Инверзна матрица: шта је то, како пронаћи вежбе

Концепт инверзна матрица долази врло близу концепту инверзног броја. Сетимо се да је обрнута од броја не је број не^-1, при чему је производ између та два једнак неутралном елементу множење, односно број 1. Већ инверзна матрица М је матрица М^-1, где је производ М · М^-1 једнак је матрици идентитета И_не, што није ништа друго него неутрални елемент множења матрица.

Да би матрица имала инверзу, она мора бити квадратна, а поред тога, њена одредница мора бити различита од нуле, иначе инверзе неће бити. Да бисмо пронашли инверзну матрицу, користимо матричну једначину.

Прочитајте и ви: Троугласта матрица - посебна врста квадратне матрице

Да би матрица имала инверзу, она мора бити квадратна.

идентитет матрица

Да бисмо разумели шта је инверзна матрица, прво је потребно знати матрицу идентитета. Као матрицу идентитета знамо квадратну матрицу И_не где су сви елементи главне дијагонале једнаки 1, а остали појмови једнаки 0.

ТХЕ матрица идентитета је неутрални елемент множења између матрица., односно дато а седиште М реда н, производ између матрице М и матрице И_не једнак је матрици М.

М · И_не = М.

Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)

Како израчунати инверзну матрицу

Да би се пронашла инверзна матрица М, потребно је решити једначину матрице:

 М · М^-1 = И_не

Пример

Наћи инверзну матрицу М.

Будући да не знамо инверзну матрицу, представимо је ову матрицу алгебарски:

Знамо да умножак између ових матрица мора бити једнак И₂:

Решимо сада матричну једначину:

Проблем је могуће раздвојити на два дела системима од једначине. Прва користи прву колону матрице М · М^-1 и прва колона матрице идентитета. Дакле, морамо:

Да бисмо решили систем, хајде да изолујемо₂₁ у једначини ИИ и замена у једначини И.

Заменом у једначини И морамо:

Како да нађемо вредност а₁₁, тада ћемо наћи вредност а₂₁:

Знајући вредност а₂₁ и₁₁, сада ћемо пронаћи вредност осталих појмова постављањем другог система:

изолујући₂₂ у једначини ИИИ морамо:

3.₁₂ + 1ст₂₂ = 0

Тхе₂₂ = - 3.₁₂

Замена у једначини ИВ:

5тх₁₂ + 2нд₂₂ =1

5тх₁₂ + 2 · (- 3₁₂) = 1

5тх₁₂ - 6.₁₂ = 1

- а₁₂ = 1 ( – 1)

Тхе₁₂ = – 1

Знајући вредност а₁₂, наћи ћемо вредност а₂₂ :

Тхе₂₂ = - 3.₁₂

Тхе₂₂ = – 3 · ( – 1)

Тхе₂₂ = 3

Сад кад знамо све појмове матрице М.^-1, могуће га је представити:

Прочитајте такође: Сабирање и одузимање матрица

Инверзна својства матрице

Постоје својства која произлазе из дефинисања инверзне матрице.

• 1. својство: инверзна матрица М.^-1 једнак је матрици М. Инверзна инверзна матрица је увек сама матрица, то јест (М^-1)^-1 = М, јер знамо да је М.^-1 · М = И_не, дакле М.^-1 је инверзна М, а такође је М инверзна М^-1.
• 2. својство: инверзна идентитетске матрице је сама по себи: И^-1 = И, јер производ матрице идентитета сам по себи резултира матрицом идентитета, то јест И_не · И_не = И_не.
• 3. својство: инверзна производ две матрицеЈеси ли једнак је производу инверза:

(М × В)^-1 = М.^-1 · А^-1.

• 4. својство: квадратна матрица има инверзу онда и само ако је одредница се разликује од 0, односно дет (М) = 0.

решене вежбе

1) Дате матрице А и матрице Б, знајући да су инверзне, тада је вредност к + и:

а) 2.

б) 1.

ц) 0.

д) -1.

е) -2.

Резолуција:

Д.

Изградња једначине:

А · Б = И 

У другој колони, једнаком појмова, морамо:

3к + 5и = 0 → (И)

2к + 4и = 1 → (ИИ)

Изоловање к у И:

Замена у једначина ИИ, морамо:

Знајући вредност и, наћи ћемо вредност к:

Сада израчунајмо к + и:

питање 2

Матрица има инверзу само када се њена одредница разликује од 0. Гледајући доњу матрицу, које су к вредности због којих матрица не подржава обрнуто?

а) 0 и 1.

б) 1 и 2.

в) 2 и - 1.

г) 3 и 0.

е) - 3 и - 2.

Резолуција:

Алтернатива б.

Израчунавајући одредницу А, желимо вредности где је дет (А) = 0.

дет (А) = к · (к - 3) - 1 · (- 2)

дет (А) = к² - 3к + 2

дет (А) = к² - 3к + 2 = 0

решавајући Једначина 2. степена, Морамо да:

• а = 1
• б = - 3
• ц = 2

Δ = б² - 4ац

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике

Да ли бисте желели да се на овај текст упутите у школи или у академском раду? Погледајте:

ОЛИВЕИРА, Раул Родригуес де. „Инверзна матрица“; Бразил Сцхоол. Може се наћи у: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm. Приступљено 28. јуна 2021.

Врсте матрица

Матрица, врста матрица, редослед матрица, матрица редова, матрица колона, нулта матрица, матрица квадрат, дијагонална матрица, матрица идентитета, супротна матрица, матрица, једнака матрица, једнакост матрице.