Sinus, kosinus in tangenta so imena, dana trigonometrična razmerja. Večino problemov, povezanih z izračuni razdalje, rešimo z uporabo trigonometrija. In za to je zelo pomembno razumeti njegove osnove, začenši z pravokotni trikotnik.
Trigonometrična razmerja so prav tako zelo pomembna, saj povezujejo meritve na obeh straneh trikotnik z enim od akutnih kotov, ki to razmerje poveže z a realno število.
Poglej več: Ugotavljanje kvadrantov trigonometričnega cikla
Značilnosti desnega trikotnika
Pravokotni trikotnik tvori a kota 90 ° (raven kot). Drugi koti so manjši od 90 °, torej so ostri, poleg tega pa vemo, da so največje stranice vedno nasproti največjim kotom. V pravokotnem trikotniku se največja stran imenuje hipotenuza in je "pred" pravim kotom, se imenujejo druge stranice pekarije.
V zgornjem trikotniku imamo, da sta strani, ki merita c in b, kateti, stran, ki meri a, pa hipotenuza. V vsakem pravokotnem trikotniku je razmerje vedelo kot Pitagorov izrek velja.
The2 = b2 + c2
Pekarijev ovratnik bo odslej dobival tudi posebna imena. Nomenklature nog bodo odvisne od referenčnega kota. Glede na kot modre barve na zgornji sliki imamo stran, ki meri b, nasprotna noga, in stran, ki je poleg kota, to je, da meri c, je sosednja noga.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Sinus
Preden določimo formulo za sinus kota, razumimo idejo sinusa. Predstavljajte si rampo, na kateri lahko določimo razlog med višino in smerjo, kajne? To razmerje se imenuje sinus kota α.
Tako
sin α = višina
poti
kosinus
Analogno ideji sinusa imamo občutek kosinusa, vendar je pri klančini kosinus razmerje med razdaljo od tal in potjo po klančini.
Tako:
cos α = odstranitev
poti
Tangenta
Podobno kot ideje sinusov in kosinusov je tangenta razmerje med višino in razdaljo klančine.
Tako:
tg α = višina
odstranitev
Tangenta nam daje stopnja vzpona.
Preberite tudi: Trigonometrija v poljubnem trikotniku
Razmerje med sinusom, kosinusom in tangento
Na splošno lahko nato s pomočjo prejšnjih idej določimo sinus, kosinus in tangento v katerem koli pravokotniku. Glej spodaj:
Najprej vzamete kot α kot referenco imamo:
sin α = nasprotna stran = ç
hipotenuza do
cos α = sosednji katet = B
hipotenuza do
tg α = nasprotna stran = ç
Sosednji katet b
Zdaj, ko kot referenco vzamemo kot β, imamo:
sin β = nasprotna stran = B
hipotenuza do
cos β = sosednji katet = ç
hipotenuza do
tg β = nasprotna stran = B
sosednji katet c
Trigonometrične tabele
Obstajajo tri vrednosti kota, ki jih moramo poznati. Ali so:
Ostale vrednosti so podane v izjavah vaj ali jih je mogoče preveriti v naslednji tabeli, vendar brez skrbi, ni jih treba zapomniti (razen tistih v prejšnji tabeli).
Kot (°) |
sinus |
kosinus |
tangenta |
Kot (°) |
sinus |
kosinus |
tangenta |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Vedeti tudi: Sekant, kosekant in kotangens
rešene vaje
Vprašanje 1 - V naslednjem trikotniku določite vrednost x in y.
Rešitev:
V trikotniku glej, da je dani kot 30 °. Še vedno gledamo trikotnik, imamo stran, ki meri x to je nasprotna noga pod kotom 30 ° in stran, ki meri y to je sosednja noga pod kotom 30 °. Zato moramo poiskati trigonometrično razmerje, ki povezuje, kar iščemo, s tem, kar je dano (hipotenuza). Kmalu:
greh 30 ° = nasprotna stran
Hipotenuza
cos 30 ° = sosednji katet
Hipotenuza
Določena vrednost x:
greh 30 ° = nasprotna stran
Hipotenuza
greh 30 ° = x
2
Če pogledamo tabelo, moramo:
greh 30 ° = 1
2
Če ga nadomestimo v enačbi, bomo imeli:
1 = x
2 2
x = 1
Podobno bomo razmislili
Tako:
Cos 30 ° = √3
2
cos 30 ° = sosednji katet
Hipotenuza
cos 30 ° = Y.
2
√3 = Y.
2 2
y = √3
2. vprašanje - (PUC-SP) Kakšna je vrednost x na naslednji sliki?
Rešitev:
Če pogledamo večji trikotnik, opazimo, da je y nasproti kota 30 ° in da je 40 hipotenuza, to pomeni, da lahko uporabimo trigonometrično sinusno razmerje.
greh 30 ° = Y.
40
1 = Y.
2 40
2 y = 40
y = 20
Zdaj, ko pogledamo manjši trikotnik, poglejmo, da imamo vrednost nasprotne stranice in iščemo vrednost x, ki je sosednja stran. Trigonometrični odnos, ki vključuje ti dve nogi, je tangenta. Tako:
tg 60 ° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
Bi se radi sklicevali na to besedilo v šolskem ali akademskem delu? Poglej:
LUIZ, Robson. "Sinus, Kosinus in Tangenta"; Brazilska šola. Na voljo v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm. Dostop 27. junija 2021.
