула ПА и ПГ

аритметичка прогресија	Геометријска прогресија
Разлог
општи термин
средњерочно
коначна сума
бесконачна сума

Сазнајте више о секвенце бројева.

Вежбе на ПА и ПГ

Питање 1

Који је 16. члан низа који почиње бројем 3 и има однос БП једнак 4?

а) 36
б) 52
в) 44
г) 63

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: г) 63.

Будући да је однос ПА константан, можемо пронаћи други члан у низу додавањем односа првом броју.

Тхе₂ = тхе₁ + р

Тхе₂ = 3 + 4

Тхе₂ = 7

Према томе, можемо рећи да је овај низ формиран од (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

16. члан може се израчунати помоћу формуле општег појма.

Тхе_не = тхе₁ + (н - 1). р

Тхе₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

Тхе₁₆ = 3 + 15.4

Тхе₁₆ = 3 + 60

Тхе₁₆ = 63

Стога је одговор на питање 63.

питање 2

Какав је однос шесточланог АП чији је збир прва три броја у низу једнак 12, а последња два једнака –34?

а) 7
б) - 6
ц) - 5
д) 5

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) - 6.

Општа формула за појмове аритметичке прогресије је₁, (а₁ + р), (а₁ + 2р),..., {а₁ + (н-1) р}. Стога се збир прва три члана може написати на следећи начин:

Тхе₁ + (₁ + р) + (а₁ + 2р) = 12
3.₁ + 3р = 12
3.₁ = 12 - 3р
Тхе₁ = (12 - 3р) / 3
Тхе₁ = 4 - р

А збир последња два члана је:

(Тхе₁ + 4р) + (а₁ + 5р) = - 34
2нд₁ + 9р = - 34

Сада замењујемо₁ за 4 - р.

2 (4 - р) + 9р = - 34
8 - 2р + 9р = - 34
7р = - 34 - 8
7р = - 42
р = - 42/7
р = - 6

Према томе, однос ПГ је - 6.

питање 3

Ако је трећи члан ГП-а 28, а четврти 56, која су прва 5 члана ове геометријске прогресије?

а) 6, 12, 28, 56, 104
б) 7, 18, 28, 56, 92
в) 5, 9, 28, 56, 119
г) 7, 14, 28, 56, 112

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: д) 7, 14, 28, 56, 112

Прво, морамо израчунати однос овог ПГ. За ово ћемо користити формулу:

Тхе₄ = тхе₃. Шта
56 = 28. Шта
56/28 = к
к = 2

Сада израчунавамо првих 5 чланова. Почећемо са₁ користећи формулу општег појма.

Тхе_не = тхе₁. Шта^(н-1)
Тхе₃ = тхе₁ . Шта^(3-1)
28 =₁. 2²
Тхе₁ = 28/ 4 = 7

Преостали чланови могу се израчунати множењем претходног члана са односом.

Тхе₂ = тхе₁.к
Тхе₂ = 7. 2
Тхе₂ = 14

Тхе₅ = тхе₄. Шта
Тхе₅ = 56. 2
Тхе₅ = 112

Стога је првих 5 појмова ПГ:

1. термин: 7
2. термин: 14
3. мандат: 28
4. мандат: 56
5. мандат: 112

Погледајте и друге вежбе за наставак вежбања:

• Вежбе из аритметичке прогресије
• Вежбе из геометријске прогресије