Комплексни бројеви: дефиниција, операције и вежбе

Комплексни бројеви су бројеви састављени од реалног и замишљеног дела.

Они представљају скуп свих уређених парова (к, и), чији елементи припадају скупу реалних бројева (Р).

Скуп комплексних бројева означен је са Ц и дефинисани операцијама:

• Једнакост: (а, б) = (ц, д) ↔ а = ц и б = д
• Сабирање: (а, б) + (ц, д) = (а + б + ц + д)
• Множење: (а, б). (ц, д) = (ац - бд, ад + бц)

Имагинарна јединица (и)

Означено писмом и, замишљена јединица је уређени пар (0, 1). Ускоро:

и. и = -1 ↔ и² = –1

Тако, и је квадратни корен од –1.

Алгебарски облик З.

Алгебарски облик З користи се за представљање комплексног броја користећи формулу:

З = к + ии

Где:

• Икс је стварни број означен са к = Ре (З), који се позива стварни део з.
• г. је стварни број означен позивањем и = Им (З) замишљени део З..

Коњугат сложеног броја

Коњугат комплексног броја означен је са з, дефинисано з = а - би. Тако се размењује знак његовог замишљеног дела.

Дакле, ако је з = а + би, онда је з = а - би

Када помножимо сложени број његовим коњугатом, резултат ће бити стварни број.

Једнакост између сложених бројева

Бити два сложена броја З.₁ = (а, б) и З₂ = (ц, д), једнаки су када је а = ц и б = д. То је зато што имају идентичне стварне и замишљене делове. Тако:

а + би = ц + ди Када а = ц и б = д

Операције са сложеним бројевима

Помоћу сложених бројева могуће је извршити операције сабирања, одузимања, множења и дељења. Погледајте дефиниције и примере у наставку:

Сабирање

З.₁ + З₂ = (а + ц, б + д)

У алгебарском облику имамо:

(а + би) + (ц + ди) = (а + ц) + и (б + д)

Пример:

(2 + 3и) + (–4 + 5и)
(2 - 4) + и (3 + 5)
–2 + 8и

Одузимање

З.₁ - З₂ = (а - ц, б - д)

У алгебарском облику имамо:

(а + би) - (ц + ди) = (а - ц) + и (б - д)

Пример:

(4 - 5и) - (2 + и)
(4 - 2) + и (–5 –1)
2 - 6и

Множење

(а, б). (ц, д) = (ац - бд, ад + бц)

У алгебарском облику користимо дистрибутивно својство:

(а + би). (ц + ди) = ац + ади + бци + бди² (и² = –1)
(а + би). (ц + ди) = ац + ади + бци - бд
(а + би). (ц + ди) = (ац - бд) + и (ад + бц)

Пример:

(4 + 3и). (2 - 5и)
8 - 20и + 6и - 15и²
8 - 14и + 15
23 - 14и

Дивизија

З.₁/ З₂ = З₃
З.₁ = З₂. З.₃

У горњој једнакости, ако је З.₃ = к + ии, имамо:

З.₁ = З₂. З.₃

а + би = (ц + ди). (к + ии)
а + би = (цк - ди) + и (ци + дк)

По систему непознаница к и и имамо:

цк - ди = а
дк + ци = б

Ускоро,

к = ац + бд / ц² + д²
и = бц - ад / ц² + д²

Пример:

2 - 5и / и
2 - 5и /. (- и) / (- и)
-2и + 5и²/–i²
5 - 2и

Вежбе пријемног испита са повратним информацијама

1. (УФ-ТО) Размислите и замишљена јединица сложених бројева. Вредност израза (и + 1)⁸ é:

а) 32и
б) 32
ц) 16
г) 16и

Погледајте одговор

Алтернатива ц: 16

2. (УЕЛ-ПР) Комплексни број з који проверава једначину из - 2в (1 + и) = 0 (в означава да је коњугат з):

а) з = 1 + и
б) з = (1/3) - и
ц) з = (1 - и) / 3
д) з = 1 + (и / 3)
е) з = 1 - и

Погледајте одговор

Алтернатива е: з = 1 - и

3. (Вунесп-СП) Размотримо комплексни број з = цос π / 6 + и син π / 6. вредност з³ + З⁶ + З¹² é:

тамо
б) ½ + √3 / 2и
ц) и - 2
д) и
д) 2и

Погледајте одговор

Алтернатива д: и

Погледајте још питања са коментарисаном резолуцијом у Вежбе на сложеним бројевима.

Видео лекције

Да бисте проширили знање о сложеним бројевима, погледајте видео "Увод у сложене бројеве"

Увод у комплексне бројеве

Историја комплексних бројева

До открића сложених бројева дошло је у 16. веку захваљујући доприносима математичара Ђиролама Карданоа (1501-1576).

Међутим, тек у 18. веку ове математике је формализовао математичар Царл Фриедрицх Гаусс (1777-1855).

Ово је био велики корак напред у математици, јер негативни број има квадратни корен, што се до откривања сложених бројева сматрало немогућим.

Да бисте сазнали више, погледајте такође

• Нумерички скупови
• Полиноми
• ирационални бројеви
• Једначина 1. степена
• Потенцијација и зрачење