Студија о нумерички скупови представља једно од главних подручја математике, јер су веома важне за теоријски развој подручја и имају неколико практичних примена. Нумерички скупови обухватају проучавање:
- природни бројеви;
- цели бројеви;
- рационални бројеви;
- ирационални бројеви;
- реални бројеви; и
- комплексни бројеви.
Опширније: Прости бројеви - бројеви који имају само 1 и себе као делиоце
Скуп природних бројева
Развој првих цивилизација донео је са собом побољшање пољопривреде и трговине и, сходно томе, помоћу бројева за представљање величина. Први сет је дошао природно, па отуда и његово име. Природни именовани скуп користи се за представљање величина, а означава се са симбол ℕ а записан је у секвенцијалном облику. Погледајте:
О. скуп бројева натураје é бесконачно и затворено за операције од додатак и множење, то јест, кад год саберемо или помножимо два природна броја, одговор је и даље природан. Међутим, за операцију одузимања и подела, сет није затворен. Погледајте:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Имајте на уму да бројеви
–1 и 0,5 они не припадају скупу природних врста и то је оправдање за стварање и проучавање нових скупова бројева.Такође, стављајући звездицу (*) у симбол природног скупа, морамо уклонити број нула са листе, погледајте:
постављени цели бројеви
Читав сет бројева је смислио треба извршити операцију одузимање нема ограничења. Као што смо видели, када се од већег одузме мањи број, одговор не припада групи природњака.
Скуп целих бројева такође је представљен бесконачним нумеричким низом и означен је са симбол ℤ.
Као и у скупу природних бројева, постављањем звездице у симбол ℤ, елемент нула се уклања из скупа, овако:
Симбол (-) који прати број означава да је он симетричан, па је симетричан броја 4 број –4. Такође имајте на уму да је скуп природних бројева садржан у скупу целих бројева, односно да је скуп природних бројева подскуп скупа целих бројева.
ℕ ⸦ ℤ
Прочитајте такође: Операције са целим бројевима - шта су то и како израчунати?
скуп рационалних бројева
О. скуп рационалних бројева é представљен симболом ℚ и није представљен нумеричким низом. Овај скуп чине сви бројеви који се могу представити као разломак. Његове елементе представљамо на следећи начин:
Знамо да сваки цео број може бити представљен са разломак, односно скуп целих бројева садржан је у скупу рационалних бројева, па, скуп целих бројева је подскуп образложења.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Бројеви који имају бесконачан приказ, као нпр периодична десетина, такође имају представу у облику разломка, па су тако и рационални.
Прочитајте такође: Операције са разломцима - корак по корак како их решити
Скуп ирационалних бројева
Као што смо видели, број је рационалан ако се може записати као разломак. Такође је речено да су бесконачни и периодични бројеви рационални, међутим, постоје неки бројеви који не може се написати у облику разломка и који према томе не припадају скупу рационалних бројева.
Ти нерационални бројеви су позвани ирационалан а његове главне карактеристике су бесконачност децималног дела и нефреквенција, односно не понавља се ниједан број у децималном делу. Погледајте неке примере ирационални бројеви.
- Пример 1
Квадратни корени бројева који нису савршени квадрати.
- Пример 2
Константе које долазе из посебних разлога као што су златни број, Еулеров број или Пи.
Скуп реалних бројева
О. скуп реалних бројева представљен је симболом ℝ а формира се помоћу јединствоскупа рационалних бројева са скупом ирационалних бројева. Запамтите да је скуп рационализација унија природних и целобројних скупова.
Када поређамо стварне бројеве на линији, имамо да је број нула исходиште праве, десно од нуле биће позитивни бројеви, а лево негативни бројеви.
Како је ова ос стварна, можемо рећи да између два броја има бесконачно много бројева, а такође да је ова оса бесконачна у позитиван правац када је у негативан правац.
Скуп комплексних бројева
О. скуп сложених бројева то је последњи и настао је из истог разлога као и скуп целих бројева, односно то је операција чији развој само са скупом реала није могућ.
Решавајући следећу једначину, уверите се да она нема решење, знајући само реалне бројеве.
Икс2 + 1 = 0
Икс2 = –1
Имајте на уму да морамо пронаћи број који када уздизатидО. на квадрат, резултира негативним бројем. Знамо да је било који број на квадрат је увек позитиван, стога, овај прорачун нема стварно решење.
Тако су створени сложени бројеви у којима имамо а замишљени број означено са и, која има следећу вредност:
Дакле, схвати да је једначина које раније није имало решење, сада га има. Провери:
Опширније: Својства која укључују комплексне бројеве
стварни интервали
У неким случајевима нећемо користити сваку стварну осу, односно користићемо њене делове који ће бити позвани паузе. Ови интервали су подскупови скупа реалних бројева. Даље ћемо успоставити неке ознаке за ове подскупове.
Затворени домет - без укључивања крајности
Интервал је затворен када је има своје две крајности, односно минимум и максимум, и, у овом случају, крајности не спадају у опсег. Означићемо ово помоћу отворене лопте. Погледајте:
Црвеном бојом су бројеви који припадају овом опсегу, односно то су бројеви веће од а и мање од б. Алгебарски записујемо такав интервал на следећи начин:
тхе < Икс
Где је број к сви реални бројеви који се налазе у овом опсегу. Можемо га представити и симболично. Погледајте:
] Тхе; Б [ или (Тхе; Б)
Затворени домет - укључујући екстреме
Хајде сада да користимо затворене лопте да то прикажемо крајности припадају опсегу.
Дакле, прикупљамо стварне бројеве који се налазе између а и б, укључујући и њих. Алгебарски такав интервал изражавамо:
тхе ≤ Иксб
Користећи симболичке записе, имамо:
[Тхе; Б]
Затворени домет - укључујући једну од крајности
И даље се бавимо затвореним интервалима, сада имамо случај где укључена је само једна од крајности. Стога ће се једна кугла затворити, што указује да број припада опсегу, а друга не, указујући да број не припада том опсегу.
Алгебарски представљамо овај опсег на следећи начин:
тхе ≤ Икс
Симболично имамо:
[Тхе; Б [ или [Тхе; Б)
Отворени домет - крај није укључен
Распон се отвара када нема максимум или минимум елемента. Сада ћемо видети случај отвореног опсега који има само максимални елемент, који није укључен у опсег.
Погледајте да се асортиман састоји од реални бројеви мањи одБ, а такође напоменути да број б који не припада опсегу (отворена кугла), па, алгебарски, интервал можемо представити:
Икс
Симболички то можемо представити на следећи начин:
] – ∞; Б [ или (– ∞; Б)
Отворени домет - укључујући екстремне
Још један пример отвореног домета је случај где је укључен екстрем. Овде имамо опсег у којем се појављује минимални елемент, погледајте:
Имајте на уму да су сви реални бројеви већи или једнаки броју а, тако да овај опсег можемо записати алгебарски:
Иксдо
Симболично имамо:
[Тхе; +∞[ или [Тхе; +∞)
отворен домет
Још један случај отвореног домета формира бројеви већи и мањи од бројева фиксираних на стварној линији. Погледајте:
Имајте на уму да су стварни бројеви који припадају овом опсегу они који су мањи или једнаки броју а или они који су већи од броја б, па морамо:
Икс до илиИкс > б
Симболично имамо:
] – ∞; а] У] б; + ∞[
или
(– ∞; а] У (б; + ∞)
написао Робсон Луиз
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm