Аранжман са понављањем: шта је то, формула, примери

Ми знамо како поновите аранжман или комплетан аранжман, сва уређена прегруписавања са којима можемо да се формирамо к елементи скупа са не елементи, са елементом од не могу се појавити више пута. ТХЕ комбинаторна анализа то је област математике која развија технике бројања за проналажење броја могућих кластера у одређеним ситуацијама.

Међу овим груписањима постоји аранжман са понављањем, присутан, на пример, у креирање лозинки, регистарских таблица, између осталих. Да бисмо решили ове ситуације, примењујемо формулу распореда са понављањем као технику бројања. Постоје различите формуле за израчунавање аранжмана који се понавља и аранжмана који се не понавља, па је важно знати како разликовати сваку од ових ситуација како бисте применили тачну технику бројања.

Прочитајте такође: Основни принцип бројања - главни концепт комбинаторне анализе

Шта је аранжман са понављањем?

Постоји аранжман са понављањем у производњи таблица возила. [1]

У нашем свакодневном животу наилазимо на ситуације које укључују секвенце и груписања која се појављују у одаберите лозинке са друштвених мрежа или банке, као и за бројеве телефона или ситуације које укључују редови. У сваком случају, окружени смо ситуацијама које укључују ове групације.

На пример, на регистарским таблицама, које се састоје од три слова и четири броја, постоји знак јединствени низ по држави који идентификује сваки аутомобил, у овом случају радимо аранжмани. Када је могуће поновити елементе, радимо са комплетним аранжманом или аранжманом са понављањем.

Дати скуп са не елементе, знамо као аранжман са понављањем све групе са којима можемо да се формирамо к елементи овога комплет, где се елемент може поновити више пута. На пример, на регистарским таблицама возила то је број могућих регистарских таблица које можемо формирати узимајући у обзир да имају три слова и четири броја и да се слова и бројеви могу понављати.

За израчунавање броја могућих понављајућих аранжмана користимо врло једноставну формулу.

Формула аранжмана са понављањем

Да бисте пронашли пуни износ аранжмана од не различити елементи преузети из к у

ох, у датој ситуацији која омогућава понављање елемента користимо следећу формулу:

АИР_не,_к = не^к

АР → аранжман са понављањем
не → број елемената у скупу
к → број елемената који ће бити изабрани

Погледајте такође: Једноставна комбинација - броји све подскупове датог скупа

Како израчунати број понављајућег аранжмана

Да бисте боље разумели како применити формулу поновљеног распореда, погледајте пример испод.

Пример 1:

Лозинка банке има пет цифара састављених искључиво од бројева, колики је могући број лозинки?

Знамо да је лозинка петоцифрени низ и да нема ограничења за понављања, па ћемо применити формулу распореда са понављањем. Корисник мора да одабере између 10 цифара који ће саставити сваку од пет цифара ове лозинке, односно желимо да израчунамо распоред са понављањем 10 елемената узетих сваких пет.

АИР_10,5 = 10⁵ = 10.000

Дакле, постоји 10.000 могућности лозинке.

Пример 2:

Знајући да се регистарске таблице возила састоје од три слова и четири броја, колико регистарских таблица је могуће формирати?

Наша абецеда се састоји од 26 слова и постоји 10 могућих бројева, па поделимо на два комплетна низа и пронађимо број могућих низова за слова и бројеве.

АИР_26,3 = 26³ = 17.576
АИР₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Дакле, укупан број могућих аранжмана је:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Разлика између једноставног аранжмана и поновљеног аранжмана

Разликовање једноставног аранжмана од аранжмана понављањем је неопходно за решавање проблема на тему. Важно за диференцијацију је схватити да када имамо посла са ситуацијом у којој постоје прегруписавања чији је редослед важан, а ако ова прегруписавања допуштају понављање између појмова, то је аранжман са понављањем, познат и као аранжман комплетан. Када прегруписавање не дозвољава понављање, ради се о једноставан аранжман.

Формула за једноставни распоред разликује се од оне коју користимо за поновљени распоред.

Раније смо видели примере понављања аранжмана, сада погледајте пример једноставног аранжмана

Пример:

Пауло жели да на своју полицу стави три од својих 10 школских књига, које се међусобно разликују, на колико начина може да организује ове књиге?

Имајте на уму да је у овом случају редослед важан, али нема понављања, јер је то једноставан распоред. Да бисмо пронашли број могућих група, морамо:

Да бисте сазнали више о овом другом облику груписања који се користи у комбинаторној анализи, прочитајте текст: ТХЕједноставан аранжман.

Решене вежбе:

Питање 1 - (Енем) Банка је тражила од својих клијената да створе личну шестоцифрену лозинку, која се састоји само од бројева од 0 до 9, за приступ текућем рачуну путем Интернета. Међутим, специјалиста за електронске безбедносне системе препоручио је управи банке да поново региструје своје кориснике, захтевајући да сваки од њих, стварање нове лозинке са шест цифара, која сада омогућава употребу и 26 слова абецеде, поред цифара од 0 до 9. У овом новом систему, свако велико слово се сматра различитим од његове мале верзије. Поред тога, забрањена је употреба других врста знакова.

Један од начина за процену промене система лозинки је провера коефицијента побољшања, што је разлог за нови број могућности лозинки у односу на стару. Препоручени коефицијент побољшања промене је:

Резолуција

Алтернатива А.

Стара лозинка је низ са понављањем, јер се може састојати од свих бројева, па је то низ од 10 елемената узетих сваких шест.

АИР_10,6 = 10⁶

Нова лозинка може се састојати од 10 цифара, а такође и великих слова (26 слова) и малим словима (26 слова), тако да лозинка за сваку цифру има укупно 10 + 26 + 26 = 62 могућности. Будући да има шест цифара, израчунаћемо распоред са понављањем 62 елемента узетих сваких шест.

АИР_62,6 = 62⁶

ТХЕ разлог новог броја могућности лозинке у односу на стару је 62⁶/10⁶.

Питање 2 - (Енем 2017) Компанија ће направити своју веб страницу и нада се да ће привући публику од приближно милион купаца. Да бисте приступили овој страници, биће вам потребна лозинка у формату који ће дефинисати компанија. Програмер нуди пет опција формата, описаних у табели, где „Л“ и „Д“ представљају велико слово и цифру.

Слова абецеде, међу 26 могућих, као и цифре, међу 10 могућих, могу се поновити у било којој од опција.

Компанија жели да изабере опцију формата чији је број могућих различитих лозинки већи очекивани број купаца, али да тај број не прелази двоструко већи од очекиваног броја купци.

Резолуција

Алтернатива Е.

Израчунавањем сваке од могућности желимо да пронађемо лозинку која има више од милион могућности и мање од два милиона могућности.

И → ЛДДДДД

26 ·10⁵ је већи од два милиона, тако да не удовољава захтеву компаније.

ИИ → ДДДДДД

10⁶ је једнако милиону, тако да не задовољава захтев компаније.

ИИИ → ЛЛДДДД

26² · 10⁴ је већи од два милиона, тако да не удовољава захтеву компаније.

ИВ → ДДДДД

10⁵ мање је од милион, па не задовољава захтев компаније.

В → ЛЛЛДД

26³ · 10² је између милион и два милиона, тако да је овај образац лозинке идеалан.

Кредит за слику

[1] Рафаел Берланди / Схуттерстоцк

Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm