Једно полиномска једначина карактерише то што има полином једнак нули. Може се окарактерисати степеном полинома, а што је већи овај степен, то је већи степен потешкоћа у проналажењу његовог решења или корена.
Такође је важно, у овом контексту, разумети шта је основна теорема алгебре, која то наводи свака полиномска једначина има бар једно сложено решење, другим речима: једначина степена један имаће најмање једно решење, једначина степена два имаће најмање два решења итд.
Прочитајте и ви: Које су класе полинома?
Шта је полиномска једначина
Полиномска једначина се карактерише тако што има полином једнак нули, према томе, сваки израз типа П (к) = 0 је полиномска једначина, где је П (к) полином. Видети доле општи случај полиномске једначине и неке примере.
Сматра да јене, ан -1, а н -2,..., Тхе1, а0 и к реални бројеви, и н је позитиван цео број, следећи израз је полиномска једначина степена н.
- Пример
Следеће једначине су полиноми.
а) 3к4 + 4к2 – 1 = 0
б) 5к2 – 3 = 0
в) 6к - 1 = 0
д) 7к3 - Икс2 + 4к + 3 = 0
Попут полинома, и полиномске једначине имају свој степен. Да бисте одредили степен полиномске једначине, само пронађите највећу снагу чији се коефицијент разликује од нуле. Стога су једначине претходних ставки:
а) Једначина је од четврти степен:3Икс4+ 4к2 – 1 = 0.
б) Једначина је од средња школа:5Икс2 – 3 = 0.
в) Једначина је од први степен:6Икс – 1 = 0.
г) Једначина је од трећи степен: 7Икс3- Икс2 + 4к + 3 = 0.
Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)
Како решити полиномску једначину?
Начин решавања полиномске једначине зависи од њеног степена. Што је већи степен једначине, то је теже решити је. У овом чланку ћемо показати метод решавања полиномских једначина од први степен, други степен и бискуер.
Полиномска једначина првог степена
Полиномска једначина првог степена описана је помоћу а полином 1 степена. Тако можемо написати једначину првог степена, генерално, како следи.
Размотримо два стварна броја Тхе и Б. са = 0, следећи израз је полиномска једначина првог степена:
ак + б = 0
Да бисмо решили ову једначину, морамо користити принцип еквиваленције, то јест, све што се оперише на једној страни једнакости мора да се оперише и на другој страни. Да бисмо одредили решење једначине првог степена, морамо изоловати непознато. За ово је први корак уклањање Б. на левој страни једнакости, а затим одузетивесла б са обе стране једнакости.
секира + б - Б. = 0 - Б.
секира = - б
Имајте на уму да вредност непознатог к није изолована, коефицијент а треба елиминисати са леве стране једнакости, а за то поделимо обе стране са Тхе.
- Пример
Решити једначину 5к + 25 = 0.
Да бисмо решили проблем, морамо користити принцип еквиваленције. Да бисмо олакшали процес, изоставићемо писање операције на левој страни једнакости, тј еквивалентно тада рећи да ћемо „проследити“ број на другу страну, мењајући знак (инверзна операција).
Сазнајте више о решавању ове врсте једначине приступом нашем тексту: Једначина првог степена са непознатом.
Полиномска једначина другог степена
Полиномска једначина другог степена има карактеристику а полином два степена. Дакле, размотрите реалне бројеве а, б и ц са а = 0. Једначина другог степена дата је:
секира2 + бк + ц = 0
Ваше решење се може утврдити методом бхаскара или факторингом. Ако желите да сазнате више о једначинама овог типа, прочитајте: Екакција на сдруго грау.
→ Бхаскара метода
Користећи Бхаскара-ину методу, њени корени су дати следећом формулом:
- Пример
Одредити решење једначине к2 - 3к + 2 = 0.
Имајте на уму да су коефицијенти једначине а = 1, б = - 3 и ц = 2. Замењујући ове вредности у формули, морамо:
→ Факторизација
Имајте на уму да је могуће факторисати израз к2 - 3к + 2 = 0 користећи идеју полиномска факторизација.
Икс2 - 3к + 2 = 0
(к - 2) · (к - 1) = 0
Приметите сада да имамо производ једнак нули, а производ једнак нули само ако је један од фактора једнак нули, па морамо:
к - 2 = 0
к = 2
или
к - 1 = 0
к = 1
Погледајте да смо решење за једначину пронашли помоћу две различите методе.
једначина би-квадрата
ТХЕ једначина бисквадра то је посебан случај полиномске једначине четвртог степена, обично би једначина четвртог степена била написана у облику:
секира4 + бк3 + кутија2 + дк + е = 0
где су бројеви а б ц д и и су стварне са = 0. Једначина четвртог степена сматра се квадратном када су коефицијенти б = д = 0, односно једначина је у облику:
секира4 + кутија2 + и = 0
Погледајте, у примеру испод, како се решава ова једначина.
- Пример
Реши х једначину4 - 10к2 + 9 = 0.
Да бисмо решили једначину, користићемо следећу непознату промену, а кад год је једначина бисквадра, извршићемо ту промену.
Икс2 = п
Из једначине би-квадрата имајте на уму да је к4 = (к2)2 и зато морамо:
Икс4 - 10к2 + 9 = 0
(Икс2)2 – 10Икс2 + 9 = 0
П.2 - 10п + 9 = 0
Видите да сада имамо полиномску једначину другог степена и можемо користити Бхаскара-ину методу, овако:
Међутим, морамо се сетити да је на почетку вежбе извршена непозната промена, па морамо применити вредност пронађену у замени.
Икс2 = п
За п = 9 морамо:
Икс2 = 9
к ’= 3
или
к ’’ = - 3
За п = 1
Икс2 = 1
к ’= 1
или
к ’’ = - 1
Према томе, скуп решења једначине бискуаре је:
С = {3, –3, 1, –1}
Прочитајте такође: Бриот-Руффинијев практични уређај - подела полинома
Основни теорем алгебре (ТФА)
Основна теорема алгебре (ТФА), коју је доказао Гаусс 1799. године, каже да свака полиномска једначина на следећи начин има бар један сложени корен.
Корен полиномске једначине је његово решење, односно непозната вредност је оно што једнакост чини истинитом. На пример, једначина првог степена има корен који је већ утврђен, као и једначина другог степена, која има најмање два корена, и бисквер, који има најмање четири корена.
решене вежбе
Питање 1 - Одредити вредност к која чини једнакост тачном.
2к - 8 = 3к + 7
Резолуција
Имајте на уму да је за решавање једначине потребно организовати је, односно оставити све непознанице на левој страни једнакости.
2к - 8 = 3к + 7
2к - 3к = 7 + 8
- к = 15
Начелом еквиваленције можемо помножити обе стране једнакости са истим бројем, а пошто желимо да сазнамо вредност к, помножићемо обе стране са –1.
(–1)- к = 15(–1)
к = - 15
питање 2 - Маркос има 20 америчких долара више од Жоаа. Заједно успевају да купе два пара патика, коштају по 80 америчких долара по пару, а да им нема више новца. Колико реала има Јохн?
Резолуција
Узмите у обзир да Марк има к реала, као што Јохн има 20 реала више, тако да има к + 20.
Ознаке → к реално
Жоао → (к + 20) реаис
како су купили два пара патика који коштају 80 реала, па ако сложимо делове сваког од њих, мораћемо:
к + (к + 20) = 2 · 80
к + к = 160 - 20
2к = 140
Према томе, Марк је имао 70 реала, а Јоао 90 реала.
написао Робсон Луиз
Наставник математике
